一类单值变分不等式非零解的存在性

王雅婧

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030013）

一类单值变分不等式非零解的存在性

王雅婧

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030013）

主要利用不动点的指数方法与广义投影算子的相关性质，研究了自反Banach空间中一类单值变分不等式非零解的存在性.得到了这一类单值变分不等式的非零解的存在性结果.

单值变分不等式；不动点指数；广义投影算子；非零解

变分不等式的相关理论在非线性分析中具有很重要的作用，在力学、经济管理、微分方程、理论物理、优化与控制理论等学科中都有非常广泛的应用.非零解的存在性是变分不等式的相关理论研究中的一个重要组成部分，许多学者对此进行了深入的研究[1-4].

1 预备知识

文中设X为光滑的自反Banach空间，X*是X的对偶空间，‖X‖是X上的范数，记〈·，·〉为X*和X间的配对.

设K是X中的非空闭凸子集.对于常数r>0，记Kr={x|x∈K,‖X‖

存在x∈K，使得

其中A∶K→X*为单值全连续映射.J∶K→X*为正规对偶映射.

本文是在A∶K→X*为单值全连续映射的条件下，研究变分不等式（1）非零解的存在性.利用广义投影算子的不动点指数理论，证明自反Banach空间中上述单值变分不等式非零解的存在性.

定义1 如果A连续，并且将X中的有界集映成X*中的相对紧集，则称A∶K→X*是全连续的.

定义2 定义J∶K→2X*为X上的正规对偶映射：

容易得知若X为光滑的自反Banach空间，则J是单值映射且是*连续的.关于J的更多性质可参考文献[5].

定义3 定义

为K的退化锥.显然，退化锥是闭凸锥，且对任意的x∈K,x0∈rc(K)，都有x+x0∈K.

定义4 任取一点φ∈X*，由

定义的算子πK∶X*→2K称为广义投影算子，其中

引理1[6]设X为光滑的自反Banach空间，X*是X的对偶空间，‖X‖是X上的范数，设K为X中的非空闭凸子集，那么对任意给定的ϕ∈X*,x∈πkϕ的充要条件是.

引理2[6]设X是严格凸的自反Banach空间，X*是X的对偶映射空间，‖X‖是X上的范数，K是X中的非空闭凸子集，则广义投影算子πK∶X*→K是连续的.

设U是X中的有界开子集，并且UK=U∩K≠∅，分别记和∂(UK)为关于UK的闭包和边界.假设全连续，若对任意的 x ∈∂(UK)，且x≠T(x)，那么不动点指数i（KT，U）有意义（详见参考文献[7]）.

引理3[7]设K为实Banach空间X的非空闭凸子集，设U是X中的有界开子集.假设全连续，且对任意的x∈∂(UK),x≠T(x)，则不动点指数i（KT，U）满足：

（i）若iK（T，U）≠0，那么T在UK中存在不动点；

（ii）若x ∈∂((U1)K)⋃∂((U2)K)，且x≠T(x)，其中U1和U2是X中两个互不相交的开子集，那么

2 主要结论

首先，根据引理1，可得下面结论.

定理1 设X是光滑的，严格凸的自反Banach空间，K是X中的非空闭凸子集，且0∈K.假设A∶K→X*是单值的全连续映射，则x*是变分不等式（1）的解当且仅当x*=πK（Ax*）.

接下来，主要运用Banach空间中广义投影算子的不动点指数的相关理论来研究变分不等式（1）非零解的存在性.

定理2 设X是光滑的、严格凸的自反Banach空间，K是X中的非空闭凸子集，且0∈K.假设A∶K→X*是单值的全连续映射.若

成立；

（b）存在x0∈rcK{0}以及0点的某个邻域V（0），使得对∀x∈K∩V(0)，有.

则变分不等式（1）存在非零解.

证明 由引理2可知，πK连续.定义一个新的映射πKA∶K→K为：

因为A是全连续映射，所以πKA是全连续映射.

再证明对于充分大的R，有iK（πKA，KR）=1，而对于充分小的r，有iK（πKA，Kr）=0.

首先，定义一个映射H1∶[0，1]×K→K为：

易知H在上[0，1]×H是全连续映射.

现在证明存在对于充分大的数R>0，使得对所有的t∈[0,1]，x≠H（1t，x），有x ∈∂(KR).若假设不成立，则存在序列{tn}和{xn}满足{tn}∈[0,1],{nx}∈∂(KR),‖xn‖→+∞，使得

那么

在（2）中令y=0得到

由于tn∈[0,1]，所以

故当‖xn‖→+∞时，有

这与条件（a）矛盾.

另外，因为J（0）=0，故

这表明0=πK（0）.所以得到

令r>0为充分小的数，使得.由条件（b）可知，存在x0∈rcK{0},对于任意的有

再证iK（πKA，Kr）=0.假设iK（πKA，Kr）≠0.由引理3（i）可知，πKA存在一个不动点x∈Kr，即x=πK（A（x））.由πK的定义和引理1可得，

由于 x0∈rc(K),x∈K.所以 x0+x∈K.在（4）中令y=x0+x，则

这与（3）矛盾.所以iK（πKA，Kr）=0.

推论 设是光滑的、严格凸的自反Banach空间，K是X中的非空闭凸子集且0∈K.假设A∶K→X*是单值的全连续压缩映射.若存在x0∈rcK{0}，使得

则变分不等式（1）存在非零解.

证明 只需证明定理2的条件满足即可.

首先，由于A是压缩的，所以有，‖Ax-A(0)‖<‖x-0‖.0=A（0）结合可得，‖Ax‖<‖x‖.

所以

其次，由（5）可知

故

因为A为全连续映射，由上式可知，存在0点的一个邻域V（0），对任意的x ∈K∩V(0)，

这表明，对任意的x∈K ∩V(0)，有

证明完毕.

[1]赖义生.用集值映象的不动点指数方法讨论一类变分不等式非零解的存在性[D].武汉:华中师范大学,1999.

[2]Lai Y S,Zhu Y G,Deng Y B.The existence of nonzero so⁃lutions for a class of variational inequalities by index[J].Ap⁃pl Math Lett,2003,16:839-845.

[3]Lai Y S,Zhu Y G,Deng Y B.Fixed point index approach for solutions of variational inequalities[J].Internat J Math Sci,2005,12:1897-1887.

[4]Fan J H,Wei W H.Nonzero solutions for a class of set-val⁃ued variational inequalities in reflexive Banach spaces[J].C-omput Math Appl,2008,56:233-241.

[5]Takahashi W.Nonlinear Functional Analysis[M].Yokohama Publishers,2000.

[6]Li J L.The generalized projection operator on reflexive Ban⁃ach spaces and its application[J].Math Anal Appl,2005,306: 55-71.

[7]Lloyd N G.Degree Theory[M].Cambridge University Press, Cambridge,1975.

责任编辑：毕和平

The Existence of Nonzero Solutions for a Class of Single-valued Variational Inequalities

WANG Yajing
（School of Mathematical Sciences，Shanxi University，Taiyuan030013，China）

In this paper,we study the existence of nonzero solutions for a class of single-valued variational inequalities in reflexive by using the fixed the author point index approach and the properties of generalized projection operator in reflexive. Some new existence theorems of nonzero solutions for this class of Single-valued variational inequalities are established.

Single-valued Variational inequality；Fixed point index；Generalized projection operator；Nonzero solutions

O 29

：A

：1674-4942（2015）01-0022-03

2015-01-11