轴向运动弦线横向振动状态反馈的H∞控制

李志军，张 伟

(福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350108)

轴向运动弦线横向振动状态反馈的H∞控制

李志军，张 伟

(福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350108)

首先运用鲁棒控制理论中状态反馈的H∞控制，对轮带系统作动器的角位移和角速度进行调控，实现了对轴向运动皮带横向振动的位移和角速度的控制。然后运用MATLAB进行仿真，对该控制方法的有效性进行了验证。结果表明，该方法解决了轴向运动弦线横向振动系统的不确定系统鲁棒镇定控制器的设计难题，保证了控制器的有效性、可靠性和实用性。

轮带系统；轴向运动皮带；H∞控制；状态反馈；横向振动；数值仿真

轮带系统在工业中有着广泛的运用，对其进行振动分析与控制也愈发成为必不可少的环节。典型的轮带系统中包含一个作动器(由张紧轮和张紧臂组成)，由于皮带的抗弯刚度极小，所以其模型可以简化为轴向运动弦线模型。轮带系统中，皮带的横向振动与作动器的振动是相耦合的。20世纪90年代后期，振动耦合的研究取得了很多重要的成果。Beikmann 等[1]证明了轮带系统的固有频率与速度和张紧力有关。张伟等[2-5]运用行波消去法、Lyapunov法、自适应法及能量法等对作动器振动相耦合的弦线横向振动做了进一步研究和控制。但是以上研究都忽略了作动器由于运动等其他因素造成其模型含有的参数具有不确定性，从而影响了控制方法的稳定性和可靠性。为了改善控制系统的鲁棒性，本文在鲁棒的二次镇定控制基础上，设计了状态反馈的H∞控制。

1 轮带系统的运动方程

图1所示是由Beikmann[1]等人提出的模型发展而来的轮带驱动系统。由于皮带的横向振动与作动器的振动相耦合，所以皮带横向振动的控制可以从分析作动器的振动和作动器的控制着手。该轮带驱动系统的主要部件包括主动轮、从动轮、张紧轮和皮带。为了简化模型，本文做如下假定：(1)没有阻尼；(2)皮带的抗弯刚度不计；(3)皮带的轴向运动速度为一常速v；(4)皮带不打滑。

皮带的线性运动方程为：

(1)

(2)

边界条件为：

式中：Wi是相对于i段平衡位置的横向位移；ρ是皮带的单位长度质量；Pi是i段所受的张力；cv是阻尼系数；s4(t)是张紧臂的弧线位移；φ1和φ2是张紧臂在平衡位置时与相邻皮带的夹角；li是i段的长度；v是皮带轴向运动速度。

假设皮带两端初始张力相等，即P1=P2=P。

假设轮作简谐运动[6]，则有如下形式解：

式中：ω是轮带系统的振动固有频率。如忽略主动轮和从动轮的影响，s1=s3=0。

由边界条件可知

可得作动器的动力学方程为

用分离变量法可将弦线的振动[7]写为：

将式(8)代入式(1)和式(2)整理后可得如下微分方程[8]

(9)

解二阶复系数齐次线性微分方程[7]，可得弦线的横向振动位移：

Wj(x,t)=(βeλ1x+κeλ2x)eiωt

(j=1,2)

(10)

由边界条件(5)、(6)和式(10)可得轮带系统的横向振动的位移为：

(11)联立边界条件(5)、(6)和式(11)代入式(7)整理可得：

其中

2 控制律的设计

通过上面的推导可得弦线的横向振动方程(11)和作动器的方程(12)，由此可知轮带系统的弦线横向振动和作动器的运动状态有关，即弦线横向振动与作动器的运动相互耦合。由于系统处于动态中，在实际运动过程中张紧臂的运动方程中张紧臂在平衡位置时与相邻皮带的夹角φ1,φ2是以初始时刻张紧臂在平衡位置时与相邻皮带夹角φ10,φ20附近扰动的，频率ω也会有扰动，建模时为了简化模型，运动方程常用初始定值代替动态中的各值，以至于作动器的运动方程具有参数不确定性。

(13)

其中

它的系数矩阵A(r(t))具有不确定性，即

A(r(t))=A+DΔE

‖Δ‖≤r

不确定性Δ是复数矩阵，它的最大值是r。r最大值由A,D和E唯一确定。其中

(14)

对系统加以控制律，系统的状态方程变为：

(15)

采用线性时不变反馈控制

U=KX

(16)

此时，稳定半径可定义为[9]

(17)

很显然，通过求解相应的H∞控制问题，就可以得到使稳定半径rc最大的状态反馈增益矩阵K。取D，E，B时为保证系统可镇定，可选取Lyapunov函数V(X)=XTQX，其中常数矩阵Q>0。函数V(X)时间的导数不依赖于r(t)的值。

(18)

成立时，系统可二次镇定，其中常数α>0，即(A，B)可镇定。

如图2所示，引入外部输入w和控制输出z，系统可等价为如下G(s)状态空间。

z=EX

w=Δz

y=X

y实际就是要控制的输出量，当y随时间t增大而趋于零时，轮带的横向振动就趋于零，即得到有效控制。这时由w到z的闭环传递函数矩阵为[10]

Tzw(s)=E(sI-A-BK)-1D

(19)

使A+BK稳定，而且满足‖Tzw‖∞<γ的状态反馈增益矩阵K，其存在的充分与必要条件是：对于一个充分小的数ε，黎卡提方程

ATQ+QA+γ-2QDDTQ-ε-1QBBTQ+ETE+εI=0

(20)

存在正定解Q。状态反馈增益矩阵

(21)

使A+BK稳定，且‖Tzw‖∞<γ。

3 数值仿真

由式(14)可得

取ε=1，γ=0.9,由式(20)可得控制律

图3和图4给出了在x=1m处系统在未受控和受控时，弦线的横向振动位移和张紧臂的角位移。张紧臂的角位移和弦线横向振动位移在1s内都减小到零，弦线的横向振动得到了很好的控制。数值仿真结果表明，二次镇定控制是有效的。本文提出控制的状态变量只包含张紧臂的角速度和角位移，可通过在张紧臂上安装传感器获得。

4 结束语

本文基于一种合理的不确定性描述，提出的不确定性系统控制器鲁棒可靠性设计方法，能适用于不确定参数已知和未知的情况，且提高了传统控制器设计的可靠性。在仿真中，皮带的横向振动位移在1s内迅速减小到零，说明该控制方法是实用、有效和可行的。由于条件限制，文章数值仿真没有实验支撑，因而文章更倾向于理论研究，后续工作将尽可能和企业联合做一些实验，以进一步完善轴向运动弦线横向振动的分析和控制。

[1]BeikmannRS，PerkinsNC．Freevibrationofserpentinebeltdrivesystems[J]．JournalofVibrationandAcoustics，1996，118(3)：406.

[2] 张伟，陈立群．轴向运动弦线横向振动控制的Lyapunov方法[J]．控制理论与运用，2006，23(4): 532-535．

[3] 张伟，陈立群．轴向运动弦线横向振动的自适应方法[J]．机械工程学报，2006，42(4):96-100．

[4] 张伟，陈立群．轴向运动弦线横向振动控制：能量方法[J]．机械强度，2006，28(2):201-204．

[5] 张伟，陈立群．轴向运动弦线横向振动控制的线性反馈控制[J]．应用力学学报，2006，23(2):242-245．

[6] 李晓军，陈立群．平带驱动系统耦合振动模态分析[J]．AppliedMathematicsandMechanics，2008，29(1)：8-14.

[7] 汤光荣，甘欣荣．复系数复数方程的求根及复数常微分方程的通解[J]．江汉大学学报，1996，13(3)：71-76.

[8] 余小刚，张伟．轴向运动弦线横向振动的变结构控制[J]．福州大学学报，2012，40(2)：217-221.

[9] 吴敏，何勇，余锦华．鲁棒控制理论[M]．北京：高等教育出版社，2010.

[10] 解学书，钟宜书． 控制理论[M]．北京：清华大学出版社，1994.

Transverse vibration control of an axially moving string system based on the state feedback control

LI Zhijun, ZHANG Wei

(Fuzhou University, Fujian Fuzhou, 350108, China)

Based on the robust control theory, it introduces the transverse vibration control of axial displacement and angular velocity, develops the state feedback control system for the angular displacement and angular velocity of the tensioner arm. Based on numerical simulation of the Matlab, it verifies the efficiency of the control method. This obtains the transverse vibration of axis moving string, provides uncertain systems robust stabilization controller design, ensures the validity and reliability the controller.

belt drive system; axially moving string; control; state feedback; transverse vibration; numerical simulation

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.01.014

2014-12-22

李志军(1989—)，男，安徽安庆人，福州大学硕士研究生，主要研究方向为机械振动与控制。

O321

A

2095-509X(2015)01-0057-05