磁悬浮小球控制系统的研制

汤小伟，罗伯特·霍尔

(德国福特王根应用科技大学计算机学院，德国福特王根 78120)

磁悬浮系统的本质是通过产生与重力方向相反的电磁力，以控制磁性物质悬浮在空中的零重力现象。随着现代技术的发展，磁悬浮控制技术已经得到了较为广泛的应用，如磁悬浮列车、磁悬浮玩具、工厂的磁悬浮导轨等。磁悬浮控制技术的出现，不仅给人们的生活带来了许多便利和乐趣，也在这个资源紧张的时代，提供了更加稳定、更低功耗、更低成本的磁悬浮系统，让这个领域的研究变得更具有深远的实际意义，同时也符合可持续发展的战略［1］。本文基于高级自动控制理论和电动力学，通过分析磁悬浮小球控制系统的原理来建立小球系统的数学模型，同时利用MATLAB软件仿真验证系统的可行性。利用高精度运算放大器搭建电子控制电路，成功地实现了小球的悬浮。

1 磁悬浮小球系统工作原理

磁悬浮小球系统主要由电磁线圈、光电位移传感器、控制器电路、电流驱动电路、钢球所构成，如图1所示。

磁悬浮小球系统的工作原理是:根据磁学理论，当线圈中有电流通过时，线圈产生电磁场，位于磁场中的钢球受到磁场的作用，通过调节线圈电流的大小可以产生与小球重力大小相等、方向相反的电磁力，当小球只受重力和电磁力作用时，小球就可以保持平衡，且不需要其他的任何支撑物。

图1 磁悬浮小球控制系统结构图

具体的过程为:将小球置于由2个LED光源和2个光电传感器组成的检测装置中，当小球位置处于检测装置的中间时，两个光电传感器所接受的光照是等量的，所产生的电流也是相等的。经过信号处理电路后，输出信号为零。当小球位置发生变化时，位置检测电路将产生不等的电流，此时，信号处理电路输出不为零。输出的信号经过控制器的处理，传输到电流驱动电路中，电流驱动电路随即产生合适的电流来调整小球的位置，使小球恢复到平衡位置。

2 磁悬浮小球模型数学关系

在磁悬浮小球系统中，小球的位置与线圈的电感相关。由磁滞曲线可知，在线圈下面一定范围内小球所受电磁力与小球的位置呈线性关系。电感L与小球位置x的数学关系式［1］为:

式中:L1为无钢球时的电感;L0为钢球紧贴着电磁

在磁悬浮小球系统中，小球的重力与小球所受的电磁力平衡，所受的电磁力与重力的和等于重力加速度，线圈产生电磁力的数学关系式为:铁时的电感增量;a为常数。系统的磁能W是线圈电流I和钢球位置x的函数［1］:

式中:F为小球所受的电磁力;m为小球的质量;R为线圈的电阻是计算量，N为线圈匝数，u

0为空气磁导率，A为所受磁通量的面积;I为线圈电流;x为小球质心到电磁铁表面的磁极距离(近似看成小球位置x)。经拉普拉斯变换之后，可得:

当线圈中电流为I0时，所产生的电磁力与重力相等。式(6)中为线圈中的实际电流量，x0为小球的气隙位置。X1(s)，F1(s)为式(5)中泰勒函数分解式第一级函数，由此可以推导出传递函数为:

根据根轨迹分析法，添加一个超前控制器，将根轨迹向负半轴移动，通过挑选合适的增益值，将系统的控制时间设为0.1s，使系统保持稳定。

3 零重力小球系统仿真

根据建立的数学模型，在MATLAB中建立相应的模型，系统在超前控制器的控制下，磁悬浮小球系统在0.1s时达到响应平衡，如图2所示。平衡位置大约在线圈下方15mm处。

图2 带超前控制器磁悬浮小球系统模型MATLAB仿真图

4 零重力小球系统设计

磁悬浮小球系统电路部分的设计主要包含3个部分:小球位置检测电路设计、控制器电路设计、电流驱动电路的设计。

小球位置检测电路如图3所示。将小球置于两个光电传感器中间，当小球不处于中间时，两个光电传感器接受到的信号不等，随着位移信号的变化，在电路中产生的电流信号也在变化，小球的位置可以精确地测量出来。

图3 小球位移检测系统电路图

控制器的作用是进行信号处理。本文采用超前控制器，其电路如图4所示。

图4 超前控制器电路图

假设运算放大器为理想放大器

式中:K为控制器增益;T为控制器系数。由式(11)可以推算出控制器的参数为:R1=0.66kΩ;R2=100kΩ;C1=100μF;C2=100nF。

考虑到运算放大器的最大输出电流只有20mA［4］，运算放大器的输出电压最大只有10V，因此本文利用一个高精度高电压的运算放大器将电流信号放大10倍，电压信号调整到40V，这样导通控制线圈可以产生足够的电磁力来平衡小球的重力。电流驱动电路如图5所示。

图5 电流驱动电路图

磁悬浮小球系统的搭建包括两个部分:电子电路部分和机械结构部分。在制作电子电路时，尽量挑选阻值精度高的元器件，在运算放大器的电源输入端添加滤波电容，使系统有比较稳定的信号输出。在机械结构部分，必须保持2个LED和2个光电传感器的中心点在电磁线圈中心下方15mm处，同时，必须保持2个LED和2个光电传感器保持在相同的维度上。系统搭建完成之后，必须对系统进行检验，保证系统在没有输入时，系统的输出为零。在本系统中，钢球质量约为3.5g，悬浮距离约为15mm，小球悬浮时电磁铁线圈电流约为200mA。

5 结束语

本文详细分析了磁悬浮小球控制系统的原理，建立了系统的数学模型，利用根轨迹分析法判定了系统的稳定性，并运用MATLAB软件进行完整的数学关系仿真，通过添加超前控制器，使系统达到平衡。此磁悬浮小球控制系统实现了钢球的稳定悬浮，为以后的磁悬浮导轨的研究奠定了基础。但在这个系统中，许多参数都仅仅具有单一性，当系统中的一个参数改变时，整个系统就必须重新设计;在电磁铁线圈中通过电流时，线圈的发热问题较为严重，影响系统的长时间运行，后续研究将通过添加永磁体来增加电磁力，以减少电量的消耗。

［1］ 王义进，席文明.磁悬浮球控制系统的设计研究［J］.计算机测量与控制，2007，15(5):608 －609，634.

［2］ Robert Hoenl.Controller Design Using Root Loci Technique［M］.Furtwangen:Hochshule Furtwangen University Press，2011.

［3］ Katsuhiko Ogata.Modern Control Engineering［M］.5th edition.London:Prentice Hall，2010.

［4］ Winfield Hill，Paul Horowitz.The Art of Electronics［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1989.