用样本估计总体

本考点主要涉及两类问题：一是用样本的频率分布估计总体的概率分布；二是用样本的数字特征（如众数、中位数、平均数、方差、标准差等）估计总体的数字特征. 高考时理科一般会在填空题、选择题中出现，文科也可能在解答题中出现. 难度中等偏易，属易得分题.

（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差等），并给出合理的解释.

（3）会用样本的频率分布估计总体的概率分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

（4）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

熟悉三图（频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图）和一表（频率分布表）的制作方法与特点，掌握基本数字特征（众数、中位数、平均数、方差、标准差等）的求解公式与技巧，对解决此类问题非常重要. 另外，也要掌握用样本的频率分布直方图估计样本的数字特征的方法.

例1 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.

据某报报道，2014年9月5日至9月28日，某地区共查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图1是对这500人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则这500人属酒后驾驶的人数与这500人血液中酒精含量的平均值分别约是（ ）

A. 50人，56mg/100mL

B. 450人，56mg/100mL

C. 50人，58mg/100mL

D. 450人，58mg/100mL

图1

破解思路 本题主要考查样本的频率分布直方图、样本的数字特征及总体的估计. 解决问题时，务必注意频率分布直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.另外，用频率分布直方图来估计平均数时，是用频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标所得积之和. 除频率分布直方图外，茎叶图也是对样本数据进行统计分析的一种方法.用茎叶图分析数据有两大优点：一是直方图上没有保留原始数据，但从茎叶图中可以得到所有数据信息；二是用茎叶图可以随时记录数据，随时添加数据，方便记录与表示.

答案详解 酒后驾驶的人数为500×（1-0.005×20）=450，平均值为30×0.2+50×0.4+70×0.3+90×0.1=56.故选B.

例2 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”. 根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）

①平均数 ≤3；②标准差S≤2；③平均数 ≤3且标准差S≤2；④平均数 ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.

A. ①② B. ③④

C. ③④⑤ D. ④⑤

破解思路 此题综合考查了样本的数字特征. 理解每一个数字特征的含义是解题的关键. 众数反映的是一组数据中出现次数最多的数；中位数反映的是一组数据由小到大排序后处于中间的数或中间两个数的平均数；平均数 反映的是一组数据的平均水平，即 = （x1+x2+…+xn）；方差与标准差反映的是一组数据相对于平均水平的集中与分散程度，其计算方法是方差S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2]，方差的算术平方根就是标准差. 另外，此类问题对同学们的运算能力有着较高的要求，途径要合理、运算要迅速、结果要准确是运算能力强的主要体现，在平时的学习中要不断地加强训练.

答案详解 ①错，如数据：1，1， 1，1，1，1，6；②错，如数据6，6，6，6， 6，6，6；③错，如数据2，2，2，2，2，2，6；④对，若极差等于0或1，在 ≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2，在 ≤3的条件下最大数不超过4，符合指标；⑤对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大数不超过5，符合指标. 故选D.

例3 某校开展“爱我家乡、爱我校园”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的9个分数如茎叶图（图2）所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则这9个分数的中位数为______，方差为______.

作品A

8 8 9 9

9 2 3 x 2 1 4

图2

破解思路 根据题意，先分类讨论确定最高分，再计算平均分，从而确定x的值；然后算出平均数代入公式求方差，按从小到大排序找到中位数即可.

答案详解 由已知，当x≥4时， = ≠91，所以x<4，所以 =91，解得x=1. 于是可求出中位数为91，则方差为S2= [（-3）2+（-2）2+（-2）2+0+0+12+12+22+32]= .

1. 某校高一组织一次百米测试，结果发现成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18）. 图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据直方图估计该校高一在这次百米测试中，成绩的中位数为________秒（精确到0.1）.

图3

2. 甲、乙两个小组各5名同学数学测试成绩的茎叶图如图4所示，则甲、乙两组中数学测试成绩比较集中的小组是__________.

甲 乙

6 7 9

5 5 4 8 0 2 8

0 9 1

图4endprint