小型化、少齿数齿轮传动最少齿数的研究

柳青松

(扬州工业职业技术学院机械工程学院，江苏 扬州 225127)

小型化、少齿数齿轮传动最少齿数的研究

柳青松

(扬州工业职业技术学院机械工程学院，江苏 扬州 225127)

存在范围；啮合界限点；变位系数；最少齿数；滚齿加工

小型化、高速化、小振动、低噪声、高可靠性是齿轮传动装置的发展方向。在设计用途、弯曲承载能力、齿面的综合曲率半径、重合度、轴向力、齿面温升以及齿轮制造工艺等因素确定后，要使齿轮传动装置小型化，就必须减小其传动中心距a。由公式a=m(1+i)z1/2或a=mn(1+i)z1/ (2cosβ)(mn是斜齿轮的端面模数，i是传动比)知，为使齿轮传动小型化，减少小齿轮齿数z1最为合理。采用z1≤8的少齿数齿轮更有助于实现齿轮传动小型化。

1 少齿数齿轮与少齿数齿轮传动

若定义在齿轮传动中齿数少于8的齿轮为少齿数齿轮，含有少齿数齿轮的齿轮传动称少齿数齿轮传动，显然研究少齿数齿轮传动正是解决齿轮传动小型化的突破口。本文通过对渐开线直齿、斜齿齿轮传动可能的最少齿数进行研究，给出少齿数齿轮设计及加工时可能的最少齿数[1]。

2 渐开线齿轮的最少齿数研究

2.1渐开线直齿齿轮传动可能的最少齿数[1-3]

1)可能的最少齿数。

可能的最少齿数就是在实际使用中能够进行啮合并能连续、平稳地传递动力的最少齿轮齿数。

2)潜在重合度。

若定义给定直齿轮在充分利用其齿廓的渐开线部分进行啮合中可获得的最大重合度为潜在重合度，那么任何齿轮副的重合度都不可能大于组成齿轮副的任一齿轮的潜在重合度。因此，研究直齿齿轮传动可能的最少齿数问题就可以转化为研究给定齿轮的潜在重合度以及如何充分利用其潜在重合度的问题了。

3)齿顶变尖。

设定渐开线圆柱齿轮任意圆上的齿厚齿轮任一点的齿顶厚度为sa1，如果齿顶厚度小于最小允许值，那么这样的轮齿称为齿顶变尖[4]，如图1中的虚线所示。在理论极限情况下，齿顶变尖即当sa1=0(即ξα=0°)且da1≠0时，齿顶圆的压力角αa1为最大，故将此时的齿顶圆压力角记作αa1 max且表示为

式中：x1为变位系数；α为分度圆压力角。

4)齿槽变尖。

同样，基圆上齿槽的中心角ηg用下式表示

当ηg=0时，即当基圆上的齿槽变尖时，如图2所示，式(2)可写成

此时假设分度圆压力角α=20°，在基圆上的齿槽变尖时，根据式(1)、(3)可计算出不同齿数所对应的变位系数x1和齿顶圆压力角αa1，见表1。

因此，在极限情况下，可计算出齿顶变尖时的齿顶圆极限直径da1。

5)啮合下界点。

文献[5]、[6]的研究成果表明，从齿顶圆到齿槽宽度等于零的点为渐开线齿廓的有效长度部分，齿槽宽度等于零的点即为渐开线齿轮理论啮合部分的啮合下界点，且齿间变尖点时的压力角的渐开线函数invαm max可用式(4)表示：

众所周知，为了避免齿轮根切，变位系数应按下式计算

2.2渐开线直齿轮的可能重合度εmax

1)仿形加工直齿轮可能的最小齿数zmin。

文献[7]指出，用分度圆压力角为α、模数为m、头数为z、容屑槽数为zk的滚刀加工齿数为z1的齿轮时，在形成一个完整的渐开线齿廓过程中，滚刀切削刃从齿轮根圆上某一有效点切割齿廓开始，到顶圆上一点所转过的角度和完整渐开线形成所需要的转角相等，其表达式为：

式中：αi为齿轮的工作齿廓下界点压力角；αa为齿顶圆压力角。

因此，给定齿轮的可能重合度εmax，取决于齿轮齿廓可以参与啮合传动部分的长度及其边界点的压力角。一般齿轮滚刀的头数为z=1，其表达式为：

式中：α上界点为啮合上界点压力角；α下界点为啮合下界点压力角。

在理论极限情况下，上界点按齿顶变尖，即按α上界点=αa1=αa1 max确定；而下界点按齿槽变尖，即按α下界点=αp=0°来确定。

结合表1相关参数，齿轮加工时不考虑干涉、且按齿顶变尖和齿槽变尖极限状态计算,得到的直齿轮的潜在重合度见表3。

仿形加工或用齿顶变尖的专用刀具滚切加工直齿轮可能的最小齿数zmin=3。

2)标准齿条型刀具加工出的可能最少齿数zmin。

显然，标准齿条型刀具加工出的可能最少齿数zmin。

zmin=5。

2.3含有少齿数的直齿轮传动

对于含有少齿数齿轮的直齿外啮合齿轮传动来说，必须充分利用其齿廓的有效使用部分以提高重合度。直齿齿轮传动的重合度公式为：

式中：z1，z2分别为齿轮传动中两齿轮的齿数；x1，x2分别是z1，z2对应的变位系数；α＇为啮合角。

齿轮的齿顶圆不是加工出来的，而是由设计资料决定的，齿顶圆的大小与选用的齿顶圆直径计算方法密切相关。在诸多方法中选择“按加工啮合或使用啮合中不发生干涉进行计算的方法”，可使αa,αi分别达到αa max,αi min，求解齿顶圆直径，使齿轮传动获得εmax。

1)用齿条型刀具加工的外齿轮，加工啮合和使用啮合不干涉的齿顶圆最大压力角为αa max[8-9]。

2)齿顶圆直径达到最大值da max，在αa1 max,αa2 max情况下，按照da=db/cosαa,da1,da2计算最大值da1 max,da2 max。

2.4少齿数渐开线斜齿圆柱齿轮[2]

众所周知，斜齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数比直齿圆柱齿轮的最少齿数少且结构紧凑，又具有轴向重合度，其最少齿数在理论上没有限制。渐开线齿轮由于可以通过变位来增大齿轮齿根圆直径，所以少齿数齿轮传动最好采用渐开线斜齿圆柱齿轮。

所谓少齿数大齿数比斜齿轮，是指最小齿数小于8、单级齿数比大于8～10的斜齿轮副[10-13]。

这种少齿数大齿数比传动装置的设计与加工难度表现为易根切、易变尖、易干涉和难加工。要解决这些难题，可以采取下列措施：

1)为解决根切问题宜采用大径向变位系数。

2)为使zmin减小宜采用大螺旋角β、短齿制。

3)为避免齿顶变尖和增大轴向重合度宜采用切向变位和大齿宽。

4)为提高齿轮的扭转刚度,减小偏差,改善传动品质，宜采用齿轮轴结构。

5)为减少工作时的冲击和振动,应进行螺旋线修形。

3 少齿数大齿数比的斜齿轮设计与加工[2]

由于少齿数大齿数比斜齿轮的变位系数可行区域非常小，现行的变位系数求值方法不适应采用计算机模拟求解，且计算过程很麻烦，所以笔者提出利用约束条件，在适当的计算精度基础上辅之以计算机手段，避免了当量直齿轮的求解误差，使得选取的变位系数更为合理。下面以齿根干涉限制条件为例说明计算原理和计算模块的实现方法。

3.1齿根干涉限制曲线和数学表述[14-15]

小齿轮避免端面齿根干涉的限制条件是[8-9]：

将相关条件代入式(11)中整理后得出：

其中：

3.2少齿数大齿数比的斜齿轮加工

4 结束语

综上所述，少齿数齿轮的存在范围为:直齿圆柱齿轮的最少齿数为3个齿，斜齿圆柱齿轮的最少齿数为2个齿。小齿轮的齿根干涉限制条件数学模型与端面啮合角经验数据值域，对求解齿轮的变位系数起到了关键作用。计算设计了齿数为3的少齿数斜齿圆柱齿轮，在Y38滚齿机上使用标准滚刀、成批滚切加工了该齿轮，并能满足工程使用要求。相信该研究成果会对其他的应用起到推进作用。

[1] 柳青松，刘晓斌，高瑞春．少齿数齿轮传动[J]．兰州工业学院学报，1998(1)：1-4．

[2] 柳青松．“新型差速器的研究与应用”鉴定资料[R]．兰州：兰州工业学院，2003．

[3] 柳青松．少齿数斜齿圆柱齿轮：中国，ZL03 2 08294.0 [P]． 2003-08-30．

[4] 成大先.机械设计手册[M]．5 版.北京：化学工业出版社，2008：6-8．

[5] 范忠仁，陈世忠．刀具工程师手册[M].哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，1985．

[6] 朱景梓，张展，秦立高．渐开线外啮合圆柱齿轮传动[M]．上海：上海科学技术出版社，1990．

[7] 孙月海，刘彦峰，段路茜，等．弯曲强度条件下渐开线少齿数齿轮副的变位[J]．天津大学学报：自然科学与工程技术版，2014(1)：1001-1007．

[8] 朱景莘．渐开线齿轮变位系数的选择[M]．北京：人民教育出版社，1982．

[9] 蔡初醒．渐开线齿轮的干涉[M]．北京：机械工业出版社，1958．

[10] 孙伏，张杰，陈应舒．渐开线少齿数齿轮齿形系数和应力修正系数的实验研究[J]．机械传动，2007(10)：97-99．

[11] 吕张来．少齿数齿轮副的有限元分析[J]．陕西理工学院学报：自然科学版，2013(8)：8-16．

[12] 张东生，吕张来，张建军．少齿数齿轮传动系统的动态特性研究[J]．机械设计，2014(10)：12-15．

[13] 张国海，成小龙．少齿数齿轮轴极惯性矩计算[J]．机械传动， 2014,38(6)：12-15．

[14] 傅伟，柳青松，袁强．基于齿顶厚约束条件下的直齿圆柱齿轮变位系数研究[J]．中国制造业信息化，2009,38(5)：69-72.

[15] 吴序堂．齿轮啮合原理[M]．西安：西安交通大学出版社，2009.

Study on the minimum teeth with less teeth gear transmission

LIU Qingsong

(College of Mechanical Engineering, Yangzhou Polytechnic Institute, Jiangsu Yangzhou, 225127, China)

It introduces the existence scope and meshing boundary point on less teeth gear, derives the pressure angle and forms addendum to pointy in copying method processing, obtains the less teeth scope to spur gear in 3 and helical gear in 2. Based on pinion dedendum Interference, it simplifies the mathematical model for selecting modification coefficient with mathematical manipulation. With design experience and experience of machining operation and empirical data domain, it solves the transcendental equation and obtains the array of modification coefficient. The example shows that the hobbing process for the three teeth gear at Y38 machine tool has practical value.

existence scope；meshing boundary point；modification coefficient；minimum teeth；hobbing

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.05.016

2015-03-31

柳青松(1964—)，男，陕西蓝田人，扬州工业职业技术学院教授，主要研究方向为机械设计理论、教育基本理论。

TH12

A

2095-509X(2015)05-0068-05