一类有可换Sylow 2-子群的8p3阶群的完全分类

陈松良，蒋启燕，崔忠伟



一类有可换Sylow 2-子群的83阶群的完全分类

*陈松良1，蒋启燕2，崔忠伟1

(1.贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州，贵阳550018；2.贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州，贵阳550001)

设为奇素数（≠3，7），是Sylow 2-子群是型为(22，2)的8阶交换群4×2的83阶群，利用群在群上的作用理论，对群进行了完全分类并确定了它的全部构造，即：1)当≡1(mod 4)时，恰有74个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，恰有40个彼此不同构的类型。

有限群；同构分类；群的构造

设是奇素数（≠3，7）, 文献[1]研究了83阶群的构造，但因证明过程复杂而冗长，所以没有给出证明过程。文献[2]讨论了Sylow 2-子群为交换群的83阶群的构造，也没有给出具体的构造。我们注意到文献[1]与文献[2]的结论有些不一致，孰是孰非，值得澄清。本文应用群在群上的作用理论，确定了Sylow2-子群是型为(22，2)的8阶交换群4×2的83阶群的全部构造，即证明下面的定理：

定理1如果是Sylow 2-子群是型为(22，2)的8阶交换群4×2的83阶群，其中是一个奇素数（≠3，7），那么：1)当≡1(mod 4)时，恰有74个彼此不同构的类型；2) 当≡3(mod 4)时，恰有40个彼此不同构的类型。

根据这个定理，可知文献[1]的结论是正确的，而文献[2]中定理2不正确(其中包含了一些同构的群的构造)。现在给出定理1的证明，由于证明过程较长，将分为5个引理来描述。在下文中，总假定是奇素数（≠3，7），是83阶群，其Sylow2-子群是型为(22，2)的8阶交换群4×2，记为。 由Sylow 定理易知，的Sylow-子群是正规子群，从而是与的半直积。为叙述方便，用||，||分别表示群和元素的阶，且对元素，，记g＝－1。由文献[2]知3阶群有5种不同构的类型：循环群1＝〈〉，其中||＝3；型为(2，)的交换群2＝〈〉×〈〉，其中||＝2，||＝；初等交换群3＝〈〉×〈〉×〈〉，其中||＝||＝||＝；指数是2的非交换群4＝〈，〉，其中||＝2，||＝，a＝1＋；指数是的非交换群5＝〈，，〉，其中||＝||＝||＝，[，]＝，[，]＝[，]＝1。设是3，2，的一个公共原根，当≡1(mod 4)时，记。设＝〈〉×〈〉，其中||＝4，||＝2。

引理1 设是奇素数（≠3，7），的Sylow 2-子群为而Sylow-子群为循环群1，那么：

1)当≡1(mod 4)时，恰有“4”个彼此不同构的类型；

2)当≡3(mod 4)时，恰有 3个彼此不同构的类型。

证明：因为1的自同构群Aut(1)是阶为2(－1)的循环群，而S/C(1)同构于Aut(1)的一个子群，所以当≡1(mod 4)时，有如下构造：

1)如果C(1) ＝，则是1与的直积；

2)如果C(1)＝〈〉，那么诱导1的一个2阶自同构，于是有如下的构造：

＝〈，| ||＝3， ||＝2，a＝－1〉×〈〉 (1)

3)如果C(1)＝〈2，〉，那么诱导1的一个2阶自同构，于是有如下的构造：

＝〈，| ||＝3， ||＝4，a＝－1〉×〈〉 (2)

4)如果C(1)＝〈〉，那么诱导1的一个4阶自同构，于是有如下的构造：

＝〈，| ||＝3， ||＝4，a＝a〉×〈〉 (3)

易见，当≡3(mod 4)时，没有构造(3)。综上可知，引理1成立。

引理2 设是奇素数（≠3，7），的Sylow 2-子群为而Sylow-子群为型为(2，)的交换群2，那么：1)当≡1(mod 4)时，恰有19个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，恰有 10个彼此不同构的类型。

证明：类似于文献[3]，易证得是超可解群。再由文献[4]之定理8.4.6，不妨设〈〉，〈〉都是-不变的。由此得/C()，/C()分别同构于Aut(〈〉)与Aut(〈〉)的某个子群，所以当≡1(mod 4)时，有如下构造：

1)当C()＝C()＝时，显然是2与的直积；

2)当C()＝，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝－1(4)

3)当C()＝，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝－1(5)

4)当C()＝，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝b(6)

5)当C()＝〈〉，C()＝时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝－1(7)

6)当C()＝〈2，〉，C()＝时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝－1(8)

7)当C()＝〈〉，C()＝时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝a(9)

8)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，

b＝－1(10)

9)当C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1(11)

10)当C()＝〈2，〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1(12)

11)当C()＝〈2，〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，b＝－1(13)

12)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉，a＝，a＝－1，

b＝b＝－1(14)

13)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝a，b＝－1(15)

14)当C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝a，b＝－1(16)

15)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝b(17)

16)当C()＝〈2，〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，b＝b(18)

17)当C()＝C()＝〈〉时，有如下两种不同构造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝a，b＝b或－(19)

18)当C()＝〈〉，C()＝〈2〉时，令a＝a，b＝b，b＝－1，则有如下构造：

＝〈，，，〉，[，] ＝1，a＝a，

a＝，b＝b，b＝－1(20)

如果令a＝a，b＝－，b＝－1，则所得的构造与(20)是同构的(因为〈，〉＝〈，〉，只要用代替即知)。

易见，当≡3(mod 4)时，没有构造(6)，(9)，(15)~(20)。综上所述，引理2成立。

引理3设是奇素数(≠3，7)，的Sylow 2-子群为而Sylow-子群为3阶初等交换群3，那么：1)当≡1(mod 4)时，恰有34个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，恰有16个彼此不同构的类型。

证明：为简化记号，将3记为。显然在上的作用是互素的，于是由文献[4]之定理8.4.2得，＝()×[，]。首先，假定≡1(mod 4)，那么不难证明一定是超可解的。

1)当()＝时，是3与的直积；

2)当()是2阶子群时，不妨设C() ＝〈〉×〈〉，[，]＝〈〉，则

2.1)当C() ＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝－1(21)

2.2)当C() ＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝－1(22)

2.3)当C() ＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝c(23)

3)当()是阶子群时，不妨设C() ＝〈〉，[，]＝〈〉×〈〉，且〈〉与〈〉都是-不变的。注意到，在中是对称的，因此这时有如下几种不同构的类型：

3.1)当C()＝C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝－1(24)

3.2)当C()＝C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝－1(25)

3.3)当C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈，〉×〈，〉，b＝－1，

c＝－1(26)

3.4)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈，，，〉，[，]＝[，]＝1，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(27)

3.5)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈，〉×〈，〉，b＝－1，

c＝c(28)

3.6)当C()＝〈2，〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝c(29)

3.7)当C()＝C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝b，c＝c或－(30)

3.8)当C()＝〈〉，C()＝〈2〉时，令b＝b，c＝c，c＝－1，则有如下构造：

＝〈〉×〈，，，〉，b＝b，b＝，

c＝c，c＝－1(31)

如果令b＝b，c＝－，c＝－1，则所得的构造与(31)是同构的(因为〈，〉＝〈，〉，只要用代替即知)。

4)当()＝1时，注意到，，在中是对称的，因此有如下几种不同构的类型：

4.1)当C()＝C()＝C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(32)

4.2)当C()＝C()＝C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(33)

4.3)当C()＝〈〉，C()＝C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，，〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(34)

4.4)当C()＝C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(35)

4.5)当C()＝C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(36)

4.6)当C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，

b＝b＝－1，c＝－1，c＝(37)

4.7)当C()＝〈〉，C()＝C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，，〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(38)

4.8)当C()＝〈〉，C()＝C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(39)

4.9)当C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(40)

4.10)当C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(41)

4.11)当C()＝C()＝〈〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1(42)

4.12)当C()＝〈〉，C()＝〈2〉，C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b或－，b＝－1，c＝，c＝－1(43)

4.13) 当C()＝C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1(44)

4.14)当C()＝〈〉，C()＝〈2〉，C()＝〈2，〉时，令a＝a，b＝b，b＝－1，c＝－1，则有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b，b＝－1，c＝－1，c＝(45)

如果令a＝a，b＝－，b＝－1，则所得的构造与(45)是同构的(因为〈，〉＝〈，〉，只要用代替即知)。

4.15) 当C()＝C()＝C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b，c＝c或－(46)

4.16)当C() ＝C()＝〈〉，C()＝〈2〉时，有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b或－，b＝，c＝c，c＝－1(47)

如果在(47)中令c＝－，则所得的构造与(47)是同构的(因为〈，〉＝〈，〉，只要用代替即知)。

综上可知，当≡1(mod 4)时，Sylow 2-子群为而Sylow-子群为3阶初等交换群的83阶群共有34个彼此不同构的类型。

5)当≡3(mod 4)时，没有构造(23)，(28) ～(31)，(38)～(47)，但可以不是超可解的。当不超可解时，的特征多项式()不是元域上的一次因式之积，但必是4－1的因式，因而必是一个一次因式与一个二次不可约因式之积。又显然正规化的每个子群，于是必是一个阶-不变子群和一个2阶不可分解的-不变子群的直积。不妨设〈〉是-不变子群而〈，〉是不可分解的-不变子群，作用在〈，〉上的特征多项式只能是2＋1，再由文献[4]之定理8.3.3知在〈，〉上的作用是平凡的。而C()或为，或为的4阶循环子群〈〉，或为的4阶初等交换子群〈2，〉，因此当≡1(mod 4)时，为非超可解的构造有下面3种不同构的类型：

5.1)当C()＝时，有如下构造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝，c＝－1(48)

5.2)当C()＝〈〉时，有如下构造：

＝〈，〉×〈，，〉，[，] ＝1，

a＝－1，b＝，c＝－1(49)

5.3)当C()＝〈2，〉时，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，c＝－1(50)

总之，当≡3(mod 4)时，恰有 16个彼此不同构的类型。

综上所述，引理3成立。

引理4设是奇素数（≠3，7），的Sylow 2-子群为而Sylow-子群为指数是2的3阶非交换群4，那么：1)当≡1(mod 4)时，恰有4个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，恰有3个彼此不同构的类型。

证明：因为4的中心(4)＝〈a〉是阶群，而(4) char4，，于是。又不难证明〈a，〉是4的唯一的2阶初等交换子群，从而它是4的特征子群，于是它又必是的正规子群。由此可见，必是超可解群。类似于文献[3]，由文献[4]之定理8.4.6知，可设〈〉，〈〉都是-不变的。所以当≡1(mod 4)时，有下列构造：

1)当C()＝C()＝时，显然是4与的直积。

2)当C()＝〈〉时，必有a＝－1。将作用在[，]＝a的两边，易得b＝，于是C()＝，故有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝－1，b＝(51)

3)当C()＝〈2，〉时，可设a＝－1。这时同样有C()＝，故有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝－1，b＝(52)

4)当C()＝〈〉时，可设a＝a。这时同样有C()＝，故有如下构造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝a，

b＝(53)

由此可见，当≡1(mod 4)时，恰有4个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，没有构造(53)，因此恰有3个彼此不同构的类型。综上所述，引理4成立。

引理5设是奇素数(≠3，7)，的Sylow 2-子群为而Sylow-子群为指数是的3阶非交换群5，那么：1)当≡1(mod 4)时，恰有13个彼此不同构的类型；2)当≡3(mod 4)时，恰有8个彼此不同构的类型。

证明：因为(5)＝〈〉，而(5) char5， 所以〈〉是的正规子群，从而5/〈〉是-不变的。如果在5上的作用是平凡的，则是5与的直积。 如果在5上的作用是非平凡的，且是超可解的，那么不妨设〈〉，〈〉都是-不变的，于是C()与C()中至少有一个不是。注意到，在5中是对称的，因此当≡1(mod 4)时，有如下几种不同构的类型：

1)当C()＝〈〉，C()＝时，必有a＝－1，再将分别作用在[，]＝的两边得c＝－1，于是有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，c＝－1(54)

2)当C()＝〈2，〉，C()＝时，必有a＝－1，于是c＝－1，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，

c＝－1(55)

3)当C()＝〈〉，C()＝时，可设a＝a。这时有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝，

c＝c(56)

4)当C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，可设a＝－1，b＝－1，于是c＝c＝－1，故有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝－1，b＝，c＝c＝－1(57)

5)当C()＝C()＝〈2，〉时，可设a＝-1，b＝－1，于是c＝，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，

c＝(58)

6)当C()＝C()＝〈〉时，可设a＝－1，b＝－1，于是c＝，有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝(59)

7)当CS(a)＝〈x〉，CS(b)＝〈xy〉时，可设a＝

－1，b＝－1，b＝－1，于是c＝－1，c＝，故有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝

－1，b＝－1，c＝－1，c＝(60)

8)当C()＝〈〉，C()＝〈〉时，可设a＝a，b＝－1。这时有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝，b＝－1，c＝c，c＝－1(61)

9)当C()＝〈〉，C()＝〈2，〉时，可设a＝a，b＝－1，于是有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝－1，

c＝c(62)

10)当C()＝C()＝〈〉时，可设a＝a，则b＝b或－，于是c＝－1或，故有如下构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1或(63)

11)当C()＝〈〉，C()＝〈2〉时，可设a＝a，若令b＝b，b＝－1，则有c＝c＝－1，故有如下构造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b，

b＝－1，c＝c＝－1(64)

如果令b＝－，b＝－1，那么所得的构造与(64)是同构的(因为〈，〉＝〈，〉，只要用代替即知)。

由此可见，当≡1(mod 4)时，恰有13个彼此不同构的类型。

如果在5上的作用是非平凡的，且不是超可解的，那么5/〈〉是-不可分解的。 这时必有≡3 (mod 4)。类似于引理3的讨论，可知当≡3(mod 4)时，恰有一种非超可解的构造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝，b＝－1，

c＝(65)

当≡3(mod 4)时，没有构造(56)，（61）~（64），因此恰有8个彼此不同构的类型。 综上所述，引理5成立。

由引理1至引理5，易知定理1成立。

[1] 肖文俊，谭忠. 阶为233的群的构造[J]. 厦门大学学报:自然科学版,1995,34(5):845-846.

[2] 蔡琼.233阶群的构造[J].数学杂志,2005,25(4):449-452.

[3] 张远达. 有限群构造[M]. 北京:科学出版社,1982.

[4] 陈松良,李惊雷,欧阳建新. 论3阶群的构造[J]. 山东大学学报:理学版,2013, 48(2):27-31.

[5] Kurzweil H, Stellmacher B. The theory of finite groups: an introduction[M]. New York:Springer-Verlag,Inc. 2004.

On the complete classification of a kind of the finite groups of order 83with Abelian Sylow 2-subgroups

*CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2, Cui Zhong-wei1

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang, Guizhou 550018, China；2. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Letbe an odd prime andbe groups of order 83with Abelian Sylow 2-subgroup4×2. Based on the theory of groups acting on groups, we discuss that the isomorphic classification ofTheir structures are completely determined. We also show that: 1) If≡1 (mod 4),has 74 nonisomorphic structures; 2) If≡3 (mod 4),has 40 nonisomorphic structures.

finite group; isomorphic classification; structure of group

1674-8085(2015)04-0001-06

O152.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.04.001

2015-05-06；修改日期：2015-05-28

贵州省科学技术基金项目(黔科合J字[2013]2234号)，贵州省教育厅教改项目(黔教高发[2013]446号)

*陈松良(1964-)，男，湖南双峰人，教授，博士，主要从事有限群论及其应用研究(E-mail:chsl_2013@aliyun.com);

蒋启燕(1964-)，女，贵州遵义人，副教授，主要从事高等数学和代数学研究(E-mail:dq2008yi@163.com);

崔忠伟(1980-)，男，贵州铜仁人，副教授，博士生，主要从事算法与物联网研究(E-mail:seven_cui@126.com).