杨 帅
(中国矿业大学(北京)理学院,北京100083)
近年来,随着分数阶微分方程模型广泛建立于分数物理学、粘弹性力学、自动控制、生物化学、流体力学、随机过程等诸多应用科学领域[1],分数阶微分方程理论引起了许多科研人员的浓厚兴趣和积极关注.关于分数阶微分方程解的存在性及其求解也取得了丰硕的成果[2~5].分数阶微分方程初值问题是非线性微分方程的一个重要研究课题[6~9].Diethelm[3]讨论了如下一类分数阶微分方程边值问题
本文同样讨论上述方程,遵循Diethelm 的核心证明思想,但将其假设条件弱化,应用Schauder 不动点定理证明这类分数阶微分初值问题解的存在性.
定理1.1 设n >0,n ∉N,且m=[n].更设K >0,h*>0,b1,b2,…,bm∈R.定义
G= (x,y)∈R2:0 ≤x ≤h*,y ∈R时{ ,
假定f:G →R 在G 上连续有界,并且关于第二个变量满足Lipschitz 条件,即∃L >0,s.t.∀(x,y1),(x,y2)∈G,有
定理1.2 在定理1.1 的假设条件下,设h >0.y ∈C(0,h]是(1)的一个解当且仅当它是Volterra 积分方程
的一个解.
定理1.1 和定理1.2 分别引自Diethelm[3]定理5.1 和引理5.2.Diethelm 关于(1)或(2)解的存在性证明见Diethelm[3]引理5.3.
定理2.1 在定理1.1 中将假定f 关于第二个变量满足Lipschitz 条件去掉后,定理结论依然成立.也就是说,即使f 关于第二个变量不满足Lipschitz 条件,(1)仍然有连续解y ∈C(0,h].
证明: 由定理1.2 的证明过程知,将假定f 关于第二个变量满足Lipschitz 条件去掉后,(1)与(2)依然等价.
(i),显然‖y‖^B≥0,且‖y‖^B=0⇔y=0.
(ii)∀y1,y2∈^B,,有
(iii)∀α ∈R,有
接下来,定义集合
证明B 的凸性.∀α ∈R,满足0 ≤α ≤1,∀y1,y2∈B,有
现在,在B 上定义算子F:
则求解Volterra 积分方程(2)转化为求算子的不动点问题.
事实上,
则算子F 的不动点问题又可以转化为这样一个算子H:B →B.
的不动点问题.
分以下几步来证明:
第一步,由
知,
取∀y ∈B,可以得到
即Hy*(x)∈B,于是算子H:B →B.且可以得到Hy*(x)一致有界.
第二步,来讨论算子H 的连续性.∀y1∀y2∈B,x ∈(0,h],看到,对于∀ε >0,由f 在‖y*‖∞≤K 上的一致连续性知,∃δ0>0 使得当|y1-y2|<δ0时,有
则H:B →B 连续.
第三步,∀y ∈B,∀x1,x2∈(0,h],不妨设0<x1≤x2≤h.对于∀ε >0,讨论
因为n >0,n ∉N,所以
(I)当n >1 时,
则假定此时存在|x2-x1|<δ1,有
那么
即δ1=δ1(ε).
(II)当n <1 时,有
此时假定存在|x2-x1|<δ2,则
那么可以推出
即δ2=δ2(ε).
由(I)、(II),取δ=min{δ1(ε),δ2(ε)},则当|x2-x1|<δ 时,|Hy*(x1)-Hy*(x2)|<ε.则Hy*等度连续.
由Ascoli-Arzela 定理知Hy*是B 中的相对紧集.因此H:B →B 全连续.根据Schauder 不动点定理知H 在B 中必有不动点.
综上,证明了分数阶微分初值问题(1)解的存在性,即(1)必有连续解y ∈C(0,h].
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