杨 璐,陈奕含,王志福
(渤海大学 数理学院,辽宁 锦州121001)
农民工是个特殊的群体,面临着健康和医疗无保障双重困境.目前,有人提出购买医疗保险的观点,在此基础上,本文研究了文献[1-2]并联系实际,建立了保费收入和理赔为复合Poisson 过程的带干扰的风险模型[3],同时考虑了随机利率,最终得到调节系数,破产概率表达式,通过某市八个行业的数据分析,估算出保险公司的破产概率与初始资本的关系.
其中U(t)为保险公司t 时刻的盈余,u=U(0)(u>0)为时刻0 的初始资本;I 为随机利率.对于模型(1),作如下假设:
(1)Xj为保险公司第j 张保单收取的保费,Yj为保险公司第j 次的理赔额,且{Xj,j=1,2,…}与{Yj,j=1,2,…}为恒正的独立同分布的随机序列,其分布函数分别为F(x),G(y),E(Xj)=μ1,
(2)M(t),N(t)分别为保险公司截止时刻t 的保单数和理赔次数;且{M(t),t ≥0},{N(t),t ≥0}是参数分别为λ1,λ2的Poisson 过程,M(0)=0,n(0)=0;
(3){W(t),t ≥1}为标准的布朗运动,表示保险公司的不确定收入与支出,b 为干扰因子;
(4)S(t)为到t 时刻的理赔额[4];
(5){Xj,j = 1,2,…},{Yj,j = 1,2,…},{M(t),t ≥0},{N(t),t ≥0}相互独立;
若不考虑初始资本,模型(1)可写为
即在某时刻t 时保险公司的盈余过程,其中如果保险公司的盈余小于零,可视之为破产.
定义1: 破产时刻:T=inf{t:U(t)<0},最终破产概率Ψ(u)=P{T <∞|U(0)=u},相对安全系数;当θ=0 或θ <0 时破产.
引理1 对于盈余过程[5],{G(t),t ≥0},存在函数使得E[e-rG(t)]=exp(tg(r)).
引理2 对于g(r),则方程g(r)=0 在r >0内有唯一正解R,称R 为调节系数.
证明: 由于
故
又易知
所以
从而g(r)是具有极小值点的下凸函数,
则g(r)在r >0 内有唯一极小值点
故方程g(r)=0 有唯一正解,设该解为R,R即为调节系数.
证明:
当r 取调节系数R 时,有E[e-RU(t)]=e-Ru(1+I),则上式可化为
由
当t →∞时,
以下证明limt E[e-RU(t)|T >t]P(T >t)=0 E[U(t)]=u(1+I)+λ1tμ1-λ2tμ2=u(1+I)+ωt
由切比雪夫不等式,
当t →∞时,
所以
从而得到,
由在t <∞上,-RU(T)≥0,可知E[e-RU(T)|T <∞]≥1
由此可得
为得到模型(1)中Poisson 过程中参数值,通过对J 城市部分主要行业中农民工是否有意向购买医疗保险进行调查统计,得到部分农民工购买意愿的统计结果如下:
表1 农民工购买医疗保险意愿问卷数据分析
根据表中统计数据,可以通过购买者比例来估算各行业中医疗保险的购买人数.假设城市八个主要行业每个行业从业人员大约有2000 人,则通过上表相应比例可得各行业有购买医疗保险意向人数分别为:417 人,546 人,576 人,758 人,650 人,599 人,671 人,733 人.
做无偏估计得:
通过对保险公司的保单和理赔数据进行分析我们可以得到,每笔保单的Xj服从指数分布,参数大约为α=1,每笔理赔额Yj也服从指数分布,参数大约为
在模型(1)中I 为一年的年利率,设I =3.3%,农民工患病率0.18,则λ2=0.18.干扰因子b=0.2,由以上计算可知:
令g(r)=0 得R ≈3.43×10-4
当u=10000 时,将R=3.43×10-4,i=3.3%代入(3)式得Ψ(u)≤2.89%;
当u=20000,30000,50000 时,可以计算出破产概率的上界,如表2:
表2 破产概率的上界
由上表可知,主要影响破产概率的因素为初始资本,初始资本越多,破产概率越低,这与保险公司的实际运营是一致的.当然本文也存在一些误差,如样本较小,对一些变量的取值较小等[6],这些结果都会影响实际运营.伴随市场经济的日益复杂,继续深入和完善风险理论是非常有价值的,该课题的研究也一定会有更广阔的前景.
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