基于OpenSees 的形状记忆合金材料本构模型的二次开发①

胡晓斌，王 琪，刘 坤

(武汉大学土木建筑工程学院，湖北 武汉430072)

0 引 言

形状记忆合金(Shape Memory Alloy，简称SMA)是一类对形状有记忆功能的材料，常用的包括Ni 基及Cu 基合金，如Ni－Ti、Cu－Al－Be 合金.SMA 材料以其特有的形状记忆、超弹性、大变位、良好的耐腐蚀及耐疲劳性能等优势被广泛应用到航空航天、机器人、医疗等领域.由于具有超弹性性能，在卸载后没有残余变形，近年来SMA 材料来在土木工程领域(特别是结构减震)得到了广泛地研究和应用［1］.

为探明SMA 材料的力学性能，国内外部分学者通过试验手段进行了深入的研究［2～4］，并提出了不同的描述其单轴力学行为的本构模型.根据是否考虑加载速率的影响，SMA 本构模型可以分为率相关及率无关模型.相对于前者，后者更为简单，计算效率更高，从而在工程中得到了更为广泛地应用.在率无关模型方面，Graesser 等［5］将Ozdemir 模型［6］进行了改进，提出了Graesser－Cozzarelli 模型.在此模型的基础上，Wilde 等［7］进一步考虑了奥氏体向马氏体转化完成后的硬化，提出了Wilde模型.

本文首先将Wilde 模型进行简化，提出了一种修正的Wilde 模型，并给出了FS 模型中耗能参数的取值方法，然后利用OpenSees 软件提供的二次开发平台，编写了相应的新材料，并与试验数果进行对比，验证了所开发材料的准确性.

1 SMA 材料本构模型

1.1 修正Wilde 本构模型

本节对Wilde 模型进行简化，提出了一种修正的Wilde 模型，以提高计算效率，其应力－应变关系表示如下:

式中:σ，ε 分别表示应力和应变，其导数表示对时间求导;E 表示初始弹性模量，Em表示马氏体弹性模量，σy表示“屈服”应力(即奥氏体开始向马氏体转化的应力);n，c 是常数(值得注意的是，对于上升段和下降段，n 需取不同的值);sgn()是符号函数;K 定义如下:

式中:H()表示阶跃函数;β 表示背应力，计算如下:

式中α，fT，a，b 均为常数;uⅠ，uⅡ，uⅢ定义如下:

式中:εm为奥氏体完全转变成马氏体的应变，ε1为上升段第二段的起始应变(见图1).

图1 所示为修正Wilde 模型的示意图.由式(1)、(6)～(8)可以看出:上升段由三段构成，分别对应于式(1)右边的三项，第一段为曲线，第二、三段分别为直线;下降段为曲线，对应于式(1)右边的第一项.该模型较为复杂，需要12 个参数才能完全确定下来.

图1 修正Wilde 模型

图2 FS 模型

1.2 FS 模型

FS 模型是描述SMA 材料力学性能的一种常用的简化模型［8］，如图2 所示.其中，E 表示奥氏体弹性模量，Em表示马氏体弹性模量，σy，εy分别表示屈服应力及屈服应变，εm表示奥氏体完全转变成马氏体的应变，α 表示屈服后模量系数，β 表示耗能参数.相对于修正Wilde 模型，该模型较为简单，仅需要6 个参数即可完全确定.

对于FS 模型，耗能参数β 如何确定比较关键.如图2 所示，设ε′为应变轴上的一点，其在上下平台段对应的应力差为.由几何关系，易得:

式(9)表明可由给定应变点的应力差求出耗能参数.值得注意的是，对于在上下平台段均有值的应变点，其应力差是不变的.

对于修正Wilde 模型或实际的实验曲线，不同应变点的应力差并不相同.为求出耗能参数β，可在给定的区间内取若干个应变点(如图3 所示)，对于每个应变点εi，利用式(9)求出相应的耗能参数，然后取其平均值.为简单起见，本文取应变区间为［εyεm］，εy可由下式近似计算:

图3 耗能参数β 的计算

2 SMA 材料在OpenSees 中的二次开发

OpenSees 是一个开源性的分析平台，其源代码采用C++语言编制，用户可以通过编写类为系统添加新的材料和单元，从而拓展其功能.OpenSees 材料库的层次图如图4 所示.其中，类Material 位于顶层，是所有材料的基类，从其派生出 三 个 子 类， 即 SectionForceDeformation，UniaxialMaterial 及 NDMaterial， 其 中UniaxialMaterial 用来定义单轴材料［9］，其子类包括Concrete01、Steel01 等.本节根据前述的修正Wilde 模型及FS 模型，分别开发了继承自UniaxialMaterial 的子类MWilde 及FS.

图4 材料层次图

式(11)，(12)为一阶微分方程，为简单起见，本文采用欧拉法求解.

3 SMA 材料的验证及对比

为验证所开发材料的准确性，本节进一步采用前节所开发的MWilde 及FS 材料，对循环加载下Ni－Ti 合金力学性能试验进行模拟，试验加载频率分别为0.001 Hz 及2 Hz［10］.由于修正Wilde 模型及FS 模型均是率无关模型，为反映SMA 材料的率相关特性，MWilde 及FS 材料的部分参数在不同频率下的取值是不同的，分别如表1，2 所示.

表1 MWilde 材料参数

表2 FS 材料取值

对于不同的加载频率，试验与计算所得的应力－应变关系对比如图5 所示.可以看出:(1)从总体上来讲，二种材料的计算结果均与试验结果吻合较好，表明所开发的材料均具有较好的分析精度;(2)相对于FS 材料，MWilde 材料计算精度更高，能更好地反映SMA 材料的非线性力学特性，但其计算效率较差;(3)当SMA 材料马氏体转化完成前，FS 材料计算结果与试验结果吻合较好;当完全进入马氏体阶段后，FS 材料计算结果与试验结果误差较大，会低估SMA 材料的耗能能力.

图5 计算结果与试验对比

4 结 语

本文针对SMA 材料，首先提出了一种修正的Wilde 模型，并给出了FS 模型中耗能参数的取值方法，然后基于OpenSees 开发了相应的新材料，并在材料层次上进行了验证.可以得出如下主要结论:

(1)修正Wilde 模型和FS 模型的计算结果与试验结果吻合较好，表明本文所开发的材料均具有较高的计算精度.

(2)相对于FS 模型，修正Wilde 模型能更好地反映SMA 材料的非线性力学特性，计算精度较高，但其计算效率较低.

(3)当SMA 马氏体转化完成前，FS 模型计算精度较高;当马氏体转化完成后，FS 模型会低估SMA 材料的耗能能力.

［1］ 崔迪，李宏男，宋钢兵.形状记忆合金在土木工程中的研究与应用进展［J］.防灾减灾工程学报，2005，25(1):86 －94.

［2］ 蔡莲淑，余业球，黎沃光.热型连铸Cu－Al－Be 超弹性合金丝的力学性能［J］.铸造技术.2011，(06):854－856.

［3］ 陈留桥.Cu－Al－Be 形状记忆合金超弹性研究［D］.镇江:江苏科技大学，2008.

［4］ Zhu S.，Zhang Y.A Thermomechanical Constitutive Model for Superelastic SMA Wire with Strain－rate Dependence［J］.Smart Materials＆Structures，2007，16:1696－1707.

［5］ Graesser E.J.，Cozzarelli F.A.Shape－memory Alloys as New Materials for Aseismic Isolation［J］.ASCE Journal of Engineering Mechanics，1991，117(11):2590－2608.

［6］ Ozdemir H.Nonlinear Transient Dynamic Analysis of Yielding Structures［D］.Ph.D.Dissertation，University of California，Berkeley，CA，1976.

［7］ Wilde K.，Gardoni P.，Fujino Y.Base Isolation System with Shape Memory Alloy Device for Elevated Highway Bridges［J］.Engineering Structures，22(3):222－229.

［8］ Christopoulos C.，Filiatrault A.E.，Folz B.Seismic Response of Self－centring Hysteretic SDOF Systems［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2002，31(5):1131－1150.

［9］ Silvia Mazzoni，Frank McKenna，Michael H.Scott，et al.Open System for Earthquake Engineering Simulation User Command－Language Manual［Z］.OpenSees version 1.7.3，2006.

［10］ Zhu S..Seismic Behavior of Framed Structural Systems with Self－Centering Friction Damping Brace［D］.Ph.D.Dissertation，Leigh University，Bethlehem，PA，CA，2007.