整体思想与换元法

郑 燕

（绍兴市越城区孙端镇中学）

数学是一门关注思想方法的学科，只有真正搞清数学思想，灵活运用数学的方法技巧，才能抓住数学的本质，从而把数学学好。数学的思想方法有许多，本文主要讨论整体思想与换元法，并通过几个例子来说明两者的一致性，即为思想找方法，为方法寻思想。所谓整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理。换元法是指解数学题时把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，结果就算出来了。本文主要以初一数学知识为背景来讲解整体思想及换元法。

一、在代数式化简求值中的应用

例1：已知a+b=3，求2a2-3a+2b2-3b+4ab+1 的值

解：2a2-3a+2b2-3b+4ab+1=2（a+b）2-3（a+b）+1=18-9+1=10

注：要求的代数式中有两个字母，我们无法对其一一求解，另外告诉我们的关于这两个字母的条件是它们的和，所以我们不妨考虑，在被求式中凑出这两个字母的和。于是我们很自然把a+b看作是一个整体来求解。

二、在因式分解中的应用

例2：因式分解（2x-1）2-2（2x-1）（x+1）+（x+1）2

解：令A=（2x-1），B=（x+1），求A2-2AB+B2=（A-B）2=［（2x-1）-（x+1）］2=（x-2）2

三、在解方程组中的应用

注：观察这个方程组，都含有（3x-1）与（4y+3），所以可以把它们进行换元看做一个整体先求出，再来求x 与y。

四、在几何中的应用

例4：如图，一块三边形绿化园地，三角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为（ ）

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。而整体思想说通俗一点就是，当题目中的量无法各个击破时，不妨一整块一整块地解决。在应用整体思想，用换元法解题时，要注意观察有无很大一块内容与形式上相同或一致，并且出现的次数较多。如果有，不妨就把这一块看做一个整体，为了形式及视觉上的简单，可以把相同的内容用一个简单的字母去替换，这就是整体思想与换元法在本质上的一致性。

孙维刚.初中数学［M］.湖北大学出版社，2007-05.