关注小学数学知识背景的来源、创设与迁移

吉智深

人总是以已有知识作为背景，去从事认识、获取新知识。小学生学习数学也不例外，数学课堂上教师必须给学生呈现数学知识的背景，通过交流分享，借助于概括，帮助学生自觉地重建隐藏在背景后的数学知识的含义。随着数学课程改革的深化，数学工作者越来越关注数学知识背景的来源、创设与迁移等问题，因为这些问题的探讨关系到数学教材的编写、教师对数学知识的理解和学生学习数学的过程。下面结合具体数学知识，探讨数学知识背景的来源、创设与迁移，以便更好地开展小学数学的教学。

一、 小学数学知识背景应来源于原始的现实

弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书指出：“数学化未必要从一种接近数学的现实开始，而应从一种我所说的原始的现实开始。”笔者认为原始的现实有三：一是数学知识的原始生活；二是数学发展的原始过程；三是儿童认知的原始世界。

1.小学数学知识背景来源于数学知识的原始生活

有了数学就有了数学化，而数学化又有横向数学化与纵向数学化之分，弗赖登塔尔是这样划分横向数学化与纵向数学化的：横向数学化把生活世界引向符号世界。符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地，这就是纵向数学化。弗赖登塔尔通过具体的例子解释了横向数学化与纵向数学化的区别。通过这些例子，我们可以清晰地看到一些数学概念和运算来源于我们原始的生活世界。比如：除法这一运算的原始背景之一就是减法：把一些物品分给一群人，可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直至分完或不能再分为止。这种来自生活的背景能最有效、最容易允许学生灵活地进行迁移，无论是一位数除以一位数还是多位数除以多位数，乃至分数除以整数，“减法”这种生活背景能够指导学生得到除法运算法则。

小学数学教育应广泛地依赖学生熟悉的原始生活，沿着人类数学发现的活动轨迹，从生活问题到数学问题，通过数学化，逐步让学生通过自己的努力去学获取数学知识。

2.小学数学知识背景来源于数学发展的原始过程

弗赖登塔尔在《数学教育再探》中指出：“新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平。他们被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，尽管是以一种修改的方式。”如果学生在教师指导下，重复人类的学习过程，那么他们更容易学会、借助和迁移这些知识。但让学生重复或复制人类发现和认识数学的全过程是不可能的，也没有这个必要。怎样处理两者的矛盾呢？波利亚给出了折中的建议，第一，在教一个概念时，应当让孩子重蹈人类思维发展中的那些关键性步子。第二，孩子重复人类的学习过程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定前人就知道我们现在所知的东西，那么他们会怎样做。

姜荣富老师在《让孩子重蹈人类思维发展中的关键步子》一文中有这样一个教学片段“新计数单位是怎样产生的？”教学主要内容是：假如有0，1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字以后，如何表示更大的数？这里涉及到计数法、自然数记数的位值原则和十进制计数法。让学生学会像古人那样，满十进一，用位值原则来简单表示很大的数，这样的教学过程虽然只是让学生简单经历了数的发展的历史过程，但却让学生对数的概念有了更深层次的理解。

3.小学数学知识背景来源于学生认知的原始世界

小学数学教材编写时，尽可能考虑到数学知识的背景来源于儿童的现实生活，从而激发学生的学习兴趣。但我们要知道学生的现实生活不等于他们的原始世界。

在儿童的原始世界里，有童话故事、有魔法师和魔法棒，有着无穷无尽的想像力。如果一个儿童计算出0-1=1，0-2=00，0-3=000，你不要生气，这是一个最漂亮的错误，他比说不会做的学生更具有想像力。船上有13头牛6只羊，请问船长年龄多大？如果学生能算出船长的年龄，也不要见怪。可能此时这些学生正在愉快地笑着，因为他们已经发现了其中的秘密。儿童的原始世界里还包括他们对自己身体的感性认识，对儿童来说，所有学习尽可能从身体动作开始。让他们一边点着自己的手指一边数：“1-2-3-4-5-6-7-8-9-10”，他们会发现：“我有10个手指！”儿童也可以去数自己的脚趾，然后发现自己有10个脚趾头。手可以帮助儿童领会，脚可以帮助儿童理解。

小学数学知识的教学不能假借“现实”“有用”等借口过早干预儿童的学习，追求立竿见影、马上能用的实惠，而要把数学教得容易些，等待长大，让儿童学会他们该学到的正确思维方式。

二、 数学再创造依赖于丰富的数学知识背景

当教材和教师寻找数学知识的原始背景时，发现这些来源太多了，如何选择是摆在人们面前的一道难题。如果选择其中一个就会让背景变得过于狭隘，那么就不选择，要创设丰富的知识背景，让学生自己进行数学的再创造。教师已经知道这些背景里的数学知识，为什么不能把数学定义、法则和算法直接告诉学生，而让学生进行再创造呢？弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书中列出了三点理由：“第一，知识和能力，如果通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的。第三，它促进了将数学作为一种人类活动来体验的观念的形成。”从具体的课堂教学来看，数学的教与学也离不开丰富的数学知识背景，体现在以下几个方面：

1.数学概念的产生依赖于丰富的数学知识背景

我们知道，数学概念的产生离不开实践活动和对已知的概念、现象的再认识。教师应考虑把问题的起点退回到学生熟悉的知识背景，站在学生的角度想问题，让学生经历数学概念产生的过程。以教学分数为例，虽然每一个国家表示分数的词汇不同，但对于“分数”一词的解释基本一致，就是“被分割的数”。所以不同版本的小学数学教材在“分数的初步认识”中都设计了“分物”活动。华应龙老师在“分数的初步认识”教学过程中，用测量和分物两个背景引入分数，从测量这一背景引入分数，还能体现分数的另一意义——比，这一点值得我们思考与借鉴。在课堂教学中，如何读出■，华老师精心设计了“四份之三”这个新词，从“图形表征”到“数学语言”完美地解释了“四分之三”的含义，也让学生真正体会到“分数”这一概念的真实性。

2.数学活动的开展依赖于丰富的数学知识背景

数学知识不是一种静态的解释，而是一种动态的活动。比如加法和减法，9-5=4，静态的解释就是9-5与4相等，其他没有任何意义，但如果把它与相关背景联系起来，那背景就很丰富了。如：停车场有多少个位置，已停了多少汽车？离节日还有多少天？还有多少页没有读完？虽然我们可以一个一个把它们数出来，但我们能不能更聪明一些，通过它们的结构把它们算出来？虽然这些数学知识对老师来说是熟知的，但对于学生来说是新的，是一种再创造。学生通过自己的活动获得了新知识，是一件令人愉快的事情。

3.数学问题的解决依赖于丰富的数学知识背景

如果仅仅把一种来源作为数学知识的背景而忽视其他来源，那是一件非常遗憾的事情。解决该问题的办法就是让学生用所学到的数学知识去解决问题，这样就会出现许多应用题。以加法和减法为例，当学生遇到相关的应用题时，如果没有人告诉他如何解决，那他一定会想起加法和减法的含义而回到它们的来源。弗赖登塔尔指出：“算术的应用是因为有真正的同构。”学生从应用题“小明有5个玻璃球，又赢了3个，现在他有多少颗？”得到“5+3=8”。学生一旦从一些背景中学会了数学符号“5+3=8”的含义，即使脱离了任何背景，数学符号仍然有意义，因为它可以适用于任何背景：5天和3天、5千米和3千米、5环和3环、5次和3次……

4.创新思维的发展依赖于丰富的数学知识背景

在数学里学生学会了分类这一重要的思维方式，教师要求学生按照分类学或者等级进行分类。如把水果归为一类，如果有人把“苹果”这个词和“吃”这个词分为一类，把“小汽车”和“汽油”分为一类，肯定有许多人说他笨。其实仔细想想，这种分类方法很有道理，人吃苹果而汽车烧汽油，它是按照事物功能来分类的。弗赖登塔尔指出：“这并不是一个预先构造的而是一个等待构造的世界。”这种创新的分类方法对日常生活中问题的解决很有帮助，所以我们应该借助丰富的数学知识背景，鼓励学生进行创造性思维，这对学生将来的发展是大有益处的。

5.数学本质的体现依赖于丰富的数学知识背景

丰富的数学知识背景对于数学再创造是有些干扰的，背景越多对数学再创造的干扰可能就越大，但这正是数学再创造的魅力：从纷繁芜杂的背景中寻找最本质的信息，也就是数学的本质。负数教学就是一个很好的例子，张奠宙教授在《多多注意数学本质的揭示——剖析“用温度计引入负数”的优缺点》一文指出： “引入负数不能只用温度模型”、因为它不能完全体现负数的本质，更应通过“收入与支出、增加与减少、赢与输、温度的零上与零下、海拔的高与低、方向的向东与向西等”多种动态的背景，让学生理解“负数是一种相反意义的量”这一数学本质。

三、 理性看待数学知识背景迁移的双重作用

知识背景作为认识定势是认识的某种特定的趋向，具有双重性。一方面，知识背景的迁移有积极的作用，正是利用了知识背景的迁移作用，人的认知水平乃至人类文明才有了长足进步，从这个意义上讲，知识背景的迁移作用是一种极为宝贵的精神财富，是构成人的认识能力的最主要的成分。另一方面，知识背景的迁移有其消极的作用，人们完全凭借固定的思维过程去认识事物，极力将一切都纳入已有的认识框架中去，拒绝根据客观实际和实践需要对原有的模式做出任何调整。所以在教学过程中，我们要理性看待数学知识背景迁移的作用，善于利用它的积极作用，及时纠正消极作用对学生认知的干扰。

我们已经知道：当a，b是自然数，且b≠0时，除法算式a÷b表示两种意义：

（1）可以表示a是b的几倍或几分之几。

（2）可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。

知识背景作为认识结构是一种动态的结构，它不断地把接受来的信息转换成自身结构的一部分，当学生遇到■=■时，他们肯定认为这个除法算式仍然具有上述两种意义，事实也是这样。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形，二是除数是分数的情形。第一种情形最容易理解，比如：如何计算■÷2，学生根据整数除法的理解，就是求■的一半是多少？借助几何直观，探索得到两种不同的算法：■÷2=■=■；■÷2=■×■=■。进一步研究得到，第一种方法不能普遍适用，第二种方法则能普遍适用。再考虑除数是分数的情形，则有多种思考角度，如1■÷■，第一种考虑，因为1■>■，所以就考虑1■是■的多少倍。第二种考虑，求一个数，使得它的■是1■。无论哪一种考虑，都是从整数除以整数的意义迁移到分数除以分数的意义，从而得到分数除以分数的算法。由此可见，知识背景的迁移在学习新知识方面起了关键性作用。

当然，知识背景的迁移并不是总起着积极的作用，盲目运用知识背景的迁移有时也会导致错误的发生。有这样一个典型的基本比例问题：4千克苹果价值32元。7千克苹果价值多少元？有的学生直接写出比例■=■。当学生遇到下面问题：7工人在28天内完成某件工作。5个工人要几天才能完成此工作？学生断定这也是比例问题，并写出：■=■，求得x=20。很显然这个答案是错误的，学生发生这样的错误是因为他们没有真正理解知识背景的结构，根据问题背景表面的相似性得到了错误的推广。教师面对这样的错误应该理性看待，不能直接否定学生的想法，要适时引导学生进行反思，如果7个工人在28天内完成这件工作，工人少了，却在更少的时间内完成该工作。这样的答案合理吗？引导学生反思，让学生意识到当旧的知识背景实在无法容纳新的问题时，应适当地改变认识定势，以便完成认识结构的重建与完善。

总之，随着小学数学课程改革的不断深入，知识背景的来源、创设和迁移等方面的问题越来越被广大教育工作者所关注，希望对它们的探讨能帮助教材更多从儿童的角度考虑知识的来源，让数学内容更贴近儿童的原始现实；帮助教师从数学再创造的角度来设计教学，让数学学习变得更加有意义；帮助学生充分利用知识背景迁移的积极作用，在反思与调整过程中不断完善自己的认知结构。

【责任编辑：陈国庆】