基于三角方法的Cauchy主值积分数值计算

胡婷婷，刘姣，金国祥

武汉工程大学计算机科学与工程学院，湖北 武汉 430205

基于三角方法的Cauchy主值积分数值计算

胡婷婷，刘姣，金国祥*

武汉工程大学计算机科学与工程学院，湖北 武汉 430205

用三角变量替换的方法把含Cauchy核的主值积分变换到［0，π）上含三角函数核的主值积分，用非等距结点的π（反）周期三角插值多项式作为工具去逼近新的主值积分的被积函数，构造出含Cauchy核主值积分的一个新的内插型求积公式，根据求积公式视结点个数的奇偶性不同给出了求积公式的不同表达式，推导出求积公式中求积系数的循环关系式．最后以一个实例在计算机上用Matlab编程实现，用得到的数值结果和图像来说明所得求积公式的误差渐进性．

Cauchy主值积分；三角插值；求积公式

0 引言

由于奇异积分解决了工程技术领域中的许多实际问题，近年来Cauchy主值积分

的数值计算问题受到许多学者的关注．这里只列出少量参考文献［1－6］；由于Cauchy奇异核的特性，在构造（1）的各种求积公式时，基本上都采用去掉奇异性的方法，把式（1）转化成通常意义下的广义积分，然后用适当的代数多项式逼近新的广义积分的被积函数而得到求积公式，大多数学者在构造式（1）的求积公式时，主要着眼于被积函数的各种逼近，很少用变量替换去变换Cauchy奇异核，而P．Kim和U．J．Choi在2000年对式（1）中积分变量进行三角变换，对变换后的主值积分用三角余弦插值多项式去逼近被积函数而得到一种内插型求积公式［7］．文献［7］用三角变量变换式（1）的奇异核而得到的求积公式不同于以往式（1）的求积公式，实际上他们是在构造一个新的奇异核的主值积分求积公式；但文献［7］也有不足，由于文献［7］中没使用［0，π）上的非等距结点的三角插值工具，他们只构造出［0，π）上2n个等距结点的求积公式，这在应用上会带来诸多不便．与文献［7］不同的是，本文构造式式（1）的求积公式时取消了对结点个数和等距的限制，并用一个实例来说明求积公式与原积分的误差渐进性．

1 π（反）周期三角多项式插值

为了构造（1）的非等距结点求积公式，下面引用文献［8］中的一些结果．

定义：如果三角多项式T（x）满足：T（x＋π）＝T（x），称T（x）是π周期三角多项式；如果T（x）满足T（x＋π）＝－T（x），称T（x）是π反周期三角多项式．

所有π周期三角多项式组成的集合记为ω．所有π反周期三角多项式组成的集合记为H．由文献［8］可知：

设0≤x1＜x2＜…＜xn＜π，v(x)=sin(x-x1)…sin（xxn），vj(x)=v(x)/sin(x-xj)．

2 Cauchy主值积分的非等距结点求积公式

令τ＝cosy，t＝cosx，代入式（1）有［7］：

式（4）中h(y)=f(cosy)．

设0≤x1＜x2＜…＜xn＜π，下面分n的奇偶性构造（4）的求积公式，为此，用［0，π）上非等距结点的三角插值多项式去逼近式（4）中的h（y），即用

去逼近式（4）中的h（y）．

（1）当n＝2q＋1时，由引理知，式（5）中vj（x）是n－1＝2q阶π周期三角多项式．由式（2）知:

构造式（4）的求积公式：

将式（6）代入有

其中

（2）当n＝2q时，同n＝2q＋1时一样，得到式（4）的求积公式为

其中

可得到式（7）、式（8）中求积系数的递推关系：

3 数值实例

设h（x）＝x2

n＝6，结点为0，0.3，0.7，1.0，1.2，1.5

图1、图2和图3分别是结点个数，n＝4，6，8和n＝4，5，7，n＝4，6，8和n＝3，5，7时，Lagrange三角插值函数的图像，并与原函数，h（x）＝x2进行对比分析，以此来说明插值函数的逼近效果.

图1 n＝4，5，7时，插值函数图像Fig.1 Interpolation function image as n＝4，5，7

图2 n＝4，6，8时，插值函数图像Fig.2 Interpolation function image as n＝4，6，8

图3 n＝3，5，7时，插值函数图像Fig.3 Interpolation function image as n＝3，5，7

从实验结果可以看出，不需要取很大的n就可以达到比较好的逼近效果，当然n越大，误差越小，下面数值积分结果也说明了这一点．

h（x）＝cos2x的数值积分结果：

求积公式的数值积分结果：

致谢

感谢湖北省教育厅对本项目的支持！

［1］杜金元．奇异积分的数值计算［J］．华中师范学院学报，1985（2）：15－28．

DU Jin-yuan．On the numerical evaluation of singular integrals［J］．Journal of central China teachers college，1985（2）：15－28．（in Chinese）

［2］路见可，杜金元．奇异积分方程的数值解法［J］．数学进展，1991，20（3）：278－293．

LU Jian-ke，DU Jin-yuan．The numerical solution ofsingularintegralequations［J］．Advancesin Mathematics，1991，20（3）：278－293．（in Chinese）

［3］HASEGAWA T，TORII T．An automatic quadrature for Cauchy principal value integrals［J］．Math Co-mp，1991（56）：741－754．

［4］HUNTER D B．Some Gauss-type formulae for the evaluation of Cauchy principal values of integrals［J］．Numer Math，1972（19）：419－424．

［5］金国祥．含Hilbert核的奇异积分带重结点的求积公式［J］．数学杂志，1997，17（3）：427－432．

JIN Guo－xiang．Quadrature formulae with multiple nodes for singular integrals with Hilbert kernel［J］．Journal ofmathematics，1997，17（3）：427－432．（in Chinese）

［6］LU Jian-ke．A class of quadrature formulas of chebyshev type for singular integrals［J］．J Ma－Th Anal Appl，1984（100）：416－435．

［7］PhilsuKim，ChoiUJin．Aquadratureruleof interpolatory type for Cauchy integrals［J］．JComp Appl Math，2000（126）：207－220．

［8］Delvos．Hermiteinterpolationwithtrigonometric polynomials［J］．BIT，1993（33）：113-123．

Numerical computation of principal value integrals with Cauchy kernel based on trigonometric method

HU Ting－ting，LIU Jiao，JIN Guo－xiang
School of Computer Science and Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China

Using the method of changing trigonometric variable，a principal value integral with Cauchy kernel was transformed to a principal value integral with trigonometric functions kernel．The new interpolatory－type quadrature formulae were constructed for the principal value integral with Cauchy kernel，in which the integrand of the new principal value integral was approximated using the tool ofπ－（antiperiodic）periodic trigonometric interpolation polynomial with nonequdistant nodes．The different representations of the quadrature formulae were made depending on the odd and even numbers of the nodes，and the recurrence relations of the quadrature coefficients were derived．Finally，the asymptotic error of the quadrature formulae was illustrated，using the numerical result and images from a case realized by Matlab．

Cauchy principal value integrals；trigonometric interpolation；quadrature formulae

O241.38 O174.41

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.06.013

1674－2869（2015）06－0063－04

本文编辑：陈小平

2015-04-22

湖北省教育厅科研基金重点项目（D20101506）

胡婷婷（1990－）女，湖北荆州人，硕士研究生.研究方向：奇异积分方程数值计算．*通信联系人.