液压缸非线性时变特性分析与数值仿真方法研究

陈鹏霏，刘海芳，贺宇新 ;柳虹亮

(1.长春工业大学，吉林 长春 130012;2.长春职业技术学院，吉林 长春 130033)

0 引言

液压缸驱动机构相比传统的机械传动，具有结构简单、传动平稳、控制方便，且适用于大功率场合等显著优点。因此，在冶金、矿山、铸锻等重型机械上，液压技术早已被广泛应用［1］。如今，随着重机自动化技术的不断发展，对液压驱动精度的要求也越来越高。然而，液压缸等传动机构在低速运行时会出现时断时续、时缓时急的爬行现象，严重影响了传动系统的稳定性，有时甚至会造成重大的经济损失。因此，在深入揭示爬行现象本质机理的基础上，利用现代计算机技术进行数值仿真研究，从而寻求有效的解决方案，是具有现实意义的。

目前，对于液压伺服驱动系统动态特性的仿真研究，主要有两种方法［2］:(1)依据经典控制学理论建立传递函数模型，采用控制仿真软件Matlab/Simulink、LabView 等进行系统仿真;(2)通过图形建模的方式，利用专业的液压系统仿真软件AMESim、SimulationX、20－ Sim 等进行模拟仿真。然而，由于上述方法多采用小偏差理论对非线性因素进行线性化处理，导致有时即使忽略微小的非线性因素，往往也会在实际分析中引起较大的误差，甚至引发本质性的错误，使得液压仿真分析的最终结果难以达到较为理想的效果。

近年来，国内外学者针对液压缸的非线性运动特性，逐渐展开了大量的研究工作。国外Hayashi S［3］以流体非线性动力学理论为基础，深入阐述了液压缸低速爬行实质上是自激振动、分岔和混沌等非线性动力学现象的一种表现形式。Misra A［4］和Licsko G［5］则以液压控制阀为研究对象，从单一元件角度分析液压缸非线性运动特性问题，研究了当控制阀相关参数改变时所引起的不同程度的液压爬行现象。国内王林鸿［6］教授通过理论分析和试验验证研究了液压缸运动的非线性动态特征，指出液压缸低速爬行是在特定工况下的“跳跃现象”和自激振动等多重原因作用的结果。姜万录［2］教授提出将现代非线性动力学理论引入液压伺服系统，揭示伺服系统动态过程的本质和机制，同时对系统进行状态监测和智能故障诊断，具有十分重大的意义。然而，众所周知，非线性问题是伺服驱动系统中普遍存在但至今仍未能很好解决的难题。目前，已有学者采用较为成熟的非线性振动学理论Duffing 方程和Van Der Pol 方程，来解决液压缸运动的非线性特征，并取得了良好的效果。但是在模型转化过程中仍不可避免地进行相应的简化，且Duffing方程和Van Der Pol 方程的数值求解过程较为复杂繁琐。

因此，本文在深入研究液压缸非线性运动特性基础上，利用Taylor 展开法将非线性微分方程简化为可解的线性微分方程形式，并采用分割时间步长的策略来解决液压缸运动过程中各特征参数的非线性和时变特性。力图通过理论分析和数值仿真，深入揭示液压非线性弹簧力和时变摩擦力的变化规律和作用机理，探索引起液压缸低速爬行现象的本质原因。

1 液压缸驱动机构动力学模型

液压缸作为液压驱动系统的执行元件，可将油液的压力能转换为机械能输出。按其结构形式可分为活塞式、柱塞式、摆动式及嵌套式液压缸等。虽然液压缸种类繁多，但其工作原理基本相同。双作用单活塞杆液压缸的工作原理简图如图1 所示。

图1 单活塞杆液压缸的工作原理图Fig.1 Principle diagram of single rod hydraulic cylinder

根据牛顿第二定律，其动力学方程可表达为

式中，m为活塞和负载的等效质量;Fc为介质粘性阻尼力;Ff为运动过程中的摩擦力;Ft为弹性力;FL为外加负载;p1为进油腔压力;p2为回油腔压力;A1为无杆腔有效面积;A2为有杆腔有效面积。

将活塞和负载质量作为被驱动的从动件单独进行受力分析，如图2 所示。假设液压缸驱动负载过程中驱动力和负载力相等，即p1A1=p2A2+FL，于是可得液压缸驱动的活塞动力学方程为

图2 液压缸运动的非线性力学模型Fig.2 Nonlinear mechanics model of hydraulic cylinder motion

2 非线性时变特性分析

2.1 非线性弹簧力

如图1 所示的双作用单活塞杆液压缸，弹簧刚度k(x)由液压油刚度和活塞负载质量弹簧刚度串联而成。由材料力学可知，钢铁弹性模量远大于液压油液的体积弹性模量，故此可忽略活塞负载质量产生弹簧刚度的影响，只考虑液压油液在驱动过程中形成的液体压缩弹簧刚度。

液压缸驱动负载移动时，缸的有杆腔和无杆腔均充满了液压油，且均处于压缩状态，所以产生的总弹簧刚度可以看作是两腔液压油液刚度并联作用的结果。同时，液压缸活塞的运动改变了液体弹簧的长度，将引起弹簧刚度的改变，其随活塞杆位移变化的规律为［6］

式中，K0表示液压油液的体积弹性模量;L为液压缸的总行程;x0表示活塞的初始位置;α 和γ为待定系数。

根据式(3)可以得到液压缸的弹簧刚度随活塞位移变化曲线，如图3 所示。若α=1，γ=0时，即进油节流回油路无背压回路，此时液压弹簧力表现出全程软弹簧特性;若α=1，γ=1时，即进油节流回油路有背压回路，此时液压弹簧力表现出半程软弹簧半程硬弹簧特性;若α=0，γ=1 时，即回油节流回路，此时液压弹簧力表现出全程硬弹簧特性。

由图3 可知，液压缸弹簧刚度随活塞位移呈现出明显的非线性时变特性，但相比时变特性，其在整个行程中的非线性特征更加明显。

图3 液压缸弹簧刚度的非线性变化规律Fig.3 Nonlinear variation rule of hydraulic cylinder spring stiffness

2.2 时变摩擦力

根据经典的Stribeck 摩擦理论，液体润滑状态可划分为三种主要类型:Ⅰ为边界润滑状态;Ⅱ为混合润滑状态;Ⅲ为流体动压润滑状态，具体如图4 所示。在图4 中，纵坐标f 表示摩擦因数，Stribeck 曲线与纵坐标交点处f0表示静摩擦因数;横坐标其中，υ为润滑剂的运动粘度，v为相对运动速度，p为接触面法向作用载荷。

图4 Stribeck 摩擦曲线Fig.4 Stribeck friction curve

根据经典的Stribeck 摩擦理论，可以获得的摩擦力与速度之间关系曲线如图5 所示。当工作点处于区域Ⅲ时，摩擦力随速度发生线性变化，其自由振动方程为形式较简单的线性微分方程。此时，摩擦力的作用增加了系统的阻尼，振动随时间很快地衰减，系统为稳态系统，不会发生爬行现象。然而，当工作点处于区域Ⅰ或区域Ⅱ时摩擦力随速度是非线性变化的。

图5 摩擦力与速度关系曲线Fig.5 Curve of friction-velocity

为进一步了解液压缸活塞运动时所受摩擦力的时变特性，本文忽略液压弹簧刚度非线性特性的影响，集中研究摩擦力对液压缸运动特性的影响。令文献［6，7］将液压缸活塞运动时的自由振动方程转化成Van Der Pol 方程形式，即

求解Van Der Pol 方程，目前已有成熟的理论方法，如显式Euler 法、改进的Euler 法和四阶Runge-Kutta 法等，但求解过程均比较复杂繁琐［8］。这里利用matlab 中的simulink 对上述Van Der Pol 方程进行仿真求解，得到其速度时域图像，如图6 所示。

图6 基于Van Der Pol 方程的速度时域图像Fig.6 Velocity time domain figure based on Van Der Pol

由图6 可知，当工作点处于区域Ⅰ或区域Ⅱ时，液压缸活塞的运动速度呈现出明显的非线性时变特性，且其在整个行程内的时变特性尤其明显。

3 液压缸动态数值仿真

3.1 液压缸非线性动力学分析

当利用液压油驱动活塞运动时，假设流入液压缸内的油液流量q 不变，根据流量连续性方程，理论上活塞有效作用面积A1处液流的流动速度v=q/A1保持不变。但是，由于实际液体具有可压缩性，将先蓄备油液以便形成液压弹性力。若该工作点的液压弹簧钢度为k(x)，则产生的液压弹性驱动力Ft=k(x)·(x－x0－vt)≈－k(x)·x0(这里，x0为液压弹簧压缩量)。当液压驱动力Ft小于活塞所受的静摩擦力Ff0时，液压缸活塞不运动，油液继续流入，x0增加，导致液压弹性力Ft不断增加;当液压驱动力Ft等于活塞所受的静摩擦力Ff0时，即k(x)·x0=Ff0，液压缸活塞开始移动，根据Stribeck 摩擦理论可知，静摩擦力瞬间变为动摩擦力，在静、动摩擦力差的作用下活塞加速运动，由于动摩擦力)在低速范围内随速度˙x 增加而减小，故导致工作台进一步被加速;当液压等效弹簧的压缩量逐渐恢复，即| x－x0－vt | 逐渐减小，驱动力Ft减小到与动摩擦力)相等时，由于惯性使活塞负载向前冲过一小段距离，导致弹簧驱动力Ft进一步减小;当液压等效弹簧驱动力Ft小于动摩擦力时，液压缸活塞负载开始减速，同时动摩擦力进一步增加，直至液压缸活塞负载停止移动。上述现象不断重复，产生了液压爬行。将此过程在活塞工作点处建立运动微分方程，得

式中，k(x)为液压等效弹簧刚度，在工作点x处，k(x)可视为常数;c0为系统阻尼系数。

由于液压缸工作点仅处于区域Ⅰ或区域Ⅱ时摩擦力呈现出强时变特性。所以，根据Taylor 展开法，将摩擦力在接近零处工作点附近，即=v0≈0，Ff=Ffd(v0)=Ffd进行泰勒展开，于是

式中，ω为液压缸驱动系统的固有频率，且ω2=k(x)/m;ξ为阻尼比，

由于液压弹簧刚度k(x)的时变特性并不明显，因此在很小的时间间隔内，即在活塞工作点附近，k(x)可近似表示成常数k。于是，式(7)为可解的二阶常系数非齐次线性微分方程，其全解由对应的齐次线性微分方程的通解和非齐次线性微分方程的特解构成。

根据线性微分方程理论，可知式(7)对应的齐次线性微分方程通解形式为

式(7)非齐次线性微分方程特解为

式中，A、B 和a、b 均为待定系数。

于是，得液压缸活塞动力学微分方程解

液压缸活塞运动速度

3.2 数值仿真策略

根据上述分析可知，尽管造成液压爬行现象的两个主要因素:液压弹簧刚度和摩擦力均具有非线性时变特性，然而液压弹簧刚度主要体现的是非线性特性，而摩擦力则主要体现时变特性。因此，在对液压缸一个伸出行程进行仿真过程中，可以采取离散时间法的策略，将整个伸出行程时间t 离散成n 段。虽然整段行程内液压弹簧刚度是非线性的，但在每小段时间Δti=ti－ti－1(i=1，…，n)内，可认为液压弹簧刚度为线性变化的，从而来解决液压弹簧刚度的非线性特性。根据式(3)，可知液压弹簧刚度的迭代公式为

对于摩擦力，由于其在整个行程中体现的是强时变的特性，因此每小段时间间隔Δti内必须考虑到摩擦力的时变特性。可以根据Taylor 展开法，将摩擦力在工作点处线性展开，忽略高阶微分量。摩擦力的线性展开式近似为

于是，在每个时间间隔段内，可将式(2)所示的不可解的非线性时变微分方程，转化为式(7)可解的线性微分方程形式。解出相应活塞杆的位移和速度，迭代到下一时间段内，求出该段时间内的液压弹簧刚度，并列出此时的线性微分方程继续求解。记录出每一时间段内活塞运动的速度和位移，做出整个行程内活塞运动的仿真线图，具体流程如图7 所示。

图7 仿真策略流程图Fig.7 Simulation strategy flow diagram

4 仿真分析实例

某铁合金电炉液压驱动系统执行元件如图1所示。驱动系统为进油节流且回油有背压的回路。已知缸筒内直径100 mm，活塞杆直径50 mm，总有效行程为150 mm;活塞负载总质量370 kg;油液体积弹性模量为1.6 MPa，密度为900 kg/m3。当液压缸的预期驱动速度分别为1.2 mm/s、3 mm/s 和5 mm/s 几种不同情况时，采用上述数值仿真分析方法，比较液压缸活塞杆在不同工况下的实际运动特性，并说明原因。

首先，根据已知条件可得整个行程内驱动系统液压弹簧刚度的非线性变化过程如图3 中实线所示，将液压缸一个行程内所用的时间t 离散为等距的时间段Δt(Δt=1/104t);再依据经典的Stribeck 摩擦理论，得到驱动过程中活塞所受摩擦力与速度之间关系曲线如图5 所示，于是可知不同速度工况下活塞运动时所处的摩擦状态;最后，在每一时间段Δt 内根据图7 所示的仿真策略流程输出液压缸活塞整个行程内的速度变化线图和位移变化线图，分别如图8 和图9 所示。

图8 不同润滑状态下的速度时域图像Fig.8 Velocity time domain figure on different lubrication condition

图9 不同润滑状态下的位移时域图像Fig.9 Displacement time domain figure on different lubrication condition

当液压缸预期速度为1.2 mm/s 时，活塞运动处于边界润滑区域(图5)。此时，活塞运动体现出负阻尼特性，即随活塞瞬时速度增大摩擦力减小，从而导致阻尼比ξ为负值(ξ ＜0)，故此液压缸活塞在整个行程内均会出现液压爬行现象，且随运动时间增加停止时间会越来越长。其瞬时速度的时域图像如图8a 所示;位移的时域图像如图9a、9b 所示。由图9b 可见，随着运动时间的增加活塞的停留时间亦越来越长。

当液压缸预期速度为3 mm/s 时，活塞运动处于混合润滑区域(图5)。此时，活塞运动的负阻尼特性减弱，导致阻尼比ξ 很小(ξ→0)，故此液压缸活塞在行程内会出现时缓时急的液压爬行现象，但随运动时间的增加，速度的时变幅度越来越小，如图8b 所示;在接近行程终点时活塞杆逐步趋于等速运动，位移的时域图像如图9c所示。

当液压缸预期速度为5 mm/s 时，活塞运动处于流体动压润滑区域(图5)，此时活塞运动体现出的是正阻尼特性，即随活塞瞬时速度增大摩擦力增大，于是液压缸活塞仅在行程初始处出现短暂的液压爬行现象，随即便迅速衰减为等速运动。且阻尼比ξ 越大，其衰减过程越快，速度时域图像如图8c 所示，位移时域图像如图9d所示。

由上述分析可知，相对于液压弹簧刚度，液压缸系统的润滑条件和摩擦性质是影响其动态特性的关键因素之一。

5 结论

(1)液压缸驱动系统整个行程内液压弹簧刚度主要体现出非线性特征，而摩擦力因随速度变化频繁，主要体现出明显的时变特征。

(2)仿真结果表明，采用时间离散法和各时间段内Taylor 展开法相结合，进行液压缸驱动系统数值仿真分析，与实际吻合效果良好。

(3)与液压弹簧刚度相比，液压缸系统的润滑条件和摩擦性质是影响其动态特性的关键因素之一。

［1］汪建业，邓丽，刘福兰.重型机械制造业现状与发展趋势的分析和思考［J］.重型机械，2008，(5):1－5.

［2］姜万录，朱勇，郑直.电液伺服系统动态特性的研究现状与展望［J］.机床与液压，2014，42(9):169－173.

［3］Hayashi S.Nonlinear Phenomena in Hydraulic Systems［C］.Proceedings of the Fifth International Conference on Fluid Power Transmission and Control，2001:28－32.

［4］Misra A，Behdinan K，Cleghorn W L.Self-excited Vibration of a Control Valve Due to Fluid-structure Interaction［J］.Journal of Fluids and Structures，2002，16(5):649－665.

［5］Licsko G.Nonlinear Analysis of a Single Stage Pressure Relief Valve［J］.IAENG International Journal of Applied Mathematics，2009，39(4):4－12.

［6］王林鸿，吴波，杜润生，等.液压缸运动的非线性动态特征［J］.机械工程学报，2007，43(12):12－19.

［7］朱勇，姜万录，郑直.摩擦力作用下电液伺服系统非线性动力学行为［J］.北京航空航天大学学报，2015，40(1):50－57.

［8］Ren Xiufang.Periodic Solutions of Perturbed Van Der Pol Equation ［J］.Journal of Nanjing University，2014，31(2):125－139.