归纳思维：让学生成为智慧的建构者

孟庆甲

归纳思维就是从特殊的具体认识推进到一般的抽象认识的一种思维方式，是一种在观察的基础上，分析不同对象之间的联系和区别，然后找出它们的内部联系、共同特征和发展规律，进而得出一般结论的思维。[1]归纳思维是小学阶段重要的认知活动和基本的思维形式之一。“小学生通过归纳思维认知数学规律、形成数学概念、建构知识体系，又通过归纳推理解决问题，归纳思维是提高学生数学素养的重要数学内容。”[2]

一、 归纳思维缺失、孱弱，阻碍了学生的智慧生长

1.教师方面：异化的“轻”与“重”

（1）轻视概念的形成和归纳，偏重概念的解释及背诵。许多数学教师在教学中只把目光盯在数学概念的解释、背诵和运用上，而对概念的形成、归纳和概括却只用寥寥数语，蜻蜓点水，从而造成学生的浅尝辄止和囫囵吞枣。

（2）忽视公式的推理与得出，偏重公式的证明和运用。例如学习圆柱的体积时，许多教师偷工减料，直接命令式地告诉学生：圆柱的体积=底面积×高。至于为什么要用底面积×高，即公式推理与得出过程，学生却一无所知。

（3）漠视规律的“前世”及“今生”，偏重解题的模板与路径。部分教师为了提高学生的做题正确率，常常将解题模式直接呈现给学生，没有让学生自主探究、归纳所蕴伏的规律，使学生知其然而不知其所以然。

2.学生方面：失稳的“序”与“绪”

（1）面对问题无绪——采取逃避措施——毫无归纳能力、动力。一旦教师让学生通过观察发现并自主归纳题中所蕴伏的数学规律时，部分学生或悄悄地低下了头，或目光左右游移，或哑口无言。

（2）归纳思维无序——没有自觉意识——更无完整的归纳范式。有些学生一旦让其进行归纳时，就漫无边际、毫无思绪，凸显归纳思维的混沌、欠缺。

（3）数学语言无续——不能清晰表达——欠缺合乎逻辑的表述。一些学生不能清晰、有条理地表达自己的数学思考过程，更不知该用怎样的数学语言进行合乎逻辑的表述。

（4）集体思维务虚——强势代替全班——惰性学生懒作为、不作为。每个班级中总有一部分学生思维灵活，喜欢发言，从而使强势思维代替全班思维，弱势、惰性学生懒作为甚至不作为。

二、 归纳思维的价值思辨：从教师智慧走向学生智慧的根本

1.提高数学问题表征能力——建构问题空间

问题表征是指通过审题认识和了解问题结构，形成问题空间，包括明确问题的给定条件、目标和允许的操作。正确的归纳思维可以提高数学问题表征能力。例如：学校图书馆共有100本《安徒生童话》，三（1）班借走48本，一星期后还回来10本，三（1）班还有多少本《安徒生童话》没有还？如果学生能够认识到“借走48本，一星期后还回来10本，所以没有还的本数是‘48-10，100在这个问题中是多余信息”，那么他使用的就是归纳思维中的问题模型策略，它的特点是对每个信息都进行表征，理解各信息之间的关系，再进行情境模型建构。由此可见正确的归纳思维可以扣住问题脉络，提高表征能力。

2.分层合情推理——形成数学概念

例如苏教版五年级下册《分数的意义》例1的教学，从例题出示的图中可以清晰地发现、归纳：一个饼可以称为一个物体、一个长方形是一个图形、一米是一个计量单位、而左起第四个图形是把6个圆看作一个整体。从而归纳出单位“1”的概念，即“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位‘1”。

3.展开聚焦归纳——认知数学规律

例如苏教版五年级上册《简单周期现象中的规律》的教学，我是这样引领学生进行归纳，认知数学规律的：

1.提出问题——自主归纳。

（1）从左边起，“盆花”“灯笼”“彩旗”的摆放有什么共同特点？又有什么区别？

（2）照这样摆下去，左起第15盆花、第15盏灯笼、第15面旗子，分别是什么颜色的？你能试一试吗？把你的想法写在练习本上。

2.展示分享——聚焦归纳。

（1）为什么大多数情况下要选择用除法计算？怎样列式？怎么根据商和余数判断？

（2）同样是找左起第15个，不同的摆放，列出的算式一样吗？有什么区别又有什么联系呢？解决这种问题的步骤和关键是什么？

4.建构知识体系——拓展思维空间

例如苏教版六年级上册《用分数表示可能性的大小》的教学。在课堂总结环节，我先后呈现二年级上册、三年级上册、四年级上册及六年级上册《统计与概率》的教材图片，和同学们一起展开归纳：二年级上册初步体会了有些事情的发生是确定的，有些是不确定的，并能用“可能”“一定”“不可能”等词语来描述生活中一些事件发生的可能性；三年级上册让学生体会事件中各种情况发生的可能性有时是相等，有时是不相等的，学会用“经常”“偶尔”“差不多”等词语来描述生活中一些事情发生的可能性；四年级上册进一步体会可能性不相等会影响游戏规则的公平性，从而修改或设计简单的公平游戏规则；六年级上册学会用分数表示可能性的大小。这样一来，小学教材中关于“概率”方面的内容便形成了知识体系，拓展了思维空间。

5.解决实际问题——提升数学思想

例如苏教版六年级上册《用替换的策略解决实际问题》的教学，我进行了如下设计，展开归纳，进而提升学生的数学思想：

1.“曹冲称象”故事中曹冲用了什么方法来称出大象的重量？

2.如果把720毫升果汁全部倒入大杯，需要几个大杯？

3.如果我们把大杯替换成小杯，又可以用一个什么算式来表示？

4.结果要满足什么样的条件才是对的？

5.我们为什么要进行这样的替换，依据是什么？

6.有的是把大杯替换成小杯，有的是将小杯换成大杯，你认为哪种替换方法好？

7.例1与“练一练”有什么相同点和不同点？

这样设计教学的目的在于理清思路，找到关键，突破难点，明确倍数关系、相差关系两种不同类型的替换的特征，进一步归纳、体会用“替换”策略解决问题的特点，进而不断提升学生的数学思想。

三、 归纳思维的实践探索：让学生成为智慧的建构者

1.注重挖掘教材——深入理解编者意图

教师备课时要重视挖掘教材，特别是其中有关归纳思维的部分，从而深入理解编者的真实意图，为培养学生的归纳思维把握方向。

例如苏教版四年级下册《用字母表示数》的教学，深入挖掘教材不难发现，编者意图让我们引领学生逐步探索归纳出：字母可以表示未知数、任意自然数；含有字母的式子既可以表示计算结果，还可以表示数量关系；含有字母的式子亦可以表示计算公式。如此，教师便可清晰地设计教学，引领学生进行归纳思维。

2.优化学法引领——掌握归纳推理核心

（1）创设情境——提取信息——强化表征。教师要依据教材内容及儿童学习特点，创设富有挑战性的问题情境，让学生身临其境，提取信息，不断强化表征。例如苏教版六年级上册《用分数表示可能性的大小》的教学：

1.创设情境：同学们喜欢打乒乓球吗？如果让你来当裁判，你会用什么方法决定由谁先发球？出示例1场景图，提问：裁判在做什么？（猜球。场景再现）

2.提取信息：用猜左右的方法决定由谁先发球公平吗？为什么？能不能把你的想法先和同桌交流一下？

3.强化表征：猜对的可能性和猜错的可能性各占多少？（一半）可能性的一半用分数怎么表示？你怎么想到的？又是怎么理解的？

（2）注重实验——仔细观察——归纳识别。教学中教师要注重引领学生实验操作，让学生经历一次归纳的实际经验和体验，进而感受一次“数学家式”的思考、发现、归纳过程。例如：六年级上册《用分数表示可能性的大小》的教学：

1.注重实验：老师带来4个袋子，从每个袋中任意摸出一个球，如果摸到红球可以得到一份奖品。（大屏幕出示：1号袋2个黄球；2号袋1个红球、一个黄球；3号袋2个红球；4号袋1个红球、一个绿球、一个黄球。）

2.仔细观察：

第一轮：聚焦1至4号袋——认识“可能性有大小之分”。提问：从1号袋里摸到红球的可能性用一个数来表示是几？从3号袋呢？

第二轮：聚焦2号袋及4号袋——探索“可能性为什么有大小之分”。

（1）从这两个口袋里任意摸一个球，摸到红球有奖，你选择几号袋？为什么？

（2）从2号袋中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是几分之几？从4号袋中呢？为什么？

3.归纳识别：出示2红1绿——归纳“可能性可以用分数表示”。

（1）从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是几分之几？

（2）再添上1红1黄，问：从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是几分之几？

（3）归纳：生活中，介于一件不可能发生的事情与一定发生的事情之间的可能性事件，它的大小介于0和1之间，可以用分数来表示。

（3）形成猜想——质疑反驳——假设验证。教师要让学生学会归纳共性的规律，形成猜想，将猜得的结论用在新的个案上，分析理论上的结果，再利用实际的操作验证其实际的结果与猜想是否吻合：如果吻合，确认结论；如果有问题，修正猜想，做出一个更贴切的猜想。例如六年级上册《用分数表示可能性的大小》的教学：

1.形成猜想：

（1）这里有两张牌（大屏幕出示红桃A和红桃2两张牌），如果把牌洗一洗反扣在桌上，任意摸一张，摸到红桃A的可能性是几分之几？为什么？

（2）再来（放入红桃3），现在摸到红桃A的可能性还是■吗？

（3）再添一张呢（黑桃A）？摸到红桃A的可能性是多少？

（4）摸到红桃A的可能性从■到■，再到■，发生了什么变化？

2.质疑反驳：为什么同样是只有一张红桃A，可能性却越来越小了呢？

3.假设验证：如果想让摸到红桃A的可能性变成■，你觉得该怎么办呢？

归纳思维在数学领域中有着非常重要的作用，就如同数学家拉普拉斯说的那样，“在数学里，发现真理的工具是归纳和类比”。因此，作为教师，我们的重要任务之一就是：培养、发展学生的归纳思维，让学生成为智慧的建构者。

参考文献

[1] 史亮，史宁中.日常课如何培养“归纳思维”.人民教育[J]，2011（19）.

[2] 王瑾.小学数学课程中归纳推理的理论与实践研究[D]： [博士学位论文].长春：东北师范大学，2011.【责任编辑：陈国庆】