以一道高考题为例谈求二面角大小的四种思路

求二面角的（平面角）大小是高考数学命题的热点，本文以2014年浙江省高考数学理科试卷第20题（全卷共22题）的第（2）小题为例，从不同视角谈求二面角大小的四种思路，供参考！

试题如图1，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角B—AD—E的大小.

草稿先在草稿纸上重新画出题设示意图，然后按题意标出五条棱的已知长度2、2、1、1、2和两个直角记号（如图1），接着按实际比例和角度独立画出底面直角梯形BCDE（如图2）便于观察，可以在上述两图中依次补充标出BD=2、BC=2，这时就明白了DB⊥BC，这就捕捉住了解题的起笔灵感.

解在四棱锥的底面直角梯形BCDE中，两次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=（2-1）2+12=2，则BD2+BC2=4=CD2，则DB⊥BC（勾股定理的逆定理）.又因为平面ABC⊥平面BCDE，则BD⊥平面ABC（两平面垂直的性质定理），则BD⊥AC（线面垂直的定义）.又同理得BC⊥AC，则AC⊥平面BCDE（线面垂直的判定定理），进而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7，同理得AD⊥DE（以上表述是下面多种思路及解法的共同开头环节）.

思路一运用定义法

解法1如图3，先作BH⊥AD于H，再作HF⊥AD交AE于F，则∠BHF是二面角B—AD—E的平面角.

在Rt△ABD中，BH=2·26=23，AH=226=236=23AD.在△ADE中，已作HF⊥AD、已证DE⊥AD，则HF∥DE.又已求AHAD=23，则HF=23DE=23，AF=23AE=273.

在△ABE中，两次用余弦定理列方程

AF2+AB2-BF22·AF·AB=cos∠BAF=cos∠BAE=AE2+AB2-BE22·AE·AB，代入解得BF=23.在等腰△BHF中，BF=HF，则 cos∠BHF=BH2·FH=32，则∠BHF=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°.

解法2提示：已证AD⊥DE，再作DF1⊥AD交直线AB于F1，则∠EDF1是二面角B—AD—E的平面角.…….

评注用定义法求二面角的大小，首先要过二面角的棱上某点分别在两个半平面内作出或找到垂直于棱的线段而构成二面角的平面角，这牵引着后面的计算化归；虽然用定义法求二面角大小的演算较繁琐，但它却是后续解法的概念依托和计算基础.

思路二运用体积法

解法3设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图1已证AD⊥DE，则点E到平面ABD的距离为DE·sin θ.

由于VE—ABD=VA—BED，AC⊥平面BCDE，则13·SRt△ABD·（DE·sin θ）=13·SRt△BED·AC，即13·2·（1·sin θ）=13·12·2，则sin θ=12（θ为锐角）， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的平面角大小为30°.

解法4提示：设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图3作BH⊥AD于H，则点B到平面ADE的距离为BH·sin θ，……

评注变换同一个三棱锥的相对底面与高，巧妙地运用方程思想，用体积法求二面角的大小，过程简洁、省时实用.

思路三运用向量法

解法5提示：适当建立空间直角坐标系后，通过解方程组求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2，则二面角B—AD—E的平面角θ适合公式 cos θ=±cos〈n1，n2〉=±n1·n2n1n2（酌情取正号或负号）.……

解法6取直线DE、DC分别为x轴、y轴，建立如图4所示空间直角坐标系D—xyz，则点D（0，0，0）、E（1，0，0）、B（1，1，0）、A（0，2，2），则DE=（1，0，0）.作BH⊥AD于 H，则二面角B—AD—E的平面角等于向量DE与HB所成的角.

同解法1得AH=2AD3，则 DH=DA3， 则 H（0，23，23），则 HB=（1，13，-23）， 则 HB=23.因为cos〈DE，HB〉=DE·HBDE·HB=32，所以〈DE，HB〉=30°.即二面角B—AD—E的大小等于30°.

评注解法5是教科书介绍、大家熟知的向量法，计算两个（面）法向量的通法比较费时，最后确定二面角的大小还要鉴别是取〈n1，n2〉还是取180°-〈n1，n2〉，全程颇费周折；相比之下，解法6利用“线法向量”就易学易用，避繁就简！

思路四运用垂直三折线公式图5解法7将解法1的图3提炼成图5，其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23，且DH⊥DE、DH⊥HB，则运用教科书的例题结论求得，二面角B—HD—E即就是原二面角B—AD—E的平面角θ，cos θ=HB2+DE2+DH2-BE22·HB·DE=43+1+23-12×23×1=32， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°.

评注为了读者们易记、活用，可将目前人教A版高中数学课标教科书选修2-1第32节的例2结论重新表述成——如果两条异面直线H1P1与H2P2的公垂线段是H1H2，那么二面角P1-H1H2-P2的平面角θ适合余弦公式

cos θ=H1P21+H2P22+H1H22-P1P222·H1P1·H2P2.

最后指出，引导学生平时自主摸索或阅读理解多种解题思路，养成探究、博览、应用的习惯，更有利于开发学生的数学潜能！

作者简介甘大旺，男，1959年生，湖北咸宁人，1997年被评为湖北省特级教师.研究方向是数学高考、数学省赛、数学史、数学研究评论.发表300多篇教研文章，出版专著2本.