深挖未必深知的教学现象分析

涂德佳　王洪进

在新课程改革的指导下，高中的课堂教学模式发生了翻天覆地的变化.以问题为主线或以活动为主线的教学模式正在渗透到教师的教学中.教师在教学过程中，以问题为方向，学生活动为途径，教师引导为辅助，逐步实现教学的目标.

然而，在教学过程中，教师提出的问题和学生进行的活动的本身大多由教师设计，具有强烈的预设性.实际教学过程中，问题情境能否起到应有的作用？教学环节是否科学？问题的难易程度是否符合当时的学生认知水平？学生活动目标达成的可能性和预期效果能否与教师的预想一致？这些都是需要认真思考的问题.笔者以在江苏省南京市中华中学举行的“江苏省高中数学青年骨干教师研修一课三磨活动”为例，结合听、评课以及上课的体会，分析教师在教学过程中深挖以求学生深知的教学现象.（课题是苏教版高中数学必修4的131《三角函数的周期性》）

1“深挖未必深知”教学现象

“深挖未必深知”的教学现象广泛存在于数学教师的教学过程中.“深挖”是指教师为了实现学生对知识的深入理解，采取对教学内容深入探索的行为.教师为了使学生深入理解知识，对所授内容进行联系、加工、拓展、变式或迁移，增加了知识的深度或广度.“深知”是指学生在学习的过程中，对问题的掌握和理解水平达到一定深刻的程度.“深挖未必深知”的教学现象说明教师引导学生对知识进行深入探索，但学生不一定能够获得与之相应的深刻理解.

现象学方法是一种重要的数学教育研究方法[1].运用现象学方法研究的具体过程有：①描述.对一个现象予以客观的描述.②还原.现象的原因是什么.③对策.针对该现象，对教学的建议是什么[2].“深挖未必深知”的教学现象可以采用现象学方法进行研究.

2“深挖未必深知”现象的表现

2.1情境设计中的“深挖未必深知”现象

案例1

师：同学们，在学习过程中，对已经学习过的知识进行反思和再认识，往往会有新的收获.（出示诱导公式二）

sin（-α）=-sinα，

cos（-α）=cosα，

tan（-α）=-tanα.

师：根据这组诱导公式，你能发现三角函数的什么性质？

生：奇偶性.

师：这是我们从“诱导公式二”中所发现的三角函数的奇偶性.（出示诱导公式五、六）

sin（π2-α）=cosα，cos（π2-α）=sinα.

sin（π2+α）=cosα，cos（π2+α）=-sinα.

师：根据这两组诱导公式，你能发现三角函数的什么性质？

生：对称性，奇偶性.

师：从诱导公式一，我们又有哪些发现呢？特别地，当k=1时，“诱导公式一”为：（出示诱导公式一）

sin（x+2π）=sinx，

cos（x+2π）=cosx，

tan（x+2π）=tanx.

生：对于定义域内的任意x，x+2π与x的同名三角函数值相等.

师：也就是说，当自变量x增加2π时，相应的三角函数值重复出现.

教师创设情境的目标是利用诱导公式二以及五、六，引导学生发现公式中三角函数具有奇偶性，再由诱导公式一所具有的特点，实现引导学生发现其周期性的目的，并期望在数学活动中培养学生的类比思维.事实上，学生并不能轻松发现诱导公式中三角函数的性质，尤其是发现公式五、六具有的性质.在课堂上，出现了教师提出的问题学生不会回答，并耗去大量时间的情况.

2.2概念认知中的“深挖未必深知”现象

案例2

师：我们知道了周期函数和函数周期的概念.请判断真假：因为f（π4+π2）=f（π4），所以f（x）=sinx是以π2为周期的周期函数.函数以π2为周期.

教师概括出周期函数的概念后，对周期函数概念的表征，选择利用判断“f（x）=sinx是以π2为周期的周期函数”正误的方法，以巩固对概念的理解.概念的表征以反面例题的形式出现.事实上，反例让学生感到非常突兀。学生不知道如何利用已学的知识进行判断.被提问的学生对问题不理解，回答时支支吾吾，在教师的提醒下，才给出“这是错误的命题”的答案.

2.3知识理解中的“深挖未必深知”现象

案例3

师：我们已经知道了周期函数和最小正周期的概念.请问，是不是所有函数都有最小正周期？你能找到一个没有最小正周期的函数的例子吗？

教师设问的目的是让学生寻找出一个特殊函数，譬如常函数f（x）=1.这个函数是周期函数，但它没有最小正周期.通过认识这个函数进一步理解周期函数和函数的周期.实际教学中，全班没有一位学生能够找到教师想要的周期函数，更不用说周期函数的周期了.

2.4问题探究中的“深挖未必深知”现象

案例4

师：例1中钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数是周期函数吗？为什么？

生：是.因为函数满足周期函数的定义.

师：也就是说形如函数f（x）=sinx，x≥0也是周期函数.但事实上，这样的函数并不是真正的周期函数.课本上的定义是有局限性的.定义：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得对每个x∈D（f），有f（x+T）=f（x-T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期.

教师想通过课本上的例1，说明课本上周期函数定义的不严谨性（可能是想在研讨课上展示教师的能力），以加强学生对于周期性的理解.但是，学生本来能够理解周期函数的定义，在教师探究拓展后，不仅对教师给出的新的定义感到茫然无措，甚至出现对课本上周期函数的概念产生混淆和模糊的情况.

3原因分析

3.1问题情境设计没有遵循依托性原则

教师对情境的设计过分依托于严谨的数学逻辑起点.在上述案例1的教学过程中，学生的精力就分散在三角函数的奇偶性发现上.情境设计依托于发现诱导公式中三角函数的性质.事实上，问题情境的设计主要是为了激发学生兴趣或求知欲.如果问题情境过分追求数学理论的严谨性，追求数学的逻辑起点，这样的问题情境难以发挥积极的作用[3].过分追求严谨的逻辑起点会让学生精力分散，失去创设情境的根本作用.这样的情境阻碍了教学.

3.2概念表征没有科学地使用正例与反例

反例在教学中先被使用表明，教师对学生认知规律的科学性缺乏研究.对概念的表征，教师通常会借助例题，让学生对概念中的信息进行编码、转化、联系、储存、复述、提取和表达.表征的宗旨是让学生将新的概念内化和吸收.学生对一个概念理解的起始阶段应该是直观的，肯定的.正例包含概念的本质属性，在概念形成的初始阶段肯定例证有利于建立概念[4].反例是否定例证的一种，不具有概念本质属性或者只具有部分属性.教师在此时给出反例容易给学生造成负面的干扰.

3.3加深理解偏离教学主题

加深理解时不注意紧扣目标，教学就会偏离主题.学生现在研究的背景函数一直都是三角函数，对周期的概念也才刚刚了解，教师就想让学生找一个没有最小正周期的非三角函数.这对于学生而言，思维的跳跃幅度要求太大.更主要的是研究偏离了教学的主题.本节课主要研究的是三角函数的周期性，在一般函数周期性上“纠缠”，使教学偏离了中心.加深理解出发点没有错误，但失去目标，教学就会偏离正确的轨道.

3.4没有把握好问题探究的程度

问题的探究过于深广，对教师的教学不仅不会起到促进作用，反而会给教学带来负面的影响.关于周期函数的概念，实际上教材中的定义是不完备的[5].教材中给出的定义是相对狭义上的周期性概念.教师想通过探究分析，使学生对周期函数的概念理解更准确.然而，对于周期函数的定义在中学阶段只要求了解，没有必要把定义的来龙去脉都弄清楚.学习不能凡是都讲过程，需要知道一些知识的发生过程，是必要的.但是，不能过头[6].问题的探究不能过深和过广.

总之，出现“深挖未必深知”的教学现象是教师课堂教学中缺乏教法研究和学情分析的结果.

4教学建议

基于以上原因的分析，本文给出教学建议以作抛砖引玉.

4.1创设合适的问题情境

问题情境的设计可以从两方面入手.一是从数学内部出发设计情境，但不能过分追求严谨的逻辑起点.教师可以直接利用诱导公式一作为情境进行引入.二是从生产实际，也就是生活事例引入.通过生活事例引入时要特别注意的是，学生所举的例子基本都是模糊的周期现象.教师没有必要对这些周期现象是否是严格的周期问题进行分析探究.引入的目的是为了让学生能有直观的认识，便于学生思维活动的顺利进行.周期的概念暂时还没有准确的定义，不必过多追求精准.对周期的概念的把握此时定位在感性理解上就可以了，这已经可以为下面的理性分析准备充实的铺垫.

4.2科学正确地使用正例与反例

科学的认知规律表明，概念表征时正例应该先于反例.不仅如此，正例应有两个或两个以上，应该连续呈现[7].同时，教师还应该对概念以多种方式和多种角度继续强化.在强化了概念的认识，学生对概念的本质属性较为熟悉之后，教师再提出反面的情况，反例的作用才能得以体现.反例也可以放在下一课时的教学中.经过一段时间对概念的消化和吸收，再加以进一步理解，效果会更好.

4.3紧盯教学目标展开教学

加深知识的理解应该始终围绕教学目标展开.关于三角函数最小正周期问题，学生此时不一定能从本质上完全理解，但从学生回答的角度看，学生能够初步了解三角函数最小正周期的含义.对于常函数的周期性问题，可以让学生课后思考或放到下节课中学习.教师应该始终围绕三角函数的周期性展开教学.三角函数的最小正周期问题是周期问题中的难点，是本节课的难点，在随后的教学环节中仍需继续学习，所以当前目标能够达成即可，不必急于把所有问题一次性解决.教师希望学生从不同的角度理解概念，但是必须注意瞄准目标，这样才能对知识的理解起到促进作用.

4.4遵循问题探究的适度性原则

在教学中，提倡教师多引导探究，但是倡导探究不等于处处探究.受需求、能力和时间等条件的制约，教师只能在关键环节上，在重难点上引导学生探究，不能也没必要面面俱到.问题的探究需要教师科学地把握问题的主次轻重，抓大放小，张弛有度[8].核心问题必须认真探究，但探究的过程可以分步骤、分层次、分时间进行.不必要探究的问题就干脆不探究.教学的目的不是为难学生，更不是让学生感觉难为情.所以，教师应该从学生的角度去审视自己的教学.问题的探究应该符合学生的认识水平和规律，遵循适度性原则.难度超出学生的认知水平，那就是无效的问题[9].教师是站在已知的高度去俯瞰未知，容易忽视学生的接受能力和认知水平.教师不能为了问题而随意提出问题，抛出一个个设好的“陷阱”让学生去跳.

“深挖未必深知”教学现象是教师对学生认知能力和认识水平把握不准，是教师对学生认知规律的科学性研究缺乏，是教师教学偏离中心，是教师没有遵循教学适度性原则的表现.因此，不论在教学的情境引入、概念认知、理解深入和问题探究上，教师都应该以这节课的重难点突破为中心.教师的一切教学行为都应该服务于教学目标，始终围绕目标适度教学.教师还要具有一定的教育学和心理学知识储备，这样，教师才能让自己的教学更符合学生的认知规律.教无定法，贵在得法.教师在教学中必须要把握好教学的分寸.“教之道在于度，学之道在于悟”，应该是对教与学最好的诠释.

致谢：文章的写作得到了天津师范大学王光明教授的指导，特此表示感谢.

参考文献

[1]王光明，杨蕊.数学学习中的“懂而不会”现象[J].中学数学教学参考（上旬），2012（10）：7-8.

[2]王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，20101.

[3]李善良.高中数学课程改革探索与实践[M].南京：江苏教育出版社.2012，79-80.

[4]谭国华.高中数学概念课型及其教学设计[J].中学数学研究，2013，6上：4-8.

[5]萧柏荣.数学教育探索五十年[M].南京：南京大学出版社.2012，235-240.

[6]郑毓信.数学教育改革的十五诫[J].数学教育学报，2014，23（3）：1-7.

[7]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社.2005，222-225.

[8]陆学政.“任意角”教学的观课思考与实践[J].中国数学教育（高中版），2013，3：12-14.

[9]卢章洪.对高中数学问题教学法的认识与实践[J].教师博览（科研版），2013，7：51-53.

作者简介涂德佳，男，1982年生，江苏宿迁人，中学一级教师，主要从事高中数学教育教学.王洪进，男，1965年生，江苏宿迁人，中学高级教师.主要从事高中数学教育教学.