基于Pair Copula的随机潮流三点估计法

吴 巍 汪可友 韩 蓓 李国杰

(电力传输与功率变换控制教育部重点实验室(上海交通大学) 上海 200240)



基于Pair Copula的随机潮流三点估计法

吴 巍 汪可友 韩 蓓 李国杰

(电力传输与功率变换控制教育部重点实验室(上海交通大学) 上海 200240)

现有Copula等方法难以对多维风电功率准确建模，且传统的点估计法无法直接应用于风电功率具有相关性的场合。针对这一问题，提出基于Pair Copula和概率积分变换的随机潮流点估计法。首先采用Pair Copula对多维风电功率进行建模，然后使用点估计法在独立正态概率空间中采样，最后，依据概率积分变换，把采样点变换到实际风电功率的概率空间中进行潮流计算，从而使点估计法能够处理具有任意概率分布的多维风电功率。对澳大利亚多个风电场出力样本的建模和分析验证了Pair Copula模型的优越性，基于IEEE 118节点系统的算例验证了所提方法的有效性。

Pair Copula 多维相关性 概率积分变换 点估计法 随机潮流

0 引言

截止到2013年底，中国风能装机容量已达到91.4 GW[1]，大量风电场接入到电力系统中。与传统发电形式相比，由于自然因素(风速)固有的随机性和波动性，风电功率呈现较强的间歇性。另外，由于风电场之间的复杂空间位置关系，风电场出力之间呈现多样化的相关特性[2]。风电功率的这些特性会对电力系统运行造成一定影响[3]，因此在对电力系统进行随机潮流(probabilistic load flow，PLF)计算和运行特性分析时，需综合考虑多风电场风电功率的概率特性。

自1974年B.Borkowska[4]提出PLF的概念以来，国内外学者提出了多种随机潮流计算方法。其中，蒙特卡罗法[5，6](Monte Carlo simulation，MCS)计算准确度高，但即使提高采样效率，计算量仍然较大，一般作为验证其他方法准确度的标准。解析法[7]基于单一运行点，对潮流方程进行线性化，这会引入一定误差[8]。点估计法[9](point estimate method，PEM)无需知道输入和输出之间具体的函数关系表达式，仅通过少量确定性计算，即可得到较高准确度的输出变量统计量，但点估计法需要假设输入随机变量相互独立，无法处理风电功率具有相关性的情况。

目前，考虑输入变量相关性的PLF方法，主要关注两方面内容：①对相关性随机变量的准确建模；②结合相关性概率模型，改进现有PLF方法，从而使其能处理随机变量的相关性。

在相关性建模方面，文献[10]提出三阶多项式变换，采用线性相关系数表征随机变量相关性。文献[11]采用Spearman秩相关系数描述输入随机变量间的相关性。然而，随机变量相关特性的完整表征方式是联合概率分布，其具有诸多测度指标分别从不同方面考察相关特性，线性相关系数和秩相关系数只是诸多测度指标中的一部分[12]。因而上述方法不能完整地表征随机变量的相关性。

Copula理论则是一种有效的联合概率分布建模工具[13]，Nataf变换实际是Normal Copula[14]。已有的多种Copula函数能够分别较好地描述各类二维相关性。然而，对于三维及以上维的随机量，现有多维Copula函数[15]仅能使用单一类型的Copula函数，即仅能描述单一类型的相关性结构，因而难以对多维风电功率间可能存在的多样化的相关性结构准确建模。另外，在多维Copula模型与现有PLF方法结合方面，目前仅有Normal Copula能够与现有PLF方法结合使用[14]，因而概率建模的不准确会导致PLF计算误差。

针对目前多维相关性风电功率难以准确建模和处理的问题，本文提出了基于Pair Copula和概率积分变换的随机潮流点估计法。不同于现有多维Copula函数，Pair Copula针对随机变量两两之间不同的相关特性，采用了相适应的多种类型的二维Copula函数进行描述，从而能对多维概率分布模型准确建模。概率积分变换依据随机变量的联合概率分布(cumulative distribution function，CDF)，将其变换到独立正态概率空间中，从而使点估计法能较好地处理具有任意联合概率分布的多维相关性风电功率，并进行PLF计算。最后，以澳大利亚风电场历史数据和IEEE 118节点系统为例，验证了所提方法的有效性。

1 基于Pair Copula 的风电功率相关性模型

1.1 Copula理论

Copula函数对随机变量的边缘分布和相关性分别进行建模，进而构建多元随机变量的联合概率分布，简化了建模步骤，是描述随机变量相依结构的有力工具[16]。Sklar定理奠定了Copula理论的基础。

Sklar定理：记F是边缘分布为F1，F2，…，Fn的随机变量X=[X1，X2，…，Xn]的联合概率分布函数。则存在一个Copula概率分布函数C，对任意X∈Rn有

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

目前常用的二元Copula函数有Archimedean-Copula函数簇和Ellipse-Copula函数簇两类[12]。前者包括Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula，后者包括Normal-Copula。这些函数各自具有不同的对称性和尾部相关性等特性，能够较好地对各类二元相关特性进行建模。

二维Copula函数的构建步骤如下：

1)确定随机变量的边缘分布。可以采用经验分布或非参数密度估计[17]。

2)分别使用上述4种Copula函数对随机变量进行拟合，使用极大似然估计法得到相应Copula函数的参数。

3)进行拟合优度检验，选择最优Copula函数。在此采用文献[18，19]推荐的Cramér-vonMises(CvM)距离进行拟合优度检验，CvM距离越小，则所建概率分布模型对风电功率的拟合效果越好。

1.2PairCopula模型

目前，文献中多维风电功率建模方法包括基于线性和秩相关系数的建模，以及基于Copula函数的模型。其中，线性和秩相关系数只是相关性测度的一部分，实际上，还有尾部相关性等相关系数，因而，采用线性和秩相关系数难以全面反映相关特性，建模不准确。对于Copula函数，当面对三维及以上更高维随机变量时，二维Archimedean-Copula函数簇难以拓展到多维，Ellipse-Copula函数簇只能描述特定相关特性，难以对多维风电功率准确建模[15]。

针对现有Copula函数难以对多维风电功率准确建模的难题，本文提出采用C藤PairCopula构建多风场风电功率的相关性模型。

PairCopula方法最早是K.Aas等[20]提出，是一种基于传统Copula理论，灵活的多维概率分布构造方式，能较好地描述多维随机变量间差异化的相关特性，从而实现较好的拟合效果。目前，PairCopula常用的结构包括C藤和D藤两种结构，两者建模准确度类似，其中，C藤结构更简单，易于实现，因而在此采用C藤PairCopula，下文简写为PairCopula。n维Pair Copula结构图图1所示。

图1 n维Pair Copula结构图Fig.1 Structure diagram of n-dimensional Pair Copula

由图1可见，n维Pair Copula有n-1层，Ti层有n-i个节点，其中第一个节点为根节点，与其余节点相连构造下一层的节点，通过逐层合并的方式构造多元概率分布。每个节点为一个二元Copula函数。

联合概率密度f(x1，…，xn)为

(2)

式中，fi(xi)和Fi(xi)分别为Xi的概率密度函数(probabilistic distribution function，PDF)和CDF；c(·)为Copula的PDF，可表示为

c(u1,…,un)=∂nC(u1,…,un)/(∂u1…∂un)

(3)

式中，ui=Fi(xi)，i=1，2，…，n。

依据Pair Copula理论[20]，c(·)可分解为二维Copula函数的乘积

(4)

式中

ci,j|1,…,i-1:=ci,j|1,…,i-1(F(ui|u1,…,ui-1),

F(uj|u1,…,ui-1))

(5)

式中，i=1时，ci，j|1，…，i-1为c1，j(u1，uj)。结合图1和式(4)可以看到，Pair Copula中所有节点对应Copula函数的乘积即为式(4)。式(5)中条件分布性质为

(6)

(7)

Pair Copula把随机变量两两合并，采用相应的二元Copula函数描述，能够根据需要引入多种Copula函数来描述各类相关特性，使用灵活，适用范围广，从而可提高多维概率模型的拟合准确度。

1.3 Pair Copula建模方法

参照图1，Pair Copula建模过程自上而下，采用1.1节中二维Copula函数最优拟合步骤，逐步估计出T1～Tn-1层中所有节点对应的二维Copula函数，从而确定Pair Copula。具体建模步骤如下：

1)基于风电功率X=[X1，X2，…，Xn]历史数据，得到相应的边缘概率分布Fi(xi)，i=1，2，…，n。

2)把X历史数据带入ui=Fi(xi)，得到均匀分布U=[U1，U2，…，Un]的样本点。

3)基于U的样本点，采用如下算法构建Pair Copula模型。

Forj=2，…，n

基于U1，Uj的样本点，估计得到c1，j(u1，uj；θ1，j)；

计算v1,j=∂C1,j(u1,uj)/∂u1

Endfor

Fori=2，…，n-1

Forj=i+1，…，n

基于vi-1，i，vi-1，j的样本点，估计得到ci，j|1，…，i-1(vi-1，i，vi-1，j；θi，j)

计算vi,j=∂Ci,j|1,…,i-1(vi-1,i,vi-1,j/∂vi-1,i)

Endfor

Endfor

其中，θ为Copula函数参数，vi，j=F(uj|u1，…，ui)。从而得到Pair Copula中所有节点对应的Copula函数。

4)基于式(4)，得到Copula PDF，令ui=Fi(xi)，得到风电功率概率模型，完成Pair Copula建模。

2 含风电的改进随机潮流点估计法

2.1 随机潮流问题

电力系统潮流方程为

(8)

(9)

式中，Pinj和Qinj分别为节点注入有功和无功功率；V和θ分别为节点电压幅值和相角；Yij∠φij为系统导纳矩阵第(i，j)个元素；K为系统节点数目。

实际电力系统中存在诸多随机因素，如风电功率和负荷等，随机潮流把这些不确定因素视作输入变量，计算得到输出变量(系统潮流和节点电压)的概率特性，从而可以更全面地分析电力系统运行特性。

2.2 点估计法

点估计算法最早由H.P.Hong[9]于1998年提出，是一种分析随机潮流等随机响应问题的近似计算方法。点估计法利用输入随机变量的统计信息，构造特定的输入随机变量采样点，针对这些采样点，仅通过确定性计算少数次响应，即可得到输出随机变量的统计信息。

常用的2n+1点估计法要求随机变量相互独立。记xi的期望、标准差、偏度和峰度分别为λi，1、λi，2、λi，3和λi，4。点估计法前2n个采样点中，每个采样点仅一个分量分别选取2个采样值，其余分量都取为对应期望值，采样点为

Si,k=[λ1,1,…,λi,1+ξi,kλi,2,…,λn,1]
i=1,…，nk=1,2

(10)

式中

(11)

点估计法第2n+1个采样点中，各分量为对应随机量的期望值

S2n+1=[λ1,1,λ2,1,…,λn,1]

(12)

记h(·)为针对一个采样点，进行确定性潮流计算得到的输出样本值，则输出y的j阶原点矩计算式为

(13)

式中权重系数为

(14)

得到输出y的j阶原点矩后，则期望μ和标准差σ为

(15)

2.3 随机潮流的改进点估计法

实际电力系统运行中，风电功率具有相关性，如果忽略这种相关性，会带来较大的计算误差。由于点估计法要求输入随机量相互独立，因此需要依据风电功率相关特性，对点估计法进行改进。

最准确描述输入随机量相关特性的模型是其联合概率分布，而这可通过上文所述Pair Copula进行建模获得。在此采用概率积分变换[21]，可把具有任意联合CDF的输入随机变量，转换到独立标准正态分布的概率空间中。概率积分变换为

(16)

式中，Z=[z1，z2，…，zn]服从独立标准正态分布；Ф-1为标准正态分布CDF的反函数。

此时，在独立正态概率空间上，推导点估计法的采样点，即式(16)中的Z，基于概率积分变换，将其转换得到原始输入随机变量概率空间中的采样点，并进行确定性潮流计算，即可得到输出的各阶矩。随机潮流改进点估计法步骤如下：

1)基于1.3节Pair Copula建模步骤，对输入随机变量进行建模。

2)使用点估计法在独立正态概率空间中进行采样。相应的采样点为

(17)

4)针对X的采样点，计算得到相应的输出量的样本值。

5)依据式(18)计算得到输出的各阶矩。

(18)

3 仿真算例

3.1 Pair Copula模型验证

以澳大利亚12个风电场2009年7月31日～2010年7月31日1h间隔的历史数据[22]为例，验证Pair Copula的有效性。按各自最大功率标幺化，分别记为P1，…，P12。由于样本数足够多，在此采用经验分布获得其边缘概率分布。

首先，进行二维风电功率建模分析。分别采用Frank Copula和Normal Copula对U7和U8进行拟合，各Copula模型的散点图和历史数据的散点图如图2所示。由图2a中可见，历史数据的散点大多分布于45°斜率的直线附近，风电功率易同时较大或较小，具有明显的相关性。图2c与图2a相比较，可以看到，Normal Copula有许多散点偏离了45°斜率的直线，因而对称相关性的建模有一定偏差，另外，尾部相关性也有一定偏差。另一方面，可以看到，图2b与图2a的散点分布较为接近，因而Frank Copula拟合效果较好。

图2 U7和U8的散点图Fig.2 Scatter diagram of U7 and U8

对各二维风电功率，各Copula函数拟合的CvM距离如图3所示。从图3中可以看到，只有部分二维风电功率适于用Normal Copula建模，其余二维风电功率适用于Frank或Gumbel Copula建模，Clayton Copula误差较大，不适于此算例。因而，针对不同的二维风电功率，应引入多种相适应的Copula函数进行建模，而不是仅仅使用单一的Normal Copula对风电功率进行建模。

图3 二维Copula函数CvM距离Fig.3 CvM distances of 2 dimensional Copula functions

然后，对所有风电功率建模，进行整体拟合效果检验，CvM距离及参数估计时间如表1所示，进行局部拟合效果检验，对所有6维风电功率组合检验得到的CvM距离如图4所示。

表1 Normal Copula和Pair Copula的CvM距离及参数估计时间Tab.1 CvM distances and estimation time of Normal Copula and Pair Copula

图4 6维风电功率CvM距离Fig.4 CvM distances of 6 dimensional wind power outputs

由表1和图4可知，Pair Copula的整体拟合CvM距离远小于Normal Copula，拟合效果优于Normal。局部拟合检验中，Normal Copula的CvM距离始终较大，而Pair Copula的CvM距离则能保持在较低的值。这是由于Pair Copula中引入了多种Copula函数，可以描述各种类型的相关特性。因而，Pair Copula能同时实现最优的整体和局部拟合效果。

考察不同相关性模型的计算负担。不同相关性模型与点估计法结合时，其潮流计算的计算量相同，不同的是建模和相关性处理(即配点转换)的时间。其中，Normal copula配点转换由于采用了Cholesky分解，仅涉及矩阵运算，计算很快。Pair Copula的配点转换是把原始配点带入解析式中进行计算，仅涉及代数运算，计算也很快[20]，与Normal Copula相近。因而，重点考虑建模的计算负担。

理论上，Pair Copula建模估计的时间与节点数目(即(n2-n)/2)有关，单个节点的估计时间约为0.5 s，对于12维变量，建模时间约为(122-12)/2×0.5=33 s，与表1中结果一致。对于Normal copula，估计时间为0.14 s。这是由于Pair Copula需要对每个节点进行GOF检验，选取最优Copula类型导致的，从而获取更高的建模准确度，而多元Normal Copula则不需要进行GOF检验和选型，且得到了Maltab的矢量化优化。另外，需要指出的是，在未来的工作中将研究truncated Pair Copula (tPC)，其在本文full Pair Copula (fPC)的基础上对fPC做简化，维持满意的建模准确度，同时可以降低计算负担，计算量可减少到约为(2n-3)×0.5[23]，从而对建模时间和准确度进行折中。

3.2 IEEE 118节点系统随机潮流

采用IEEE 118节点系统[24]验证本文模型在随机潮流中的应用。IEEE 118节点系统有54台发电机组，总装机容量为9 966.2 MW，系统峰荷4 242 MW。12，31，46，54，80，87，103，111处的发电机分别替换为等容量的8个风场，剩余4个风场接入34，36，40，42节点，额定容量为50MW，风场全部采用恒压控制。负荷有功服从独立正态分布，均值为静态平衡点处的值，标准差为均值的5%，负荷的功率因数恒定。

依据风电功率历史数据计算得到的结果作为参考值，输出变量期望和标准差的相对误差如式(19)和式(20)所示。

(19)

(20)

在进行PLF计算时，考虑现有文献中PEM常用的两种风电功率模型，分别为假设独立的概率模型和Normal Copula[14]，与本文所提Pair Copula模型进行对比。对这三种风电功率模型分别进行PLF计算，计算结果如表2所示。

表2 IEEE 118节点系统平均相对误差结果Tab.2 Average error indices of the IEEE 118-bus system (单位：%)

由表2可知，在不同风电功率模型下，对于期望的计算都能获得较好的准确度，因而相关性对期望的影响较小。然而，在不同概率模型下，标准差的相对误差具有比较大的差距。不考虑相关性时，PEM对于线路有功标准差的平均相对误差高达16.227%，误差较大。Normal Copula考虑了风电功率相关性，然而，由于其建模准确度不高，仍然具有一定的误差。Pair Copula由于具有较高的建模准确度，其误差最小。因而，在进行PLF计算时，是否考虑风电功率相关性以及风电功率建模的准确性对标准差的计算准确度具有显著影响。

为了分析这一现象，在此借助半不变量法[7]的数学基础进行分析。半不变量的数学基础是潮流方程的近似线性化，输出y表示为输入xi的线性组合

(21)

由式(21)可得到期望E(y)

(22)

由式(22)可知，E(y)与输入xi的期望有关，与相关性无关。因而，仅考虑各自的边缘分布而不考虑相关性时，对于期望的计算影响较小。类似的，可得到方差D(y)

(23)

式中，ρij为xi、xj的相关系数。

与E(y)不同的是，D(y)不仅与D(xi)有关，即与边缘分布有关，还与相关性有关，因而相关性对标准差的影响较大。

为了进一步考察本文所提方法的适用性，本文考察了不同负荷波动幅度下的误差，计算结果如表3所示。可以看出，负荷波动幅度对误差影响较小，误差维持在较低的水平。

表3 不同负荷波动幅度时的平均相对误差结果Tab.3 Average error indices under different fluctuations of load level (单位：%)

4 结论

针对PLF中，多维风电功率难以准确建模和处理的问题，本文提出了基于C藤Pair Copula和概率积分变换的随机潮流点估计法。所提方法采用Pair Copula对多维风电功率概率分布进行建模，基于概率积分变换，将所建概率分布变换到独立正态概率空间中，从而使点估计法能够处理具有任意概率分布的相关性风电功率，具有较强的通用性。

多风电场历史数据分析表明，相比于现有的Normal Copula模型，本文所建模型能够更好地描述多维风电功率内部的相关特性，其概率分布的模型准确度更高。IEEE 118节点系统算例表明，忽略风电功率相关性会造成较大的误差。同时，仿真结果验证了所提改进随机潮流点估计法的有效性和实用性，采用具有更高建模准确度的Pair Copula，能够更准确地分析风电接入对电力系统的影响。

[1] Global Wind Energy Council(GWEC).Global Wind Report 2013-annual market update[EB/OL].2014-05-11.http：//www.gwec.net.

[2] Wan Y H，Milligan M，Parsons B.Output power correlation between adjacent wind power plants[J].Journal of Solar Energy Engineering，2003，125(4)：551-555.

[3] 蒋程，刘文霞，张建华，等.含风电接入的发输电系统风险评估[J].电工技术学报，2014，29(2)：260-270. Jiang Cheng，Liu Wenxia，Zhang Jianhua，et al.Risk assessment of generation and transmission systems considering wind power penetration[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(2)：260-270.

[4] Borkowska B.Probabilistic load flow[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1974，93(3)：752-759.

[5] 陈芳，张利，韩学山，等.配电网线损概率评估及应用[J].电力系统保护与控制，2014，42(13)：39-44. Chen Fang，Zhang Li，Han Xueshan，et al.Line loss evaluation and application in distribution network[J].Power System Protection and Control，2014，42(13)：39-44.

[6] 茆美琴，周松林，苏建徽.基于风光联合概率分布的微电网概率潮流预测[J].电工技术学报，2014，29(2)：55-63. Mao Meiqin，Zhou Songlin，Su Jianhui.Probabilistic power flow forecasting of microgrid based on joint probability distribution about wind and irradiance[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(2)：55-63.

[7] 董雷，杨以涵，张传成，等.综合考虑网络结构不确定性的概率潮流计算方法[J].电工技术学报，2012，27(1)：210-216. Dong Lei，Yang Yihan，Zhang Chuancheng，et al.Probabilistic load flow considering network configuration uncertainties[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27(1)：210-216.

[8] 朱星阳，刘文霞，张建华.考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流[J].中国电机工程学报，2013，33(7)：77-85. Zhu Xingyang，Liu Wenxia，Zhang Jianhua.Probabilistic load flow method considering large-scale wind power integration[J].Proceedings of the CSEE，2013，33(7)：77-85.

[9] Hong H P.An efficient point estimate method for probabilistic analysis[J].Reliability Engineering & System Safety，1998，59(3)：261-267.

[10]刘小团，赵晋泉，罗卫华，等.基于TPNT和半不变量法的考虑输入量相关性概率潮流算法[J].电力系统保护与控制，2013，41(22)：13-18. Liu Xiaotuan，Zhao Jinquan，Luo Weihua，et al.A TPNT and cumulants based probabilistic load flow approach considering the correlation variables[J].Power System Protection and Control，2013，41(22)：13-18.

[11]徐潇源，严正，冯冬涵，等.基于输入变量秩相关系数的概率潮流计算方法[J].电力系统自动化，2014，38(12)：54-61. Xu Xiaoyuan，Yan Zheng，Feng Donghan，et al.Probabilistic load flow calculation based on rank correlation coefficient of input random variables[J].Automation of Electric Power Systems，2014，38(12)：54-61.

[12]蔡菲，严正，赵静波，等.基于 Copula 理论的风电场间风速及输出功率相依结构建模[J].电力系统自动化，2013，37(17)：9-16. Cai Fei，Yan Zheng，Zhao Jingbo.Dependence structure models for wind speed and wind power among different wind farms based on copula theory[J].Automation of Electric Power Systems，2013，37(17)：9-16.

[13]蔡德福，石东源，陈金富.基于Copula理论的计及输入随机变量相关性的概率潮流计算[J].电力系统保护与控制，2013，41(20)：13-19. Cai Defu，Shi Dongyuan，Chen Jinfu.Probabilistic load flow considering correlation between input random variables based on Copula theory[J].Power System Protection and Control，2013，41(20)：13-19.

[14]Zhang L，Cheng H，Zhang S，et al.A novel point estimate method for probabilistic power flow considering correlated nodal power[C].IEEE PES General Meeting|Conference & Exposition，National Harbor，MD，2014：1-5.

[15]Berg D，Aas K.Models for construction of multivariate dependence-a comparison study[J].The European Journal of Finance，2009，15(7)：639-659.

[16]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer，1999.

[17]Soleimanpour N，Mohammadi M.Probabilistic load flow by using nonparametric density estimators[J].IEEE Transactions on Power Systems，2013，28(4)：3747-3755.

[18]Genest C，Rémillard B，Beaudoin D.Goodness-of-fit tests for copulas：a review and a power study[J].Insurance：Mathematics and economics，2009，44(2)：199-213.

[19]Berg D.Copula goodness-of-fit testing：an overview and power comparison[J].The European Journal of Finance，2009，15(7-8)：675-701.

[20]Aas K，Czado C，Frigessi A，et al.Pair Copula constructions of multiple dependence[J].Insurance：Mathematics and economics，2009，44(2)：182-198.

[21]Rosenblatt M.Remarks on a multivariate transformation[J].The Annals of Mathematical Statistics，1952，23(3)：470-472.

[22]Data[DB/OL].Sydney：AEMO，2010[2014-06-01].http：//www.oz-energy-analysis.org/data/generation_wind_farms.php.

[23]Brechmann E C，Czado C，Aas K.Truncated regular vines in high dimensions with application to financial data[J].Canadian Journal of Statistics，2012，40(1)：68-85.

[24]Power Systems Test Case Archive[DB/OL].Washington：University of Washington，1993[2014-11-01].http：//www.ee.washington.edu/research/pstca.

Pair Copula Based Three-point Estimate Method for Probabilistic Load Flow Calculation

WuWeiWangKeyouHanBeiLiGuojie

(Key Laboratory of Control of Power Transmission and Conversion， Ministry of Education Shanghai Jiao Tong University Shanghai 200240 China)

Current methods，such as Copula theory，are inadequate to model multiple dependent wind power outputs accurately.Moreover，the point estimate method cannot handle the correlation among wind power outputs.Thus，an improved point estimate method based on Pair Copula and probability integral transformation is proposed for probabilistic load flow studies.The probabilistic model of multiple correlated wind power outputs is firstly constructed by Pair Copula.The point estimate method is then used to generate samples in the independent normal domain.Finally，based on the probability integral method，the samples are transformed into the actual probabilistic domain in order to find the characteristics of the power system operation.In this way，the point estimate method can handle multiple dependent wind generations with arbitrary distributions.The modeling and analysis for the power outputs of adjacent wind farms in Australia verify the goodness-of-fit of Pair Copula.The probabilistic load flow of the IEEE 118-bus system is solved to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Pair Copula，multiple dependence，probability integral transformation，point estimate method，probabilistic load flow

国家高技术研究发展计划(“863”计划)(2014AA052003)，国家自然科学基金(51307107、51477098)，国家科技支撑计划(2015BAA01B02)资助项目。

2014-12-29 改稿日期2015-02-14

TM315

吴 巍 男，1990年生，博士研究生，研究方向为微电网的安全稳定分析及优化运行。(通信作者)

汪可友 男，1979年生，博士，副教授，研究方向为电力系统分析与控制，新能源的不确定性分析。