值得一学的多边形求边数问题

☉湖北省秭归县教育科研信息中心 何训光

☉湖北省秭归县实验中学李萍

值得一学的多边形求边数问题

☉湖北省秭归县教育科研信息中心 何训光

☉湖北省秭归县实验中学李萍

学习了多边形以后，总是会出现一些求多边数的边数的问题需要师生们解答，而且这类题对于初学者并非易事，部分题就连有的老师也是难以入手.下面对一道典型的求边数问题给出三种解法供读者参考，希望能对读者有所帮助.

题目已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数.

分析：看似一道简单的题，文字不多，要求也单一，正应了那句“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”的话，此题对于八年级的初学者来说就不容易了.不妨读者先不看下面的答案试着解答一下.

涉及多边形求边数的问题，通常与多边形的内角和定理与外角和定理联系在一起，并利用这两个定理来解答.

下面给出三种学生可以理解的方法.

解法一：利用辅助未知数列方程求解

设这个多边形的边数为n，并设题中所指的那个外角的度数为x°（x为辅助未知数，且0＜x＜180）.

由多边形的内角和定理可得180（n-2）+x=1350，

即x=1710-180n.

因为0＜x＜180，且当x=0时，有n=9.5，当x=180时，有n=8.5.

即有8.5＜n＜9.5.

又因为n为正整数，所以n只能为9，因此原多边形为九边形.

解法二：列不等式组求解

对于学习过一元一次不等式组的同学来说，可以直接列不等式组来解答.

同解法一，先设这个多边形的边数为n，并设题中所指的那个外角的度数为x°（x为辅助未知数，且0＜x＜ 180），再用含n的代数式表示x，即有x=1710-180n.

解这个不等式组得8.5＜n＜9.5.

又因为n为正整数，所以n只能为9，因此原多边形为九边形.

值得说明的是：解法二和解法一的核心思想是一样的，都是利用多边形的一个外角在0°与180°之间来进行解答的.解法一是在学生没有学习不等式的解法时而进行的一种讨论法，解法二则是把这种讨论的方法转化成了一元一次不等式组.

解法三：直接讨论

设这个多边形的边数为n.因为一个多边形的内角和的度数是（n-2）180°，即多边形的内角和应为180°的倍数，所以有1350÷180=7……90°.

由此可知，这个多出的90°就只能是那个外角的度数.并且n-2=7，即有n=9，所以原多边形为九边形