知识形成中的过程走偏现象的分析

☉江苏省无锡市第一女子中学 项菲

知识形成中的过程走偏现象的分析

☉江苏省无锡市第一女子中学 项菲

当前的教学实践中，广大数学教师认识到，让学生经历数学知识的形成过程，是促进数学知识的学习、提升数学能力和培养数学观念的一个重要途径.近几年笔者参加教研观摩活动，发现许多的过程设计不合理，引导不得法，导致在知识形成过程中本应该具有深刻理解知识、发展数学思维，促进数学认知发展的教育价值得不到充分体现，出现过程走偏现象.

一、与已有经验不对接，导致自主建构障碍

案例1：去括号.

（1）由实际问题引出去括号问题.由时间、速度与路程的关系列出表示铁路的全长（两段路程的和）的式子100t+120（t-0.5），两段路程的差的式子100t-120（t-0.5）.

（2）告知学生可以用分配率进行下述变形：+120（t-0.5）=+120t-60，-120（t-0.5）=-120t+60.

（3）比较去括号前后发生的变化，给出去括号法则.

评析：本过程是从实际问题中引出有括号的式子，再利用已有的经验分配率尝试去括号，然后比较去括号前后发生的变化，给出去括号法则.从实际问题出发，利用学生已有经验进行问题探究，似乎有利于学生理解新知识，但是本过程并不能使学生的已有经验发挥作用，相反已有经验还阻挠了对新知识的理解.主要是以下两个方面的问题.

一是对去括号的意义指向不明.为什么要去括号？实际问题背境并未为学生提供去括号的心理指向.

二是对括号法则的建构不畅.本设计用分配率同化去括号法则的方式帮助学生建构法则，但在一些学生的认知结构中，分配率是为形如计算而使用的，-120（t-0.5）并不具备上述可简化的结构.分配率的认识狭隘会形成同化的干扰，加上此时学生心理发展刚进入形式运算阶段，脱离具体情境用假设推导结论的能力弱，部分学生可能达不到教师所期待的效果.

如果改为用下面两个实例引出，则有助于化解难点.

李浩父亲存折上原有a元人民币、b元港币，现再存入c元人民币、d元港币，问：存折里一共多少钱？设1港元=0.8元人民币，这是a+b+0.8（c+d）=a+b+0.8c+0.8d的现实原型.

李浩父亲存折上原有a元人民币、b元港币，现支出c元人民币、d元港币，问：存折里还有多少钱？设1港元= 0.8元人民币，这是a+b-0.8（c+d）=a+b-0.8c-0.8d的现实原型.

经验告诉学生，同类项相减，所以去括号操作的指向是显然的.让学生知道为何要去括号，何时去括号；该现实原型能反映去括号“全变全不变”的本质.有现实原型解决的经验支撑，去括号法则就能很自然地纳入学生的认知体系里，而不是被动地记忆.本实例与学生的生活联系密切，数量关系简单，学生都能参与建构法则.

“概念或命题、公式、法则等在学习者头脑中的心理表征而言，并不仅仅是由相关的定义或逻辑关系所组成，恰恰相反，一些典型实例在其中也有了十分重要的地位”“只有借助具体的抽象过程，我们才能帮助学生很好地把握相关概念或命题、公式、法则等的本质，并能顺利实现由后者向具体情境的复归”，所以“应十分重视帮助学生认识概念或命题、公式、法则等的典型现实原型，以及相应的数学抽象过程”.因此，尤其是七年级学生，更需要现实原型帮助建构与理解.

二、忽视知识的整体性，导致数学思维方式的缺失

案例2：两条平行线间的距离.

师：一条河的两岸可以看成平行的直线，某人在岸边要驾船到对岸，请问：他应该选择哪个位置到对岸，才能以最短的路径实现目的？

生：随便哪个位置都可以，因为岸的一边上任意点到对岸的距离都相等.

师：为什么？

生：感觉.

师：这种感觉很好，但我们应该给予证明.今天，我们就来学习“什么是两直线的距离”.

……

评析：凭心讲，这位教师设计的现实背景非常实在，也是一种常识，学生通过教师的教学能够知道现实生活需要研究两直线间的距离，激发了学习动机.可是笔者认为，这种设计有缺陷：一是学生不知道教师今天为什么突然提出这么一个问题，只能机械地配合教师去探索；二是教师掐断了学生对研究问题的策略的思考，是什么原因让学生的注意力由“点到直线的距离”转移到“两直线间的距离”呢？

以下是另一个教师的教学过程，笔者认为或许教学效果更好.

师：前面我们学习了平面上两线的位置关系：平行与相交，当两直线相交时，我们采用角来刻画它们的“相交程度”.那么，如果两条直线平行，今天我们采用什么方法来刻画呢？（教师平行地拿着两支笔进行远近移动）

生：距离.

师：什么意思？

生：你刚才在比划，给我们一个感觉，两平行直线有远和近的区别.

师：好，那么怎样刻画两平行直线的距离呢？

生甲：作任意一条直线与两条直线都垂直，被它们所截得的线段长度都相等，这个长度我们就定义为两平行直线间的距离.

师：很好！但要说明怎么作任意一条直线与两条直线都垂直，还有别的什么方法？

生乙：其实，两平行直线中任意一条直线上的一点到另一条直线的距离相等，这个距离也可以定义为两平行直线间的距离.

师：很好！为了研究两平行直线间的距离，我们可以选择甲和乙的办法，大家看，该选择哪种办法？

生丙：选择甲的，因为点到点的距离最原始.

生丁：选择乙的，因为点到直线的距离也是通过点到点的距离来刻画的，如果能够得到点到直线的距离，可以少走弯路.

师：两位同学的构思都有道理，那么，我们就合二为一.

……

显然，第二位教师能够从数学本身的研究出发，让学生感受数学研究的策略，加强了数学的内在知识结构的联系，引导学生发现自己应该研究的方向.这时第二位教师在教学过程中，只需再补充一道实际应用性问题即可.事实上，数学问题的发现或提出很多是数学工作者由于研究数学的需要而提出的，并非缘于实际的需要.在一些数学发现的早期，有一些问题都是实际问题所导致的，可一旦“启动”后，往往就是从数学到数学的研究过程，我们应该“尊重历史现实”，同时也不应该人为地制造一些所谓的实际背景将内在思维联系密切的数学问题搞得支离破碎，否则，就会淡化运用数学的方法研究问题的教育，把本身内在联系密切的数学知识搞得支离破碎，不利于学生系统掌握数学的思考方式！

三、问题间思维断裂，导致抽象过程的缺失

案例3：绝对值概念.

（1）教师首先创设了这样一个情境：小亮家的正东和正西方向各有一个公共汽车站，它们离小亮家分别为200米和450米，小亮想就近上车，你认为他会选择从哪个公交汽车站上车？

（2）教师引导学生思考选择车站的依据是车站到小亮家距离的大小，这个距离与方向无关，而且非负.

（3）教师画一条没有原点，只有方向和单位长度的直线，问学生这是不是数轴，引导学生补全数轴、回顾数轴三要素，再让学生说出数轴上A（-6）、B（-4）、C（0）、D（3）、E（8）、F（10）各点距离原点几个单位长度.在此基础上指出：这些都是点到原点的距离，而数轴上点对应着数，今天就学习与此有关的绝对值的概念，请大家分组讨论，看能否得到绝对值的概念.

（4）在学生说出绝对值的概念后，让学生根据定义通过画图写出若干正数、负数的绝对值和零的绝对值，在此基础上通过归纳得到绝对值的计算方法.

评析：本来，从情境问题出发，提出研究同一直线上不同点到同一基准点的距离问题后，很自然地想到用数轴来描述这种距离，即基点对应原点，东、西方向对应数轴的方向，位置对应数轴上的点（数），直线上各点到基准点的距离对应数轴上各点到原点的距离.但教师没有这样做，而是抛开情境问题，让学生回忆数轴的概念，写出数轴上各点到原点的距离，造成“用数轴上的点描述直线上点的位置”思维的缺失，另起炉灶，造成了学生思路刚产生就被打断.

其实，绝对值概念的形成过程蕴含着从生活实例到数学概念的抽象过程：（1）从生活经验发现研究同一直线上各点到同一基准点的距离是必要的；（2）把（1）中的距离问题抽象成数轴上各点到原点的距离问题；（3）以以数轴为中介，建立这个距离概念与数之间的联系.

四、思想与活动不匹配，不利于知识自然合理地形成

案例4：相交线.

（1）提出问题：①能测量图1中∠AOB的大小吗？②能测量如图2所示的墙角∠AOB的大小吗？（学生不知道怎么办，教师指出，通过本节课的学习，就能解决这个问题）

图1

图3

图2

（2）教师引导学生画两条相交的直线（教师在黑板上画出如图3所示的相交线，得到四个角）.

①引导学生思考：这四个角中有几个小于平角的角？把这四个角两两组合，看有哪几种可能.（学生分组讨论）

②把得到的各对角进行分类.（结果学生有很多种分类方法，教师发现学生分类出现错误后要求学生从顶点和边的位置关系角度进行分类，并与学生一起得到教材中的分类结果：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1一类，∠1与∠3，∠2与∠4一类）

（3）引导学生观察第一类角的位置关系的特点，得出邻补角的概念.

（4）在进行邻补角概念辨别后，教师引导学生讨论图3中∠1与∠3的位置关系并给出对顶角的概念.

（5）提出问题：互为对顶角的两个角的大小关系是什么？（学生得到“对顶角相等”的结论.教师让学生尝试说明理由）

评析：教师把相交的两条直线形成的角的关系分类作为教学的重点.本内容知识形成过程包括邻补角和对顶角概念的自然形成、性质探究.思考活动包括：从生活中丰富的相交线现象中提出研究两条直线相交的问题，其次需要自然、合理地想到角，因为形成的角有四个，需要思考用哪一个角描述两条直线的相对位置关系，再去研究四个角之间的关系，得到邻补角和对顶角的性质，从而得到结论：只要有其中一个角的大小确定，则其余三个角的大小就唯一确定，这样就解决了问题.在这一思考过程中，蕴含着的重要数学思想方法是：推理思想、化线为角的思想.分类讨论并不是其中的核心思想方法，将本不是本课教学重点的数学思想作为重点活动来设计，既不利于知识的自然、合理形成，又忽视了本应该重点达成的高阶目标.

五、思维步骤不完整，导致不能形成完整的思维方式

案例5：苏科版数学七年级上册“§3.5去括号”，基本上是复制课本.

（1）填表：

a b c a+（-b+c）a-b+c a-（-b+c）a+b-c 5 2 -1 -6 -4 3 -9.5 5 -7

你发现了什么？再换几个数试试.

能说明你发现的结论正确吗？

评析：从表面上看，这个过程的确体现了寻找规律的一般方法，先从特殊的几个数入手，找出可能存在的一般规律，再通过“换几个数”，让学生从中得到共同的结论，从而推广到一般情形.但若深入思考一下，表格中为何只让学生填a+（-b+c）与a-b+c，a-（-b+c）与a+b-c？其背后隐含着怎样的思考过程？课堂教学中应对这一思维过程有所体现.要挖掘教学素材的内涵，课本本身在编写过程中要保持其简约性，不可能将所有情形一一展开，在使用这样的教学素材时就应该有挖掘其内涵的过程，如可以让学生先去猜想a+（-b+c）和a-（-b+c）去括号后的可能结果，再让学生算一算，通过计算验证猜想结论的正确性，同时加深对“否定结论只需举一个反例”的认识，最后利用乘法分配律进行证明，即经历完整的思维步骤：“观察、猜想、验证、证明”，真正让学生学会探寻规律的一般方法.

六、思想与活动的不匹配，导致不能形成正确研究问题的方法

案例6：图形的相似.

（1）教师先展示如下图片（如图4）.

师：同学们，请观察图4中的几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片的特点进行归纳吗？

图4

图5

生1：它们的形状一样，大小不一样.

师：生活中还有哪些形状一样的图形？

生2：放大镜中的图形与实际图形；镜子中的像与实物.

然后，教师引入课题并直接给出定义：形状相同的图形叫做相似图形.

（2）教师直接说明：相似图形就是将一个图形进行放大或缩小，并引导学生观察图形放大和缩小的过程（动态展示变化过程），然后判断镜子是否与实物相似（如图5）.

接着，教师让学生判断通过复制、粘贴得到的三角形与原三角形有什么关系.

（3）在完成了全等图形的辨别练习后，教师动态展示用放大镜放大三角形的过程，并提问：得到的三角形是否与原三角形相似？放大镜放大后的角与原三角形的角有什么关系？在对放大前后的三角形进行检验后让学生进行练习.

（4）研究相似多边形，分析教材中的思考题：如图6，△A′B′C′是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？

图6

图7

对于图形7中的两个相似的正六边形，你是否也能得到类似的结论？

在发现相似的正三角形和相似的正六边形的对应角相等，对应边的比相等后，教师引导学生探索一般的相似三角形是否具有类似的性质.在引导学生用测量的方法发现一般的相似三角形也具有类似性质后，教师直接告诉学生相似四边形同样具有类似性质，因为可以通过作对角线把四边形分为两个三角形（在这里，教师这样讲学生其实不理解），接下来讲解相似比概念，在小结中，提到了全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为1）.

评析：纵观案例，尽管教师设计了生活中相似图形的观察活动，但没有类比全等图形进行，造成了本应该着重体现、贯穿全课的类比推理活动的缺失及思考过程（1）中数学思考不自然；其次，教师虽然让学生观察了图形的放缩过程，但没有让学生借助网格进行放缩操作，让学生知道缩放的意义（在任何方向放缩相同倍数），这造成了思考过程（2）的不充分，学生只是记住而非理解了结论；第三，教师引导学生按照从特殊到一般分析了相似多边形的特征，但没有让学生思考为什么这样做，学生不知道这种研究思路是怎样想到的.

从相似图形到相似多边形的研究是从粗略到精细、从定性到定量的发展过程.其研究过程是按照下列次序自然进行的.（1）类比全等图形的概念，观察生活中形状相同的图形，进行相似图形概念的初步抽象；（2）通过操作实验和观察，引导学生从放缩变换角度理解相似图形的概念（放缩后的图形与原来的图形相似，这可以与全等图形中运动变换前后的两个图形全等相比较）；（3）类比全等三角形，提出研究相似多边形的研究对象和方法：研究对应的边角关系，用实验测量和推理计算的方法，从特殊情形（相似正多边形）出发，进而推广到一般多边形；（4）比较相似三角形与全等三角形概念之间的区别与联系.

总之，设计和实施合理有效的过程，使学生通过经历和体验，挖掘内隐的数学思想，同时进行数学化思考，这对学生获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的同时，学会用数学的观点和思想方法自然、合理地思考问题，确实具有重要的现实意义.Z