数学需要“按图索骥”——数形结合是重要的数学思想方法

●许钦彪(稽山中学浙江绍兴312000)

数学需要“按图索骥”
——数形结合是重要的数学思想方法

●许钦彪(稽山中学浙江绍兴312000)

“用数来研究形，用形来表达数，探究数与形的关系和转化”是数学的重要内容，数形结合是数学的重要思想方法.从高中数学主干知识和主要内容来看，代数函数的图像和性质、三角函数的图像和性质、解析几何、立体几何、坐标系、几何向量等等，都是数形结合思想研究的结果.因而在学习数学和解决数学问题时要充分利用数形结合这一常用的思想方法.全国各地的高考要求明确和特别重视数形结合思想的考查，尤其在客观题中对思维能力要求较高的最后几题，基本上考查的是数形结合的思想、按图索骥的方法.本文通过一些方式、步骤、实例来说明在平时的数学教学中如何养成该数学思想，使数形结合成为学习数学、解决问题和探索创新的主动、自觉、自然的思维方式.

1 看图说话是基础

看图说话是启发幼儿认知能力的常用方法，其实也是数形结合思想的基础，是学习数学和解决数学问题的一种基本方法.数与形可以体现数学美，体现数学的本质，也可以激发培养对数学的兴趣和探究愿望.在教学中有意识地引入这类问题对培养学生的数学思维是很有益处的.

图1

例1四面体A－BCD及其三视图如图1所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面交棱BD，DC，CA于点F，G，H.

1)证明:四边形EFGH是矩形;

2)求直线AB与平面EFGH的夹角θ的正弦值.

(2014年陕西省数学高考理科试题第17题)

实施新课程标准以来，有关三视图的问题一直是高考的热点题型之一，这是一类典型的“看图说话”题.

分析从三视图看出主要的2个条件:一是有关的棱长，并得到BD=DC=2，AD=1，;二是AD⊥DB，AD⊥DC.将这些信息标注在四面体的立体图上，容易得到其证明及解法.

1)由AD∥面EFGH，面ADB∩面EFGH=EF，面ADC∩面EFGH=HG，知

从而EFGH是平行四边形，且F，G，H是各棱的中点.又AD⊥DB，AD⊥DC，得AD⊥面DBC，从而

因此四边形EFGH是矩形.

图2

2)如图2，取AD的中点P，EH的中点R，联结PE，PH，PR.由P，R，H是各侧棱的中点，知PF∥AB，，面EPH∥面BDC.又AD⊥面BDC，AD⊥面EPH，知

由AD∥EF，知

又PE=PH=1，得

二次问题，如二次方程根的个数、根的分布范围等，用代数解法有时会产生失误，而利用图形往往更形象、直观、准确.根据笔者调研发现，在教学和学生解答时，比较习惯于用代数方法，因此应注意提倡数形结合在这方面的应用.

例2当k为何值时，方程组有4组实数解?

分析用代数方法容易产生2种错误.

错误1将x2=y－k代入，得

若要有4组实数解，还须x2=y－k＞0，即

错误2由得

事实上这2者是不等价的.

正解由得

要有4组实际数解，须满足

用数形结合可以避免以上容易错漏的问题.如图3，x2+ 2y2=2是一个固定的椭圆，y= x2+k是顶点为(0，k)的向上移动的抛物线.容易知道2条曲线相切时，，因此有4个交点时，

图3

同样，由图还可以得到0个、1个、2个、3个交点时的各种解答.而用代数方法，对无解、1组、2组、3组的解法将要考虑各种情况的计算.

2 按图索骥找规律

学习数学，要养成一个好习惯，就是在作图时，要充分利用图形来分析，从图形分析中探索条件、目标之间的关系，探索解决问题的途径，这就是“按图索骥”.按图索骥的原意是按照图形寻找需要的目标，是一种循规蹈矩、教条主义的思想方式，而数学思想是严谨规范的思想.在数学上，可以把按图索骥提升理解为“按图形寻方法”的思想，那么，按图索骥实际上是一种重要的数学思维和解决问题的思想方法.作图分析可以帮助我们知道“已知什么，要求什么，已知与要求的关系”，从而知道“该怎么做”.形象地说，作图分析相当于作一份交通地图，把出发点、目的地标注清楚，从而来寻找出发点到目的地的最佳途径.有些数学问题的条件信息量较多且难以整合，而在图形上一一标注后就容易得到它们之间的沟通桥梁.有些复杂、陌生的问题，通过图形可以转化为简单、熟悉的问题，更有一些问题，经过作图能直接得到答案.

例3已知函数f(x)=x2+mx－1，若对于x∈［m，m+1］，都有f(x)＜0成立，则实数x的取值范围是______.

(2014年江苏省数学高考试题第10题)

分析代数方法通常是由f(x)＜0得

对于一个高考填空题来说，要求尽量准确、快速解答.以上的方法如果根式再复杂一点，那么解根式不等式的时间会更费，也更容易产生计算错误.

如果用数形结合作图分析，就比较简洁明了.

如图4，f(x)开口向上，根据题意，得

这样就避免了解根式不等式的难点和易错点，大大简化了解答.

图4

图5

例4在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，，C(3，0)，动点D满足|CD|= 1，则的最大值为______.

(2014年湖南省数学高考理科试题第16题)

分析如图5，设动点D(x，y)，由条件知D是定圆周上的动点，所求目标用坐标代入得

3 数形转化达目的

有了看图说话的基础认识，掌握了按图索骥的方法规律，就会逐步自然地利用数形结合进行数形转化，从而达到解决问题的目的.需要指出的是能用数形结合的应尽量用数形结合来解决:一是容易找到解题途径;二是可以简化计算过程;三是减少计算失误;四是避开困难和错误;五是确保准确的结果.

数学教学和高考中的函数问题是重要内容，也是考试热点之一.涉及到函数的图像问题可以充分利用数形结合来看图说话，按图索骥来解决.

例5已知f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈［0，3］时.若函数y=f(x)－a在区间［－3，4］上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_______.

(2014年江苏省数学高考试题第13题)

分析这是周期函数分段讨论问题，用代数法讨论当然也可以解决，但需要较长的时间.考虑到所给函数能作图，就应该充分利用图形.

图6

图7

例6min{a，b}表示a，b中的最小值.若函数f(x)=min{|x|，|x+t|}的图像关于直线对称，则t的值是( )

A.－2 B.2 C.－1 D.1

(2010年湖南省数学高考理科试题第8题)

分析如图7，画出函数y=|x|的图像，由图像关系得知y=|x+t|的图像是由y=|x|的图像平移得到.要f(x)的图像(实线部分)关于直线对称，必须使t=1.

例7设函数f(x)=4sin(2x+1)－x，则在下列区间中函数不存在零点的是( )

A.［－4，－2］ B.［－2，0］

C.［0，2］ D.［2，4］

(2010年浙江省数学高考理科试题第9题)

分析此题作为选择题，如果用函数讨论将花费较长时间并有一定难度，而由作图则可以快捷准确地看出结果.

如图8，分别作出y=sin(2x+1)和y=x的图像，从2个图像的交点情形可以看出:2个函数在［－4，2］上不存在交点，即函数f(x)在［－4，2］上不存在零点.故选A.

图8

图9

例8点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是( )

A.［0，5］ B.［0，10］

C.［5，10］ D.［5，15］

(2014年海南省数学高考文科试题第10题)

分析如图9，分别作出区域－14≤x－y≤7及直线4x+3y=0，求出交点A(6，8)到原点O的距离即为最大值10，而最小值显然为0.故选B.

例9已知函数的图像与函数y2=kx－2的图像恰有2个交点，则实数k的取值范围是______.

(2012年天津市数学高考理科试题)

分析此题显然要利用函数图像“按图索骥”.如图10作出的图像，因为y2= kx－2过定点P(0，－2)，kPA=0，kPB=4，要y2与y1有2个交点，须0＜k＜1或1＜k＜4.

此类问题往往2个图像中有一个是确定的，另一个是动态的，但要充分注意到动态图像的“定值”特征，比如过定点的特征.

图10

图11

例10设函数，g(x)=ax2+bx，若y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有2个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以下判断正确的是( )

A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0

(2012年山东省数学高考理科试题第12题)

分析作出f(x)的图像，注意到g(x)必过原点，对a的正负进行讨论.

当a＜0时，要有2个交点，只有如图11所示的形状.由A关于原点O的对称点C(x1，y1)可知，显然有

当a＞0时，同样可得x1+x2＜0，y1+y2＞0.

例11定义运算设 f(x)=(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)= m(其中m∈R)恰有3个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是______.

(2012年福建省数学高考理科试题第15题)

图12

图13

分析由定义的运算得

作出其图像(如图12)，由图可知f(x)=m有3个不同根的条件是.不妨设x1＜x2＜x3，由图可知x2＞0，x2+x3=1，从而

数形结合思想方法的应用非常广泛，在其他内容和题型上也有重要运用.

例12设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF1|=|F1F2|，且点F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

(2010年浙江省数学高考试题理科第8题)

分析此题的关键是找a，b的关系，难点是把条件转换成a，b，c的关系式，较好的方法就是作图，其中F2T⊥PF1，把条件在图中标注出来(如图13).

由图得到关系式

例13设x＞0时，均有［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，则a =______.

(2012年浙江省数学高考理科试题第17题)

分析作为客观题的最后一题，有一定的难度，主要考查的是灵活处理问题的能力以及数形结合的思想.

根据当年的考试和评卷情况，此题的得分率是不高的，其原因是缺少数形结合思想和按图索骥、看图说话的能力.许多考生陷入了常见的2种思路模式.

等价于f(x)≥0在(0，+∞)恒成立，再利用导数讨论求解.

这2种方法过程繁杂，有些学生甚至做不下去，半途而废.而用数形结合思想解决此题，则比较清楚明了.

先把题设转化为

分别作出f(x)=ax，g(x)=x+1，h(x)=x2－1的图像(如图14).当x＞0时，满足

等价于当x＞0时，f(x)的图像在g(x)与h(x)之间，从而f(x)=ax只能过g(x)与h(x)的交点，此时.

也可以直接从y1=(a－1)x－1，y2=x2－ax－1的图像都过点P(0，－1)分析.如图15，y1的图像与x轴的交点必须在x正半轴上，否则不能保证x＞0时，y1y2≥0，因此a＞1.这时y2的图像必须过点才能使x＞0时，恒有y1y2≥0.代入得

图14

图15

例14已知平面向量α，β(其中α≠0，β≠0)满足|β|≠1，且α－β的夹角为120°，则|α|的取值范围是______.

本题直接用向量方法求解有难度，可以利用数形结合的思想将其转化为图形问题，然后按图索骥.

数形结合不但是探究数学的思想、解决数学问题的方法，其实也是数学命题的一种根据和来源.

例15记设a，b为平面向量，则( )

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.min{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省数学高考理科试题第8题)

此题就是由“平行四边形的对角线平方之和等于四边平方之和”这一结论类比成向量而来的.

图16

图17

例16设x，y，z为正实数，求证:

此题用代数方法是难以解决的，从根式内容和结构上分析，可以利用数形结合转化为图形问题.可以看成是以x，y为2条边长、夹角为60°的三角形的对边长，另外2个根式也可以同样看待.而所需证明的不等式是a+b＞c的形式，从图形来说就是三角形的两边之和大于第三边.因此可构造如图17所示的三棱锥，其中3条侧棱分别为x，y，z，3个顶角都为60°，则底面三角形的3条边长显然有

从以上数形结合的解法可以进一步发现:如果改变顶角的大小，比如15°，30°，45°，75°等，3个顶角也可以不一样，这样可以得到更复杂的同类不等式，用代数方法较难解决，而用图形则简便得多.

数形结合思想应用广泛，培养学生的数形结合思维、看图说话、按图索骥的能力意义重大.希望本文能对中学数学教育有一些积极的作用.