主成分分析在教学质量评估中的实证研究

梁秋，黄海午

摘要：本文以桂林理工大学为例，旨在通过主成分分析方法评估《高等数学》课程的教学质量。将传统的12个评价指标以78.75%的贡献度概括为5个主成分，对传统多指标评估复杂性进行改进，简化评价指标。依据各主成分的贡献度进行加权得到综合得分，由综合得分反映任课教师之间的差异，实现了教学质量的定量评估，极大促进了教学质量的管理工作。

关键词：教学质量评估;主成分分析;评价指标体系

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2014）41-0115-03

一、引言

教师是教育教学的核心，他们决定着教育教学的开展方式，主导着课程的走向，在很大程度上决定着学生的学习动机、学习方法以及学习成果。近年来，随着各高校不断扩招，教学质量的科学评估变得越来越重要。由于各专业的课程评价标准不一，因此只选择以多数专业必修课程《高等数学》为例进行分析。本文采用主成分分析方法对桂林理工大学20个专业的《高等数学》课程的教学质量进行评估分析。根据学校教师教学质量评价标准，可列为12个评估指标：教书育人，为人师表，遵纪守时（X1）;备课充分，课堂内容充实（X2）;认真批改作业和辅导，答疑（X3）;深入学生，听取建议，改进教学（X4）;调动学生积极性，课堂气氛活跃（X5）;语言精练，板书工整（X6）;注重培养学生语言表达能力（X7）;对教材认真钻研，熟练掌握（X8）;讲课条理清楚，重点突出，富有启发性（X9）;不断充实教学内容（X10）;课后收获大，成绩有进步（X11）;解决学生心中的疑难（X12）。通过抽取全校20个专业开展问卷调查，共调查了1500名学生，授课教师13名。由学生依据上述12个评估指标分别对自己的《高等数学》教师进行教学质量打分。

二、实证分析

1.理论模型。主成分分析（Principal Component Analyssis）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。某现象涉及到p个指标，这p个指标构成的向量为X=X■，X■，…，X■■。设随机向量X的均值为u，协方差矩阵为∑。对X进行线性变换，可以形成新的综合变量，用Y表示，即：新的综合变量可以由原来的变量线性表示，满足下式：

Y1=u11+X1+u12X2+…+u1pXpY2=u21+X1+u22X2+…+u2pXp……Yp=up1+X1+up2X2+…+uppXp  （1）

由于对原始变量可任意进行上述线性变换，通过不同的线性变换所得到的综合变量Y的统计特性也不尽相同。因此，为了取得较好效果，总是希望变量Y■=u■■X的方差尽可能大，且各Y■之间互不相关。由于Var（Yi）=Var（u■■X）=u■■∑ui（2），而对于任意的常数c，有Var（cu■■X）=c2u■■∑ui（3）.

因此，对ui不加限制时，使Var（Yi）任意增大，问题将变得没有意义。定义线性变换的约束规则如下：

Y2是Y1不相关的X1，X2，…，XP所有线性组合中方差最大者;XP是Y1，Y2，…，YP-1都不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合方差最大者。

2.主成分分析过程。本文采用SPSS20.0软件进行数据分析，结合实际问题，对各个分析结果详细解释如下：通过主成分分析，得到前5个主成分解释了全部方差的78.75%，即包含原始数据的信息量达到78.75%。这就说明前5个主成分能够代表原来的12个指标进行教学质量评估。设这5个主成分为：y1，y2，y3，y4，y5，同时可得到这5个主成分的因子载荷矩阵。对输出的因子载荷矩阵中第i列的每个元素除以第i个特征根的平方根λi，即得第i个主成分的系数，如下表：

由上表可知，各个主成分的系数均不是很大，所以仅仅用某个或某几个主成分来度量评分值都会丢失大量信息。因此，考虑综合得分评价标准：各个主成分以该主成分的贡献度为权重，进行加权，然后对加权后的得分值求和作为最后的综合得分，并降序排列，最终得到主成分得分系数矩阵。

根据各个主成分与变量之间的系数可得到5个主成分的线性组合如下：

y1=-0.183X1-0.031X2+…+0.28X12y2=0.283X1+0.461X2+…+0.104X12y3=0.552X1+0.05X2+…-0.33X12y4=0.019X1+0.14X2+…+0.183X12y5=-0.453X1+0.346X2+…+0.182X12  （5）

注意：这里的xi均是经过标准化后的数据。于是，可得到13名教师在每个主成分上的得分值，同时依据权重计算出其综合得分Fm。

其中，各个主成分的贡献度依次为0.293、0.225、0.209、0.157、0.116。由此可知，前三个主成分的贡献度稍大一些，即对教师教学质量综合评分的影响稍重。由上表结果可知，编号为6的教师综合得分最高，即学生对该教师的教学质量评价最好，所以可推知该教师在教学质量、教学水平上均表现很好;编号为8、11、12、4、13和7的教师综合得分较为一般，结合日常实际教学，可能该教师教学水平很好，但在教学方式上有所欠缺，从而使得教学质量得分稍微偏低;编号为2、10、1、5、3、9的教师得分均为负值，这说明相对前7名教师而言，这6名教师的教学水平和教学质量存在较大的问题，导致学生对其教学质量评价均较低。

三、结论建议

由上述分析可知，高校在进行教师教学质量的评价过程中，采用主成分分析可以在保留绝大部分原始信息的前提下，以综合得分排名来定量评价各个教师的教学质量，以简洁直观的形式给出较有信服力的量化数据评分标准，凸显差异化。

教育教学工作是由师生共同完成的，教学质量评估不是最终目的，它应该是一个渐进式的督促、改进、提高的过程。通过教学质量的评估彰显差异，由差异督促改进，最终实现教学质量的真正提高。

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基金项目：国家社会科学基金（13BTJ009）;广西社会科学基金（13CTJ001）阶段性研究成果

通讯作者：黄海午（1982-），男，博士，桂林理工大学理学院讲师，研究方向：应用统计。