高中数学概念教学浅议

●徐 同 翟士杰

高中数学概念教学浅议

●徐 同 翟士杰

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。数学概念的学习一般要经过从孤立到系统、从抽象到具体、从表面到本质的过程。数学概念的教学的一般策略是创设情境，引入概念；抓住实质，理解概念；设计练习，应用概念。

高中；数学概念；教学

一、数学概念及其学习

（一）数学概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，除了少量几个最基本的概念（如：点、直线、平面、集合等等）外，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。

正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。比如，儿童对自然数，对运算结果——和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。

（二）数学概念学习的一般过程

从学生学习的角度讲，数学概念的形成一般要经历以下几个过程：

从表面到本质——理解概念的内涵与外延（如定义、名称、例子、属性等），把握概念的深层结构，即对概念的核心、精髓的理解与把握；

从抽象到具体——对概念的不同表现形式的具体把握，对抽象概念的生动形象描述，解读概念的关键词，把握概念的细节，掌握更多的典型、精彩的例子，即对概念的丰富细节的了解，对概念变化的把握；

从孤立到系统——对概念之间的关系、联系的认识，通过对概念间关系的考察，从概念的联系中把握概念的核心所在，即在概念系统中认识概念，使概念得到充分的整合，概念间联系更加紧密，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系，增强概念的灵活迁移能力。

二、数学概念教学的策略

下面以“且”与“或”为例，[2]就数学概念教学的策略进行初步的思考。

（一）案例背景

《“且”与“或”》选自高中数学人教B版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语。逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学需要全面的理解概念，正确的进行表述，判断和推理，这就离不开对逻辑知识掌握和应用。在日常生活，学习，工作中，基本的逻辑知识是认识问题，研究问题不可缺少的工具。而本部分内容逻辑联结词又是逻辑知识的基础，也是学生在初中数学中学习过简单的命题知识进一步深化和推广；不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后续的数学学习中。本节重点是通过数学实例，了解逻辑联结词“且”与“或”的含义，能正确地表述相关数学内容。难点是简洁、准确地表述“且”命题、“或”命题，以及对新命题真假的判断。

（二）教学过程

1.创设情境，引入概念

教材加强概念的引入，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程。合理设置情境，符合学生认识水平，使学生积极参与教学，了解知识发生、发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐趣，这样也能使学生加深对概念的记忆和理解。

片段1

教师让学生说说命题有关的实例，从中抽取两个语句，让学生判断它们是否是命题。接着教师引导学生思考如果在两个命题中间加上一个“且”字联结，是否是命题呢？如果在两个命题中间加上一个“或”字联结，是否是命题呢？引入课题。

在概念教学过程中，教师应在学生现有的知识背景、能力水平和心理特点的基础上，给学生提供适当的范例，引导学生对实例进行观察、比较，对概念进行假设、验证，从而获得正确的概念。在引入过程中调动了学生积极性，培养了勇于发现，大胆探索的精神。

2.抓住实质，理解概念

数学概念是为了解决数学问题，对概念理解不清，在解题时就会出现错误；对概念理解不透彻，常会遇到问题束手无策。要正确深刻地理解概念绝非易事，数学概念具有严密的科学性，因此概念教学应让学生准确把握概念的内涵和外延，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当引导学生剖析概念，抓住概念的实质。

片段2

教师引导学生发现p∧q与之前学习的集合中的交集相类似，通过类比激发学生求知欲有助于学生探究概念，理解概念。

给出新命题p∧q，注意强调重点。接着用自然语言解释，再用此定义来解释集合中的交集，用维恩图来理解p∧q的意义，加深学生对p∧q的理解。接着，通过问题探究，进一步加深对用逻辑联结词“且”构成新命题的理解，学会如何由命题p，q的真假来判断命题p∧q的真假。

【问题探究】

用“且”联结下列各组命题组成新命题，并说出命题p，q和p∧q的真假：

（1）p：正方形是矩形， q：正方形是菱形；

（2）p：y=cosx是周期函数， q：y=cosx是奇函数；

（3）p：（-1）2=-1， q：3是质数；

（4）p：1g0.1＞0， q：1g11＜0。

学生分组讨论，并用表格归纳说出命题p，q和p∧q的真假。

问题探究给出p，q两个命题的真假的四种情况，放给学生探究，适当引导学生去发现问题，进行对比，进行研究。通过探究新命题的真假，体会由具体到抽象的思维方法，抓住概念的本质，进行剖析概念，加深对概念的理解。

3.设计练习，应用概念

数学概念教学的主要目的是让学生在理解概念的基础上，运用知识解决数学问题，提高数学能力，全面提高学生素质。所以在练习设计上一定要精、针对性强，便于提高学生的能力。

片段3

教师给出例题，学生利用新知识分析问题、解决问题。

例1 分析下列命题的组成，用“∧”表示出来，并判断该命题的真假：

（2）菱形的对角线垂直且互相平分；

（3）函数y=sinx是最小正周期为π的偶函数。

从例题中引导学生分析命题并判断真假，并注意及时总结，进一步巩固所学知识。

概念应用指的是通过应用概念去认识同类事物，加深对概念的本质理解，这是概念应用与理解同步的过程。正是由于概念应用直接有效的教学效果，使得教师都很注重教学的应用策略，往往通过经典的例题来透析概念的本质内涵，一般可以从辩证的角度入手出题，诸如正反两方面、学生易错点、概念难点，这些细节的地方入手，亦可以从概念的关键要领入手解决，往往会取得良好的教学效果。笔者在这里就不加例举了。

三、概念教学中注意的一些问题

人类认识数学概念具有“渐进性”，个体对数学概念的认识要“重演人类的认识过程”，而数学概念的高度抽象性，决定了对它的认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有基础上再概括的过程。以学生为主体，关注学生认知，从学生认识水平出发，重视学生参与，有利于学生积极学习概念；安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念内涵进行“深加工”，对概念要素做具体界定，让学生在对概念的正例、反例做判断的过程中，更准确地把握概念的细节；在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”的同时，建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。[3]

[1][3]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考，2010，（3）.

[2]普通高中课程标准实验教科书（数学）选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2004：10-13.

（责任编辑：金传宝）

徐 同 翟士杰/山东师范大学附属中学数学教师