导数的概念及其几何意义初探

包头铁道职业技术学院 魏志丹

导数的概念及其几何意义初探

包头铁道职业技术学院 魏志丹

导数是微积分的核心所在，在整个数学学习过程中占有重要的地位和作用。使学生将导数这一知识点彻底

导数 概念 几何意义 初步探究

一、引言

微积分的创建是数学发展中一项里程碑，为变量和函数的研究提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心所在，已经成为解决数学问题的重要工具和手段。随着新课程标准的改革与发展，导数在数学教学领域中占据的位置越来越重要，导数的方法已经成为深入研究微积分的直接工具，对学生其他学科的学习以及教师对各个领域知识的研究都具有积极的促进作用，在当今我国的生产和生活中已经得到了广泛的应用。导数概念和几何意义的学习为导数的应用和微积分的学习奠定了坚实的基础，对知识具有过渡作用。学习导数的过程中，学生要了解导数的实际背景和概念，懂得如何应用导数的概念进行求导，并能够解释导数的实际意义。

二、导数的起源

导数是在“极限”和“连续”的概念与应用下提出来的。导数来源于两个问题的研究，分别是曲线的切线问题和函数极大值与极小值的求法问题。数学家费马是最早进行研究这两个问题的，他为导数概念的提出提供了与现代形式最接近的启示，而最终将这两个问题完全解决的是牛顿和莱布尼兹。

17世纪欧洲的经济迅速发展起来，需要较高的科学技术作为支撑，在这样的国际背景下，经过各国数学家和科学家的不断努力，微积分理论应运而生。在阿基米德等数学家提出的面积和体积计算方法的基础上，牛顿于1665年创立了微积分，莱布尼兹于1673年到1676年也发表了关于微积分思想的著作，将微分和积分这两种运算结合在一起，进行全方面的研究。

三、导数的定义和概念理解

1.导数的定义

导数是微积分中一个比较重要的基本概念。导数的定义分为第一定义和第二定义。导数的第一定义：设函数 y = f(x) 在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有增量x (x0+x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 ∆y = (x0+ x) - f(x0) ，如果 y与 ∆x 之比当 x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0处可导，并称这个极限值为函数 ，在点 x0处的导数记为 ,即导数第一定义。导数的第二定义：设函数 在点 x0的某个邻域内有定义,当自变量x 在 x0处变化 ∆x ( x - x0也在该邻域内 ) 时相应地函数变化y = f(x) - f(x0) , 当 x→0,如果 ∆y 与 ∆x 之比时极限存在,则称函数 在点 x0处可导,并称这个极限值为函数 在点 x0处的导数记为 ,即导数第二定义。

2.对导数概念的理解

对导数概念的应用并不仅仅局限在瞬时速度、切线的斜率，任何事物的变化率包括增长率、效率、密度以及膨胀率都可以用导数这一概念来进行描述。

3.导数的实质

因为∆y 与 ∆x 之比是函数的自变量x由x0变到x0+ ∆x时的平均变化率，所以导数的实质是函数在点x0的变化率。

四、导数的几何意义与应用

1.导数的几何意义

函数y=f（x）在x=0处的导数的几何意义是曲线在x0处的切线斜率。而曲线在某一点处切线是这样定义的：设曲线C是函数的图象，在该曲线上任取一点P（x0,y0）和与点P相邻的一点Q（x0+ ∆x，y0+∆y），经过P、Q两点作图象的割线，当点Q沿着曲线无限接近于P时，也就是∆x趋近于零时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么则称直线PT为该曲线在点P处的切线。导数的几何意义使导数概念更加直观、形象和生动，将导数的概念转化为几何模型，是将导数作为数学工具并加以运用的一条重要途径。

学习将导数的几何意义应用到实际生活和生产中时，需要特别注意的是：函数在x0处的切线与函数过点的切线是不一样的，在x0处的切线斜率k的大小是，而过点的切线却不一定是。

2.导数几何意义应用

导数的几何意义在各个领域都得到了广泛的应用，尤其是在物理领域，大家都知道物理与数学这两个学科是相辅相成，相互支撑的。导数与物理几何代数的关系非常密切，导数的几何意义常用来求物理中的瞬时速度。这里我们举个例子来说明导数的几何意义是如何在物理中得到一个用的。汽车在5个小时内行驶了300千米，则我们可以求出该辆汽车的平均速度是60千米/小时，但汽车在行驶的过程中，其速度的快慢变化并不是一直保持在60千米/小时。为了更好地反映汽车在行驶过程中速度的变化情况，我们可以利用导数的几何意义将汽车的行驶时间无限缩小。设汽车所在位置s与时间t的关系为，那么，汽车在由t0时刻到t1时刻的这一段时间内的平均速度就可以用[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]来表示，当 t1与t0无限趋近于零时，汽车行驶的速度变化就可以近似看作瞬时速度，约等于平均速度。

这里把当t1→t0时的极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度的物理过程等实际上就是将导数的几何意义应用到物理中平均速度类比到瞬时速度的过程。

五、结论

导数的概念和几何意义以及倒数的应用无论是在生活、学习还是生产中都占有非常重要的地位，在学习过程中要了解并掌握导数的概念和几何意义，并将其灵活应用到实际生活中去，从而促进各领域的发展与进步。

[1]徐 波.高中新课程“导数的概念”教学分析[J].中国数学教育:高中版，2011

[2]肖燕清.导数的概念及其应用[J].教育教学论坛，2012

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0079

地解释清楚，理解透彻是对数学教师教学水平的巨大挑战，导数的学习对学生数学的发展具有极大的促进作用。本文对导数概念的起源、导数的定义与概念、导数的几何意义和应用以及导数的实质进行了详细介绍，并对导数的概念和几何意义进行了初步探究。