超颖材料在无线电能传输中的应用方法

姚 辰 马殿光 唐厚君，2 张颖异 蔡位焜

(1.上海交通大学电气工程系 上海 200240 2.国家能源智能电网(上海)研发中心 上海 200240)



超颖材料在无线电能传输中的应用方法

姚 辰1马殿光1唐厚君1，2张颖异1蔡位焜1

(1.上海交通大学电气工程系 上海 200240 2.国家能源智能电网(上海)研发中心 上海 200240)

系统地阐述了超颖材料在无线电能传输中应用时所涉及到的部分理论与设计方法。从不同的出发点解释了超颖材料改善无线电能传输性能的作用机理，分别介绍了超颖材料的负折射效应，磁偶极子耦合模型和电磁坐标变换理论。此外，为说明如何实现超颖材料所需的电磁本构参数，还介绍了两种超颖材料的设计方法：原理模型法和S参数反演提取法。原理模型法推导得到简单形状的超颖材料人工介质微结构单元的电磁参数，对获取电磁参数具有一定的启发意义；而实际设计中通常采用S参数反演提取法，通过有限元仿真及反演公式得到结构更复杂的人工介质微结构单元的电磁参数。

超颖材料 无线电能传输 互感增强 电磁坐标变换

0 引言

无线电能传输(Wireless Power Transfer，WPT)技术可从耦合类型、线圈供电方式和谐振方式3方面进行分类。耦合类型分为磁场耦合、电场耦合、机械波耦合。线圈供电方式分为直接供电、间接供电。谐振方式分为自谐振、外部元件辅助谐振。MIT的著名实验[1-3]中采用的四线圈方案就是一种磁场耦合、间接供电、线圈自谐振类型的WPT系统。研究最多的感应式WPT，通常称IPT (Inductive Power Transfer)[4-6]，是一种磁场耦合、直接供电、外部电容辅助谐振的WPT系统。采用极板传输能量的CPT(Capacitively Power Transfer)[7-9]，是一种电场耦合、直接供电、外部电感辅助谐振的WPT系统。特殊条件下采用压电变送体产生机械波传输能量的APT(Acoustic Power Transfer)[10-12]，是一种机械波耦合、直接供电、自谐振的WPT系统。以上这些WPT技术各有优劣，但它们都利用某种物质作为介质，能量通过场耦合的方式进行传播。除了利用机械波耦合的APT之外，其余3种WPT技术都是通过电磁场耦合。

为了增强WPT发送端和接收端之间的耦合程度，场源优化与接收器优化是一种直接的途径。对于磁场耦合的WPT系统，场源优化就是优化发送线圈，接收器优化就是优化接收线圈[13，14]。但对于利用电场耦合或机械波耦合的WPT系统，尚无明确的场源优化和接收器优化的方法。

另外一个途径是改变WPT耦合场中部分介质的电磁本构参数，通过介质的特性来改变整个区域内的电、磁能量分布，从而增强WPT发送端和接收端之间的耦合程度，改善WPT的功能和效能。这种方法同时适用于磁场耦合或电场耦合的WPT系统。事实上，对于机械波场，也有利用人工构造的介质改变机械波传播特性的报道[15]。这类通过人工构造的非自然介质，可以统称为超颖材料(Metamaterials，MTM)，也就是说利用MTM改善WPT系统传输特性的技术是可以适用于经磁场、电场或机械波场耦合的各类WPT系统。由于目前主流的WPT技术都是利用磁场进行耦合，所以本文重点介绍利用MTM改变磁场分布的技术及人工电磁介质设计。

MTM在WPT中的应用方法，即本文的叙述结构如图1所示。

图1 本文的叙述结构

首先，研究介质的电磁等效本构参数(即等效介电常数与等效磁导率)，以改善电磁场或电磁波分布的理论方法主要有负折射效应、磁偶极子耦合模型和电磁坐标变换理论等。实现MTM最初的标志性成果是J.B.Pendry等[16，17]和D.R.Smith等[18]用周期性排列的细金属棒和金属谐振环制成了在微波波段具有负介电常数、负磁导率及双负参数的人工介质，并提出由负折射率的左手材料介质可以实现“完美透镜”[19]以及D.R.Smith等[20]的“棱镜实验”验证，随之而来的是在微波、可见光等频段的大量研究与实验。相应地，从2010年开始研究人员将MTM应用在WPT领域时，也提出了类似“完美透镜”的“近场超透镜”[21]及“磁超透镜”[22]概念以解释MTM的作用机理。与此同时，相关的实验验证也被陆续发表[23-28]。

在这些研究中，有基于MTM的负折射率的特性来解释耦合增强的机理，即利用光路相消的直观原理来增加WPT的传输距离，还有分析磁偶极子受超颖材料介质影响而增强耦合程度的机理的方法[21]，但仅适用于平板形状的MTM。此外，如果直接采用基于Maxwell方程组形式不变性[29]的坐标变换理论(也称变换光学理论)，可适用于从直流到任意高频段的电磁波或电磁场[30-33]，且理论上可以设计任意形状的MTM。坐标变换理论通常采用直角坐标、圆柱坐标和球坐标3种经典的正交坐标系，若利用坐标系的度量因子，也可得出基于同一个一般正交曲线坐标系下变换的普遍方法[34]。利用电磁坐标变换对目标磁场进行聚焦，可以增强WPT发送端与接收端之间的耦合系数k， 甚至可以增强一、二次侧线圈的等效Q值，从而大大提高WPT系统的效率，或等效地增加WPT系统的传输距离[31，35]。除了坐标变换之外，还可以采用保角变换方法设计介质[36]，该方法是电磁坐标变换方法的一种，同样也满足全频段适用性，它的优势在于变换后介质的电磁本构张量矩阵的形式比较简单。经过坐标变换后得到所需的介质通常都是非均匀各向异性的，而且等效本构参数张量矩阵的主元可能会是负数，有时非主元项也是非零项，这些情况对工程实际中MTM介质的实现构成了极大的挑战。因此，采用分层方法[37-39]将各向同性的均匀介质或者是简单的各向异性介质进行组合得到等价的复杂各向异性的非均匀介质是一种可行的技术手段。通常可采用COMSOLMultiphysics等软件对含特殊本构参数的介质的WPT模型进行有限元仿真，以验证所设计的介质是否能够优化电磁场分布。

当通过前述方法得到了所需介质的等效本构参数后，就需要设计MTM实现相应的介质。MTM遵循等效介质理论：当构成MTM的基本谐振单元相互间的距离相对于通过的电磁波或电磁场的波长很短时，大量的单元可以呈现出整体的电磁效应，这种情况下可以定义等效介电常数和等效磁导率来描述电磁波或电磁场的总体运动情况[40]。设计MTM的方法分为两种：①等效电路模型分析法[41]，该方法只能用在极少数很有规律的人工结构中，且该方法很难准确地预测MTM的宏观等效参数；②全波电磁场仿真及S参数反演提取法[42-46]，因该方法无特殊限制而被普遍采用。全波电磁场仿真包括有限元法(FEM)、有限积分法(FIT)和时域有限差分法(FDTD)等，通常可以采用商业电磁仿真软件，如基于FEM的ANSOFT HFSS和基于FIT的CST Microwave Studio等。通过全波电磁场仿真能得到所设计MTM的S参数，再通过S参数反演提取，得到MTM的等效介电常数和等效磁导率。在线圈的自谐振频率点或经过补偿后的谐振频率点上，MTM的等效本构参数为所需要的参数时，就可以实现改善WPT电磁场分布的目的。

1 电磁超颖材料的等效电磁本构参数

介质的电磁本构参数(即介电常数ε、磁导率μ)决定了存在于其中的电磁场的特性。理论上，空间中介质的电磁本构参数是两个3×3的张量，它们与场强大小、场强方向、空间位置、电磁场频率均有关，即

σ=[σij(E,H,x,y,z,f)]3×3

(1)

式中：σ=ε、μ；i,j=1,2,3。

研究传统电磁场问题时，通常先考虑线性、均匀、各向同性和非色散的简单介质，则σ简化为常数，同时还限定为一个正常数。电磁超颖材料概念将介质的σ从一个正常数扩展为一个张量，且张量矩阵的元素可以是任意复数。

自然界中存在的介质通常由其原子或分子结构决定其σ。 如果要获得特殊的σ值，比如负的介电常数、磁导率，就需要人工制作一些物理尺寸远小于工作波长的微结构，并按周期性规律排列后，就能在某些工作频段下得到所需的等效σ。

以获取等效磁导率为例，人工介质的周期性微结构单元(以下简称介质微元)可以在直角坐标下的立方体内实现，如图2所示。

根据电磁本构关系，定义等效磁导率

(2)

式中定义3个坐标轴轴向方向的平均磁场强度为

(3)

平均磁通密度为

(4)

图2 介质微元的示意图

2 改善WPT电磁场分布的理论依据

目前主要有3种理论用以解释MTM改善WPT电磁场分布的机理，包括左手材料的负折射效应理论、MTM增强磁偶极子耦合的模型理论以及电磁坐标变换理论。

2.1 左手材料的负折射效应理论

假设介质是简单介质(即电磁本构参数为常数)，对于特定的单一频率为ω的平面电磁波，根据Maxwell方程得到波矢k、 电场强度E和磁场强度H的关系

(5)

若ε、μ为正常数，则从式(5)的第3和第4个公式可以看出，k、E、H构成右手系，如图3a所示。若ε、μ为负常数，那么k、E、H构成左手系，如图3b所示。

图3 介质中电磁波手性关系

根据电磁学中折射率与相对介电常数、相对磁导率的关系为

n2=μrεr

(6)

(7)

式中：θi为电磁波从介质1进入到介质2的入射角；θt为电磁波在介质2中的折射角；n为介质的折射系数；p为介质的手性系数。

当介质中的电磁波k、E、H构成右手系时p=1， 构成左手系时p=-1。 根据式(7)，当电磁波经过两个手性系数相反的介质界面时，会发生负折射现象，如图4所示。

图4 电磁波在两种介质表面发生折射

图5 负折射效应增强WPT耦合的示意图

将MTM介质的这种特性应用到磁场耦合的WPT中，可以将发射线圈视为一个点光源。放入负磁导率的介质2后，理论上点光源A经过两次负折射，相当于发生了光路相消的过程后，等效移至B点，如图5所示。图5中，D1为不加入介质2时的传输距离，D2为加入介质2后的有效传输距离，D3为加入介质2后一、二次侧线圈的实际距离。介质2中的虚线线圈表示不放置介质2时，同样耦合系数情况下接收线圈的假想位置；B点处的虚线线圈表示放置介质2后发射线圈的等效作用位置。可见，根据负折射效应，加入介质2可以使一、二次侧线圈的等效距离从D3缩短为D1， 实际传输距离从D1增加为D2， 也可以理解为增强了线圈间的耦合。

2.2MTM增强磁偶极子耦合的模型理论

从磁场耦合的WPT模型很容易联想到两个磁偶极子间的耦合模型。两个磁偶极子之间放置一个均匀的平板介质是一个经典问题，如图6所示，介质将会影响磁偶极子间的互感以及偶极子本身的自感。如果介质由MTM组成，具有特殊的电磁本构参数张量，那么理论上可以设计该MTM，使得两个分开的磁偶极子达到完全耦合。

图6 均匀各向异性超颖材料放置在两磁偶极子间

假设MTM介质的电磁本构参数张量在直角坐标系下是单轴的，即

σ=diag(σx,σy≡σx,σy),σ=ε、μ

(8)

给出TE极化的情况(TM极化的情况与之对偶)。定义MTM介质的电磁本构参数各向异性比为

(9)

MTM介质的其他常量有

(10)

(11)

(12)

(13)

式中μv为磁偶极子所在区域的均匀介质的相对磁导率。

文献[21]详细推导出了无MTM介质和有MTM介质情况下两磁偶极子间的互感，分别为

(14)

(15)

式中：A1,2为两磁偶极子的面积；d为偶极子间的距离,d=D+d1+d2；uTE=(αTED+d1+d2)/(2αTED)；特殊函数ΦL定义为

(16)

2.3 电磁坐标变换理论

上述两种理论中的MTM都是以平板形式出现。如果采用电磁坐标变换理论，则可以设计更多形态的MTM以实现对电磁场的“特定”控制，而且该理论对从直流到任意高频的电磁场均适用。

电磁坐标变换理论的基础是Maxwell方程的形式不变性。就是Maxwell方程在任意坐标系下都成立且有相同形式的表达式，只是方程中的电磁本构参数ε、μ及保守场量(电场强度E、 磁场强度H等)的表达式要根据坐标系所决定的系数进行调整。例如，如果变换前的坐标系为C1(u1,v1,w1)， 变换后的坐标系为C2(u2,v2,w2)， 两者满足下述关系

u2=u(u1,v1,w1)

v2=v(u1,v1,w1)

w2=w(u1,v1,w1)

(17)

变换后的坐标系下的各参量满足

(18)

(19)

式中

(20)

以图7所示的一种可用于WPT的磁聚焦器为例，在球坐标系下，利用电磁坐标变换将空气介质(εr=μr=1)的虚拟空间区域(r，θ，φ)映射到MTM介质的球壳空间区域(r′，θ′，φ′)， 两个区域在空间上满足映射关系

r′=(rcosθ-d)t/T+Rθ′=θφ′=φ

(21)

图7 根据坐标变化设计的可用于WPT的磁聚焦器

根据式(18)、式(20)得到

(22)

式中：a=(r′-R)T/(tr′cosθ′)+d/(r′cosθ′)；b=t/T。

根据式(22)的本构参数，采用COMSOL仿真，结果如图8所示。很明显，MTM介质使得整个区域的磁场分布发生了有利于增强线圈间耦合的变化。

图8 磁场强度分布对比

3 超颖材料的设计

3.1 原理模型法

对于一些形状规则的人工介质微元[17，48，49]，可根据原理定义式(2)解析地求出等效电磁本构参数。例如，对于如图9所示的开口谐振环(Split Ring Resonator，SRR)结构，首先从如图10所示的无穷长导电圆柱体阵列开始分析[50]，得到

(23)

式中：σ为单位圆周面积上的电阻率；μeff的虚部指代损耗。

图9 开口谐振环结构阵列

图10 无穷长导电圆柱体阵列

根据式(23)可见，如果导电圆柱体的电阻率σ无穷小或者频率ω无穷大时，等效磁导率随着圆柱体单元结构与介质微元的体积占比F=πr2/a2的增大而减小，这个体积占比因素很重要。如果σ很大，表示损耗的虚部存在。为了增加等效电磁本构参数的范围，考虑在介质微元中引入电容元素，起到谐振效果，就得到开口谐振环柱，如图11所示。得到

(24)

式中C为开口谐振环柱之间单位面积的电容。

(25)

图11 开口谐振环柱

根据式(24)，就可得到谐振形式单元的等效磁导率随频率变化的曲线，如图12所示。

图12 谐振形式单元的等效磁导率随频率变化的曲线

其中有两个关键频率点：谐振频率ω0与磁等离子频率ωmp，当工作频率在这两个频率之间时，就能产生负磁导率。但由于以上分析的是无穷长的结构，因此只在轴向产生负磁导率效应，在其他方向上不会有这种效应。设计成有限尺寸的开口谐振环(SRR)结构阵列，如图9所示。

假设r≥c，r≥d，lπ， 则此时SRR结构中单位长度的两个金属条之间的电容为

(26)

轴向等效磁导率为

(27)

将这种SRR结构组成如图2所示的晶格单元，可以在直角坐标系的各个方向上得到所需的等效磁导率。

此外，如果设计成“瑞士卷”结构(如图13所示)等效磁导率有类似的形式，即

(28)

式中

(29)

图13 “瑞士卷”结构

3.2 全波电磁场仿真及S参数反演提取法

采用电磁有限元仿真求解MTM的S参数，并通过公式提取出等效电磁本构参数，能适应复杂的微元结构设计。应用在WPT中的MTM的单元建模、电磁计算和参数提取与经典MTM的仿真一致。MTM一般由周期性结构单元构成。对于这种周期性结构的人工介质，常常采用波导传输法和Floquet端口法进行仿真。

1)波导传输法

该方法比较适合MTM在电磁波传输方向上仅有有限个周期性单元的情况。其仿真模型主要由两个波导端口(Waveguide Port)、理想磁边界(PMC)、理想电边界(PEC)以及有限数量的MTM微元结构组成。波导传输法主要通过对两个波端口分别施加TEM波的激励来直接计算含有相位和幅度信息的传输参数S21和反射参数S11，从而计算MTM等效的电磁本构参数。通过对仿真模型在一定范围内的扫频计算，可以得到端口参数S11和S21。这两个S参数表征了端口的透射功率和反射功率，与折射率n、 波阻抗z的关系为

(30)

(31)

式中：k0为自由空间的波数；d为介质的等效厚度。

2)Floquet端口法

该方法主要基于Floquet-Bloch理论，是目前仿真各项异性MTM更为流行的方法。相比于波导传输法，Floquet端口模型通过设置主从边界(Master/SlaveBoundary)可以模拟二维无限延伸的周期性排列结构，并通过设置入射端口的参数调整电磁波的入射方向，从而实现不同角度斜射下MTM的仿真模拟。类似地，散射参数S11和S21可在Floquet端口处计算得到。

MTM等效参数的提取一般采用S参数反演法，即通过S11和S21推算等效磁导率和等效介电常数。在S参数反演法中，将MTM结构单元视为等效介质。入射平面波波矢平行于等效介质，磁场分量垂直入射介质周期性单元，系统端口的S参数可等效地写成式(30)和式(31)，或以欧拉形式写成[51]

(32)

(33)

式中m为分支系数，是由正弦函数的周期性造成的。考虑到MTM是无源的，同时单元结构的尺寸远小于1/10个波长，可以令m=0简化计算[42，52]。再由折射率和波阻抗计算出等效介电常数和等效磁导率

(34)

4 结论

将MTM应用于WPT是一个崭新的研究领域，国内在这方面的研究刚刚起步[35，53-57]。理论上，只要MTM对WPT耦合程度的提升效应大于MTM本身的损耗，MTM技术就可以在任何已有的WPT应用场合[58]中发挥锦上添花的作用。该技术能令较小的发射线圈覆盖较大的充电范围，可应用在无线充电桌面、墙面；能令较小的接收线圈接收更大区域内的磁通，可应用在任何接收端装置中；利用变换光学方法任意改变磁场分布，可应用在需要定向发射的WPT场合；此外，MTM技术不仅适用于磁场，也同样适用于电场与机械波，这也将极大扩展WPT的应用范围。

目前该技术存在的主要问题是MTM本身存在损耗，影响能量传输的效率，同时，目前能设计制作的MTM通常只能承载较小的功率传输。已有学者开始研究采用超导技术制作MTM材料来解决上述问题[59]。MTM的可调节性也是一个问题及未来的研究方向，如果频率及各项异性等特性可调节，那么MTM将可被应用到更复杂的应用场合[60]。

MTM技术本质上是通过改变一部分介质的参数而改变耦合场的分布，人为的设计使得耦合场能符合应用的需求。从电磁坐标变换理论的分析可以看出，MTM对耦合场分布的改善可以是任意的，比改变线圈结构及添加磁心等方法更具有灵活性。MTM技术可以将WPT技术发展的想象力提升到新的高度。

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Application Methods of Metamaterials in Wireless Power Transfer

YaoChen1MaDianguang1TangHoujun1,2ZhangYingyi1CaiWeikun1

(1.Department of Electrial Engineering Shanghai Jiao Tong University Shanghai 200240 China 2.State Energy Smart Grid R&D Center (Shanghai) Shanghai 200240 China)

The design methods and most related theories of metamaterials applied in wireless power transfer are elaborated.Three important theories，i.e.the negative refraction effect，the coupling model of magnetic dipoles，and the coordinates transformation theory，are introduced to explain the mechanism of improving the performance of wireless power transfer by metamaterials.In addition，two design methods，including the principle model method and the S-parameters retrieval method，are presented to illustrate the realization of specific electromagnetic constitutive parameters.The principle model method is theoretically derived for simple micro-structures，which has some inspiration significance for acquiring the electromagnetic parameters.And S-parameters retrieval method is more suitable for practical designs and complicated metamaterial micro-structures with the help of finite element simulation and retrieval equations.

Metamaterials，wireless power transfer，mutual inductance enhancement，electromagnetic coordinates transformation

国家自然科学基金(51277120)资助项目。

2015-03-25 改稿日期2015-05-28

TM15；TM25

姚 辰 男，1988年生，博士研究生，研究方向无线电能传输。(通信作者)

马殿光 男，1962年生，副教授，研究方向为无线电能传输。