在大学数学教学中寻找认知的固着点：目标、路径和成效

朱长江++徐章韬

摘 要：根据数学的本性，辨证认识数学的抽象性，理清数学发生发展过程中认识视角的变迁，注重领悟数学思想的实质，采用问题驱动的模式展开教学，有利于为学生寻找认知的固着点，符合学生的认知规律，有助于学生认知结构的构建和认知方式的优化。这还是一个多赢的举措，有助于名师的成长、课程群的建设和人才的培养。

关键词：认知的固着点；认知结构；认知方式；人才培养

在大学数学教育中也要加强教学研究。人们常说，数学是思维的体操，能进数学系学习的人都是聪明人。可是这种论断正在不断地被现实无情地粉碎。当数学系的学生学到“实变函数”、“拓扑学”和“泛函分析”等比较现代、抽象的学科时，数学像一把筛子，把越来越多的同学“过滤”掉了；须知这些学生都是对数学很有兴趣，有一定数学功底的学生。由于数学的逐级抽象性，由于现代数学和近代数学的巨大分野，这些原本是数学“粉丝”的同学掉队落伍，让人心痛。在大学数学中加强数学研究大有可为，如通过偏微分方程中一个实例的教学研究[1]，可取得良好的教学效果。为了提高大学数学的教学效果，需要有理念、有目标、有方法、有步骤地开展教学研究活动。也有文献表明以偏微分方程为切入口，进行实践，能取得一定的效果[2-4]。本研究以上述工作为基础，探索如何在大学数学教学中寻找认知的固着点，促进学生认知结构的构建和认知方式的优化，为人才培养做出贡献。

一、目标：为学生搭建良好的认知结构和认知方式

大学之道不唯在传授知识，更在于塑造学生良好的认知结构。按美国心理学家奥苏伯尔的观点，“智”是由学生的认知结构构成的。智育的目标就是塑造学生的良好认知结构。良好的认知结构在纵向上自上而下逐渐分化，在横向上融会贯通[5]。认知结构由知识结构内化而来，要形成良好的认知结构，首要的是理解大学数学的课程知识结构。大学数学中，纯数学的主干课程大致可以分为分析类、代数类和几何类等三大类课程[6]。同一类课程的思维方式，基本上是类似的。以分析类课程为例，无不以“数学分析”为基础。如，“复变函数”是“数学分析”在实数域上的推广，“实变函数”是在研究病态函数的过程中逐步精致化而形成的，是对“数学分析”思想和方法的提炼和总结而成。不同类课程的思维方式可以相互融合，如，作为现代数学入门基础的“泛函分析”把古典分析、几何、代数融为一体，研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论。弄清楚大学数学的课程知识结构之后，就为寻找认知的固定点打下了良好的基础。

大学数学教学更要讲究研究型教学，帮学生形成良好的认知方式。研究和教学是两种旨趣不同的活动。研究的目标指向未知领域，旨在扩展人们对未知领域的认识，最好能达到控制、改变未知世界的程度。研究由于目标不明，在无路可走的荆棘处开辟一条前人没有走过的路，是相当困难的。教学的目标之一是传承前人的知识和经验，这是一种有着明确目的的教学行为。由于传授的内容是已知的，故被一般人认为教学不如研究重要，不值得花大力研究。当我们把学生的头脑当作有待填充的箱子时，发现填得越多，学生的头脑越是转不动了。因此，对教学要转变认识。教学的目的之一是在传承前人的知识和经验的过程中，把前人的研究经验、心得以“演义”的方式传递后人，为学生塑造良好的认知方式。大学生不是知识的消费者，而应当成为知识的开拓者。因此，教学的过程应当是尽量拟合真实的研究过程，让大学生获得做研究的一般活动经验，最终学会做研究。虽然学会做研究这样的目标要求是高了，不可能每个人都成为数学家，会做研究，但“取法乎上，得法其中”，如果没有一个较高的目标，最后的结果可能更低。这正如高尔基所说：一个人的追求越高，他的才力发展得越快。目标具有激励、定向、指导和调控作用，能最大限度地推动学生主动地进行研究性学习，从而不断革新认知方式。

人的认知结构不是一个封闭的系统，是一个不断发展的系统。在良好的认知方式的推动下，大学生最终能学会不断地建构自己的认知结构，优化自己的认知结构，这就是俗语所说的“授人以鱼，不如授人以渔”。

二、路径：依据数学的特点而定

如何寻找认知的固着点，涉及“如何”的问题，这是一个技术理论的问题，这就需要既讲技术性的问题，又要从理论层面进行阐述。如何寻找认知的固着点，要依据数学的特点，然后采取适当的举措。

对于浅一点的内容而言，教师加强教学技能方面的修养，可能更有助于提高教学效果，但对于内容难度越来越高的学科来说，可能更要注重在吃透学科本质的基础上产生对教育教学上的见解，依据学科的本性特征进行教学。学科教学知识的结构模型通常认为，教师的学科知识本身不是第一位的，它不具有教学法功能，第一位的是教师对内容的处理、对教学内容的合理组织，以及教师与学生之间相互关系的合理把握。这种认识可能适合内容难度不深的学段的教学，适合于常规课堂的教学，但不一定适合研究性教学。面向教学的数学知识认为，学科知识本身具有教学法的维度，吃透学科知识，也能产生教育教学上的见解[7]。

辨证认识数学的抽象性。前苏联A.D.亚历山大洛夫的名著《数学：它的内容、方法和意义》指出数学具有抽象性、精确性和应用的广泛性，这些观点已广为人们接受。对抽象性而言，任何科学都具有抽象性，不仅仅是数学才具有抽象性，而是数学有高度的抽象性，而且这种抽象性具逐级抽象的特点。任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的对象作为基础，或者以一些具体的抽象概念为基础。这其中饱含教学法，在教概念时，一定要找到概念形成或概念赖以栖居的表象，换言之，具有心理运算能力，能把抽象的概念看成是较不抽象的概念，这就为抽象概念找到了认知的固着点。例如，在“实变函数”的开篇之初有一个集列的上极限、下极限的概念，学生对这个概念很难理解，同时这个概念也是“实变函数”不可回避的基本概念。要理解这个抽象概念，就要把这个抽象概念固着在一个较不抽象的概念上，可以把集合列的上、下极限看成或想象成数列的上、下极限，把数列的上、下极限的内涵、定义方式弄清楚了，将有助于集合列的上、下极限的理解。这就是充分利用数学逐级抽象的特点，利用数学的概念的相对抽象性来进行概念的认知理解。

理清数学发生发展过程中认识视角的变迁。数学的发展从来都不是一帆风顺的，数学史上的三次数学危机就是这些状况的生动写照。历史沉淀在时间的长河里了，当后人钩古沉思时，往往对一些奇闻轶事感兴趣，而其中引起观念变迁的认识视角的变化却没有引起足够的重视。例如，把欧氏几何拉下神坛的非欧几何，其根本出发点就与欧几里得几何迥然不同。欧几里得说，过直线外一点只能作一条平行线；俄国数学家罗巴切夫斯基却说，过直线外一点能作多条平行线。当这种观点面世时，并没有给罗巴切夫斯基带来学术上的荣誉，而是各种打击。就连有“数学王子”之称的德国数学家高斯，虽然认识到认识视角的变化，对几何学变革的重要意义，但囿于传统的压力，高斯秘而不宣。这种由于认识视角的变化而引起数学发生革命性变化的例子，比比皆是，如从局部微分几何到整体微分几何的嬗变。对具体概念的学习，也要注意概念在发展过程中认识视角的变化。如，极限是数学中最重要一个基本概念，可以极端一点说，没有极限就没有微积分，就没有现代数学。还是以上、下极限为例，数列极限有鲜明的几何意义，是从距离逼近的角度定义用一列变动的数来刻画一个未知的常数；但是到了上、下极限，认识视角就发生了很大的变化，是从集合论的角度定义上、下极限的。这种做法的好处是既保留了距离逼近视角的一些好的性质，同时又舍弃了基于实数直线的几何结构，便于极限概念的进一步推广。这就是定义集合列上、下极限的切入点。

注重领悟数学思想的实质，用多元表征揭示数学理论的实质。数学思想并非数学理论，两者是有区别的，我们所说的思想是指数学的科学思维方法，这种思维方法也许并不一定需要通过抽象的理论来表达[8]。同一种数学思想可以用不同的数学语言、不同的数学理论来表达，不同的学生可以有不同的选择。这就是多元表征理论的观点，多元表征理论的实质就是对信息进行多角度、多视角的解释，使学生建立新旧知识固着点的同时，便于调用原有认知结构中的信息使其对新信息进行加工从而建构知识。这特别适合于抽象理论的教学。如，从子列收敛的角度而言，数列的上极限是它一切收敛子列的极限值所成的集合中之最大值；从聚点的角度而言，数列的上极限是其最大的聚点；从确界的角度而言，数列的上极限是一个用上确界定义的递减数列的下确界。集合的上、下极限也可以从类似角度用不同的等价语言来描述。虽然符号化、形式化是数学的重要特点之一，但生动活泼思想不能湮没在形式主义的海洋里。林群院士指出，要剥开形式化的外衣，找出“微元”[9]。其实，上下极限的定义法充分体现了单调性这一核心概念在不同数学情境中的运用。明白了这点，也就是把握了上下极限的精髓所在。要把数学的本质教给学生，不要将数学弄得玄而又玄，要教会学生科学的思维方法，要让数学“原形毕露”，离生活、常识近一些，使大众也能看得见，想得出。数学也是讲道理的、平易近人的和常识性的[10]。用多元表征理论揭示数学理论的实质是从学习技术的层面落实“因材施教”的教学原则，也符合数学学科不断演进的特点。

采用问题驱动的模式展开教学。美国数学家哈尔莫斯曾说，问题是数学的心脏。数学的特点是有一套提出问题和解决问题的方法，问题解决之后，得到的结果便沉下来，便走进了教科书。因此，数学教学也要以问题情境来驱动。情境认知理论认为，知识不是一件事情或一组表征，也不是事实或规则的集合，知识是一种基于问题的动态的建构与组织。知识是个体与问题情境交互作用过程中建构的一种交互状态，是一种协调一系列行为，以适应动态变化发展的问题情境的能力。基于情境认知理论，知识是根植于情境的，要创设一定情境来导入知识，而不把知识当结果来学习。大学数学知识虽离生活常识渐远，但也是根植于问题情境，这样的问题情境更是知识发生发展过程中的逻辑脉络情境。因此关键的是让学生提出好的问题，然后，让学生尝试着从不同角度解决问题。这时的教学方式可以是启发性的讲授法，也可以是导引性的研究性学习。曾有很好的启发性讲授法的例子[11]和导引性研究性学习的例子，这两种教学法都取得了很好的效果。还是以上、下极限为例，那么驱动上、下极限这个概念产生的问题是什么呢？当数列收敛时，用极限这个常数就可以控制整个数列，这是多么经济的思想。然而，当数列发散时，如何控制一个数列呢？融合函数最值的思想，上、下极限的概念呼之欲出。“问题——方法——结果”是数学发展的主线，这样的内在逻辑必然要表现在教学上，那才是真正的教学，才体现了教学的价值，教学是为了后人能更好地研究开创新天地。

三、成效：多赢

由于坚持依据数学的本性进行教学，符合了学生的认知结构和认知方式发展的规律，取得了多方面的成效。打造了名师引领的教学团队[12]。本文第一作者就是2013“湖北名师”，所在团队拥有数位科研水平、教学技艺精湛的教师。二是以精品课程资源建设为抓手，推动课程群的建设，探索了课程体系改革的新路。国家级精品课程资源在“爱课程网”已成功运行，网上反响很好。以此为突破口，把内在联系紧密，内在逻辑性强、属于同一个培养能力范畴的同一类课程集结在一起，打破了传统课程内容的归属性，构建了有利于发挥课程内容教学价值和效应的课程群。三是人才培养质量显著。参与课堂的本科生的学习积极性和科研水平得到了很大的提高。

参考文献：

[1]朱长江.偏微分方程课程研究型教学的一个实例剖析[J].数学教育学报，2014（1）：63-64.

[2]朱长江，阮立志.关于“偏微分方程”国家精品课程建设的几点体会[J].数学教育学报，2011（4）：84-86.

[3] 朱长江，蒋咪娜 ，阮立志.“偏微分方程”研究型教学的理论与实践[J]. 数学教育学报，2012（2）：53-55.

[4] 朱长江，阮立志.“偏微分方程”国家精品课程的建设与推广[J].中国大学教学，2012（8）：46-48.

[5]皮连生.学与教的心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

[6]徐章韬，何穗，朱长江.基于课程群的“数学史”精品课程资源建设[J].中国大学教学，2013（12）：55-57.

[7]徐章韬.面向教学的数学知识[M].北京：科学出版社，2013.

[8]曹广福，叶瑞芬.例论非数学专业学生同样需要数学思想[J].数学教育学报，2009（3）：1-3.

[9]林群.数学教育面临的新形势[J].中国科学院院刊，2001，（3）：207-208.

[10]林群.让数学原形毕露——与初学者共商[J].数学的实践与认识，1996（4）：97-98.

[11]匡继昌.如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J].数学教育学报数学教育学报，2013（6）：74-78.

[12]朱长江，刘敏思，何穗.以“名师工程”为主导大力提升人才培养质量[J].中国高等教育，2012（18）：47-48.

[基金项目：2012年湖北省本科高校“专业综合改革试点”项目数学与应用数学（师范）专业综合改革；2013年湖北省教学改革项目“师范生拔尖创新型人才培养的理论与实践”]

[责任编辑：周 杨]