一类余弦函数的倍周期分支问题

王军平

摘 要：倍周期分支过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式。在倍周期分支到达混沌现象的过程中，会依次经过周期1，周期2，周期4，……，混沌单吸引子和混沌双吸引子。该文根据倍周期分支判别法论证了一类余弦函数迭代映射后发生倍周期分支的充分条件，并对分支走向混沌的过程进行了探讨。

关键字：余弦函数 倍周期分支 混沌

中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（c）-0188-01

从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程，但当迭代次数很大，即当n→∞时，演化会导致一个确定的终态。终态可取无穷多种值，对初值极为敏感，成为不可预测，开始出现混沌现象。在此前终态都是周期的、可预测的，并与初值无关。

混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌运动的动力学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象中非常有用，但是，由于混沌系统所固有的系统输出对状态初值的敏感性以及混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性，使得混沌控制理论的研究更具有挑战性。

这里我们主要考虑一类关于余弦函数迭代映射的模型

（1）

的倍周期分支问题，其中，均为参数。首先作变换，则可有：。（2）

1 倍周期分支

倍周期分支是指在某个特定的参数值的一侧有稳定的不动点，但当参数经过这个特定的参数值变化到另一侧时，稳定的不动点变成不稳定的，并同时产生了周期2轨道。在给出我们的倍周期分支结果之前，我们先给出关于倍周期分支存在的判别法：

引理：[1]设是充分光滑的函数，记，如果下列条件成立：（1）；（2）；

（3）；

（4）；那么在处发生倍周期分支。更为详细的是，在附近存在一个不动的曲线，在一边是稳定的不动点，而过了以后成为不稳定的不动点；并且存在一条光滑的曲线在点与直线相切，而是关于的函数的图像。当时，新生成的周期2轨道是稳定的，反之则是不稳定的。

引理给出了函数关于参数在特定参数值处发生倍周期分支的充分条件。下面讨论模型（1）也就是模型（2）关于参数发生倍周期分支的条件。

定理1：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。

证明：定义函数，则有

.当时，由于，从而，所以在区间上是严格单调递增函数。又对任意的，都有

所以存在唯一的，满足。于是对于每一个，都有唯一一个零点与之对应，且关于是连续的。这是因为对于任何，一定有。如果不然，则存在，也就有

。

于是我们根据倍周期分支引理，我们可以知道模型（2）在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。

若固定参数，，，不变，模型（2）对参数也会发生倍周期分支。

定理2：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。

证明：定义函数.

因为

所以存在，满足。定义一个关于k的函数.由于从而有，所以至少存在一个，使得，得出于是我们根据鞍-结点分支引理，我们可以知道模型在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。

2 结论

根据倍周期分支的判别法，该文分别给出了一类余弦函数迭代映射后关于参数和关于参数发生倍周期分支的充分条件，深刻讨论了一类简单的余弦函数发生倍周期分支的这种复杂动力学行为。而倍周期分支是典型的一条通过混沌道路的途径。这说明这类余弦函数经过迭代也必然会发生复杂的混沌动力学行为。混沌是非线性科学中十分活跃、应用前景极为广阔的领域。混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。它向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。这个看似简单但又充满神秘，激励人们不断地去探究。

参考文献

[1] Clark Robinson， Dynamical Systems： Stability， Symbolic Dynamics， and Chaos， CRC Press， Boca Raton， London New York， Washington， D.C.， 1998.

[2] 阮炯，黄振勋，蔡志杰.应用数学[M].北京：科学出版社，2000：1-60.endprint