超可解群的两个充分条件

谢凤艳，原冠秀

（1.安阳师范学院 人文管理学院，河南 安阳 455000；2.河南科技学院 数学科学学院，河南 新乡 453003）

本文所有群都是有限群，G是一个群，N⊲G表示N是G的正规子群.本文所有概念和符号都是标准的，未交待的符号和术语见参考文献[1-2].

H是群G的子群.H称为在G中可置换的[3]，如果对G的任意子群T，有HT=TH成立.H称为在G中s-置换的[4]，如果对于G的任意Sylow子群P都有HP=PH.近年来一些学者还提出了一些新的思想方法，出现了许多新的概念和研究方法.比如文献[5-8]引入了s-半置换、X-置换子群、X-半置换子群、X-s-半置换子群等概念.这些概念推广了正规子群、置换子群、s-置换子群等概念.这些新的思想方法和理论为群论研究注入了新的活力，并掀起了一股新的研究热潮[5-9].在此基础上，最近祝明等人引入了X-ss-半置换子群[10]的概念：X是G的非空子集，称G的子群H在G中X-ss-半置换的，如果H在G中有补充T，只要(p,|H|)=1就有H与T的每个Sylow p-子群是X-置换的.祝明等人举例说明X-ss-半置换子群比X-s-半置换子群广泛.X-ss-半置换子群这一更为广泛的概念为群论研究提供了又一新的思想方法和技术手段.本文利用准素数子群的X-ss-半置换性，给出超可解的两个充分条件.

1 预备知识

定义1.1[10]X是G的非空子集，称G的子群H在G中X-ss-半置换的，如果H在G中有补充T，只要(p,|H|)=1就有H与T的每个Sylow p-子群X-置换的.

为了方便，本文用Xss(H)表示所有满足定义1.1中T的集合.

引理1.2[10]假设H是G的子群，X是G的非空子集，N是G的正规子群.若H在G中X-ss-半置换的，则下列的断言成立.

（1）若H≤M≤G且X⊆M，则H在M中X-ss-半置换的.

（2）若N为p群或者(|H|,|N|)=1，则HN/N在G/N中XN/N-ss-半置换的.

（3）若T∈Xss(H)且 H≤NG(X)，则对任意的 g∈G有Tg∈Xss(H).

（4）若X⊆D⊆G，则H在G中D-ss-半置换的.

引理1.3[11]设ℑ是包含所有超可解群的一个饱和群系，N是G的正规子群且使得G/N∈ℑ.如果N循环，那么G∈ℑ.

2 主要结论及应用

定理2.1 设X是群G的可解正规子群.若G的任意Sylow子群的所有极大子群在G中X-ss-半置换的，则G为超可解群.

证明假设结论不成立，G为极小阶反例.通过下列断言完成定理证明.

（1）存在G的一个素因子 p使得Op(G)≠1.

假设对任意的 p ∈π(G)，Op(G)=1.则X=1.从而G的每个Sylow子群的极大子群在G中s-半置换的.由文献[5]的定理1知，G为超可解群.此矛盾说明（1）成立.

（2）设N是G的极小正规子群，则G N为超可解的且N是G的唯一极小正规子群.

由引理1.2（2）知，G/Op(G)满足定理的条件.由G的极小选择，G/Op(G)为超可解的.因为Op(G)可解，所以G为可解群.故N为初等交换群r群.从而r=p或者(r,p)=1.由引理1.2（2）知G N为超可解.因为超可解群系为饱和群系，所以N是G的唯一极小正规子群.

（3）最后的矛盾

由（2）知 ，N⊄Φ(G).从 而 存 在 G一个极大子群 M使 得 G=[N]M.设 Mp∈Sylp(M)，则P=[N]Mp∈Sylp(G).由（2）及引理1.3，N非循环.从而存在P的一个极大子群H使得Mp⊆H.由定理的条件知H在G中 X -ss-半置换的，即存在T∈Xss(H)，Q∈Sylq(T),q≠p.则存在 x ∈X，使得 H Qx=QxH.因为 N ⋂H=N⋂HQx⊲HQx，所以Qx≤NG(N⋂H).因为 N ⊲P,H⊲P，所以 N ⋂H⊲P.由于Qx也是G的Sy⁃low q子群，N⋂H⊲G.因为N是G的唯一极小正规子群，所以N⋂H=1或者N⋂H=N.如果N⋂H=1，则|N|=|NH| | H |=|P | |H|=p.故N为循环群.由（2）及引理1.3得，G为超可解群，矛盾.如果N⋂H=N，则N≤H.从而P=[N]Mp≤H，与H是P的极大子群矛盾.这一最后的矛盾说明极小反例不成立，从而定理成立.

定理2.2 设X是群G的可解正规子群.若G的任意极小子群和4阶循环子群在G中X-ss-半置换的，则G为超可解群.

证明假 设结论不成立，G为极小阶反例并设N是G的极小正规子群.

（1）存在G的一个素因子 p使得Op(G)≠1.

假设对任意的 p ∈π(G)，Op(G)=1.则X=1.从而G的任意素数阶子群和4阶循环子群在G中s-半置换的.由文献[5]的定理3知，G为超可解群.此矛盾说明（1）成立.

（2）N是G的唯一极小正规子群且G N为超可解，N=CG(N).

由引理1.2（2）知，G/Op(G)满足定理的条件.由G的极小选择，G/Op(G)为超可解的.因为Op(G)可解，所以G为可解群.故N为初等交换群r群.从而r=p或者(r,p)=1.由引理1.2（2）知G N为超可解.因为超可解群系为饱和群系，所以N是G的唯一极小正规子群且Φ(G)=1.从而存在G的极大子群M使得G=[N]M.由Dedekind恒等式，CG(N)=CG(N)⋂NM=N(CG(N)⋂M).因为CG(N)⋂M⊲M 且 CG(N)⋂M⊲CG(N)，所以CG(N)⋂M⊲G.由于 N ≤CG(N)且N⋂M=1，CG(N)⋂M=1.从而N=CG(N).

（3）最后的矛盾

设 P∈Sylp(G)，则 N=CG(N)≥CG(P)⋂P=Z(P).由于 Z(P)≠1，所以 Z(P)中存在一个子群 H使得|H|=p.由定理的条件H在G中 X-ss-半置换的.设T∈Xss(H)，Q∈Sylq(T),q≠p.则存在 x∈X，使得HQx=QxH.因为 H⊲N且 N⊲G，所以 H是G的次正规子群.又由于 H是 HQx的Sylow p子群，所以H⊲HQx.因为H≤Z(P)，所以H⊲P.由于Qx也是G的Sylow q子群，H⊲G.因为N是G的唯一极小正规子群，所以N=H.故N为循环群.由（2）及引理1.3得，G为超可解群.这一最后的矛盾说明极小反例不成立，从而定理成立.

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