平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射

常 山

(上饶师范学院 物理与电子信息学院，江西 上饶 334000)

平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射

常 山

(上饶师范学院 物理与电子信息学院，江西 上饶 334000)

利用瑞利——索末菲矢量衍射公式导出平面偏振光波矩孔矢量夫琅禾费衍射的解析计算式，探讨了矢量衍射的实质和特征以及数十倍波长尺寸矩孔、亚波长矩孔和波长级矩孔夫琅禾费衍射的情形.模拟实验表明了该计算式的有效性和可靠性，可在近场光学、微光学、衍射成像、光束传输变换和光信息处理等方面发挥应有作用.

电磁光学;矩孔矢量衍射;平面偏振光波;夫琅禾费衍射;矢量衍射公式

菲涅尔在惠更斯子波假说基础上吸取托马斯·杨的干涉思想补充“次波相干叠加”形成了惠更斯——菲涅尔原理，基尔霍夫衍射公式导出了惠更斯——菲涅尔原理的常数项和倾斜因子，而索末菲衍射公式进一步解决了基尔霍夫假定的边界条件的不自洽，形成了标量衍射理论，可以有效地解决傍轴衍射.但光波是电磁波，运动规律由麦克斯韦方程组描述，严格处理矢量光场需要用矢量衍射理论.科技发展表明矢量衍射对近场光学、微光学、衍射成像、光束传输变换和光信息处理等具有重要作用[1-3]，虽然如4-6等很多文献对矢量衍射进行了研究，但仍需要进一步加强研究与拓展.

1 平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射

1.1 平面微孔矢量衍射的积分式

图1 平面光波挟面孔矢量衍射

图1中波长为λ的光波入射微孔屏，孔面坐标o-x0y0，z轴垂直孔面，波面Σ上点Q(x0,y0,0)处的光场为E(Q)，距孔z处的观察屏取坐标，使x轴和y轴分别平行于x0轴和y0轴.根据光的电磁理论，由瑞利—索末菲矢量衍射公式得观察屏上任一点P(x,y,z)的光场为[4-6]

(1)

1.2 平面偏振光波的平面微孔矢量衍射积分式

平面偏振光波复振幅为E(Q)=ex0E0e-jkz0,而ex=ex0，ey=ey0，n=ez，由式(1)得平面光垂直入射平面微孔时矢量衍射场的分量积分式为[4-6]

(2)

1.3 平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射

(3)

相应的光强为

针对解决出口气体过热问题的几种方法和各种控制流程的优缺点，对于小功率压缩机，由于其启动时间要求较短，热气循环工艺流程是较合理的选择。对于大功率压缩机的启动工况，由于启动时间较长，需要较长时间密闭循环气体以使压缩机达到额定转速，为避免在循环过程中由于出口气体过热而引起压缩机喘振，进而造成停车，冷气循环系统是较合理的选择。

(4)

从式(3)和(4)可知，平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射光场的三个分量强度为

(5)

1.4 平面光波矩孔矢量衍射的探讨

1.4.1 矢量衍射的实质与特征 根据电磁理论，式(2)-(5)表明平面孔矢量衍射的实质是：入射矢量光波在衍射屏限制的波面上作为元矢量电流源产生漩涡电磁场，衍射屏后面任意一点的电磁场可视为受限波面上的所有元矢量电流产生漩涡电磁场的矢量积分(叠加)，是严格而精确的矢量衍射方法.标量衍射以自由空间电磁波的场分布作为受限波面上次波传播的波源，受限波面所有次波相干叠加得到衍射屏后空间任意一点的电磁场，标量理论和方法不过是矢量理论和方法的近似.

分析式(2)-(5)可以认识矢量衍射的特征：矢量光波的波面受到限制时入射矢量光波被调制，一方面保持了原方向的偏振性，另一方面同时产生了传播方向的纵波，失去了光波单纯的横波性；该调制仅仅发生在振动面内，但是衍射场具有一种附带特殊纵波的偏振性，纵波包含的两部分为

(6)

该纵波相应的光强为

(7)

1.4.2 偏振平面光波微矩孔矢量夫琅禾费衍射的三类情形 随微矩孔尺寸的不同，可考虑三类矢量夫琅禾费衍射情形，分析式(4)和(5)可知：

(8)

这种情况下式(6)跟标量衍射公式一致.

②亚波长尺寸的矩孔：a和b远小于波长λ，即a,b≪λ，z减至波长数量级发生夫琅禾费衍射时，1/kr已大于1，xmax已大于x,z，x,z≪r/kx可舍去，式(4)可近似为

(9)

③波长尺寸的矩孔：a和b跟波长λ相当时，即a,b～λ，z为数百倍波长发生夫琅禾费衍射时，用式(8)计算会有一定误差，可计算式(7)的z分量加以修正.

2 计算机模拟

(1)平面光波入射数十倍乃至数百倍波长尺寸矩孔的矢量夫琅禾费衍射.

图2 数十倍波长尺寸矩孔的矢量夫琅禾费衍射

波长为λ=250nm的平面光入射40μm×80μm的矩孔屏，由式(4)和(8)分别计算z=1.4m处观察屏上衍射光强图样图2a和2b相一致，用式(5)计算图2a和2b之间的差异为图2c，表明数十倍至数百倍波长尺寸矩孔的夫琅禾费衍射纵向场强分量Iz极小，约为横向场强百万分之一可被忽略，此时式(8)代表的标量衍射是矢量衍射很好的近似.

(2)平面光波入射亚波长尺寸矩孔的矢量夫琅禾费衍射.

图3 亚波长矩孔的矢量夫琅禾费衍射

波长为λ=250nm的平面光波入射20nm×40nm矩孔屏，由式(4)、(8)、(9)分别计算z=100nm处光强图样3a和3b以及3c，3a和3b不一致，而3a和3c相一致，式(5)计算3a和3b间的差异为图3d，表明标量夫琅禾费衍射式(8)不适于计算亚波长尺寸孔的矢量衍射，原因是孔尺寸比波长小很多时，夫琅禾费衍射的纵向场强分量Iz相当可观，接近横向场强的百分之二十而不能忽略.

(3)平面光波入射波长级尺寸矩孔的矢量夫琅禾费衍射.

图4 波长级尺寸矩孔的矢量夫琅禾费衍射

波长为λ=250nm的平面光波入射0.1μm×0.2μm的矩孔屏，分别由式(4)和(8)计算z=40μm处的衍射光强图样4a和4b，式(5)计算4a和4b间的差异为图4c，可见波长级尺寸矩孔夫琅禾费衍射的纵向分量场强Iz超过了横向场强的百分之几，一般也不能忽略.

3 结语

从电磁理论出发导出了平面偏振光波的矩孔矢量夫琅禾费衍射光场的解析计算式，探讨了矢量衍射的实质和特征以及数百倍波长尺寸孔、亚波长孔和波长级尺寸孔的夫琅禾费衍射情形，计算机模拟实验表明了该解析计算式的有效性和可靠性.这对微孔、微透镜、微光栅等微纳米光学元器件具有意义和价值，可在近场光学、微光学、衍射成像、光束传输变换和光信息处理等方面发挥作用.

[1] 刘玉玲,卢振武.亚波长衍射微透镜色散的数值分析[J].物理学报,2004,53(6):1782-1787.

[2] 康小平,何仲,吕百达.矢量非傍轴厄米-拉盖尔-高斯光束的光束质量[J].物理学报,2006,55(9):4569-4574.

[3] 邓小玖,刘彩霞,王飞,等.非傍轴衍射光束横截面上的光强及其能量传输[J].光子学报,2008,37(10):2058-2062.

[4] 邓小玖,李国祥.平面孔的远场矢量衍射理论及其标量近似[J].合肥工业大学学报：自然科学版,2000,23(6):999-1002.

[5] 许嘉俊,邢廷文.可见光二维小孔矢量衍射分析[J].光学学报,2011,31(12):1-5.

[6] 梁彬,白明,金铭,等.瑞利索莫菲衍射与物理光学积分的应用比较[J].北京航空航天大学学报,2012,38(9):1214-1218.

[7] 常山,桑志文,毛杰健,等.单色点源矩孔菲涅耳衍射光场的计算与模拟[J].安徽师范大学学报：自然科学版,2010,33(4):336-339.

The Vector Fraunhofer Diffraction of Polarized Planar Light-Wave Throughout Rectangular Micro-Aperture

CHANG Shan

(School of Physics & Electronics Information, Shangrao Normal University, Shangrao 334000, China)

The analytic calculation formula of the vector Fraunhofer diffraction of polarized plane wave throughout rectangular aperture is derived with Rayleigh-Sommerfeld vector diffraction formula, and then the essence and characteristics of the vector diffraction and the Fraunhofer diffraction situation of ten times size rectangular aperture and sub-wavelength rectangular aperture and wavelength size rectangular aperture are discussed. The simulations show that the calculation formula is valid and reliable and can play its due role in near field optics, micro-optics, diffraction imaging, light beam transmission and transformation, and optical information processing, and other aspects.

Electromagnetism optics; the vector diffraction of rectangular aperture; polarized plane light-wave; Fraunhofer diffraction; vector diffraction formula

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.006

20013-10-19

江西省自然科学基金(20122BAB202008)；江西省教育厅科技计划项目基金(2011GJJ11612)；江西省教育厅科技落地计划(KJLD12046).

常山(1964-),男,山东阳谷人,硕士,副教授,主要从事光学教学和信息光学研究.

常山.平面偏振光波的微矩孔矢量夫琅禾费衍射[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2015，38(1)：241-244.

O436.1

A

1001-2443(2015)03-0241-04