基于折射定律的渐变介质中光传播路径研究及其应用

郑其明

(南京化工职业技术学院,江苏 南京 210048)



基于折射定律的渐变介质中光传播路径研究及其应用

郑其明

(南京化工职业技术学院,江苏 南京 210048)

从理论和实验两个角度解释了光在渐变介质中的传播规律，并在此基础上从实验和理论两个角度提出应用光在渐变介质中的传播规律分析和解决实际问题.

折射定律；渐变介质；应用

渐变折射率现象在日常生活中经常会出现，例如空气本身并不是一个均匀的介质，在一般情况下，它的密度是随高度的增大而递减的，高度越高，密度越小.光在空气中传播时，当光线穿过不同高度的空气层时，总会引起一些折射，但这种折射现象在我们日常生活中已经习惯了，所以不觉得有什么异样.但在某些特殊条件下，例如夏日的海面或沙漠地带，由于地面和高空温差大，上下空气密度有较大差距，上下空气的折射率也会产生较大变化，这时往往会产生海市蜃楼现象[1].

从理论上讲，研究光在渐变折射率的介质中传播与研究光在均匀介质中的传播一样，都可以建立光在介质中传播的麦克斯韦方程，通过求解微分方程，可以得到光在渐变介质中传播规律[2].但实际上解决这种微分方程是非常困难的，有时甚至无法求解.因此解决光在渐变介质中的传播问题是工程中困难问题.

针对上述问题，本文首先通过实验来模拟光在渐变介质中传播的现象，从而了解光在渐变介质中的传播轨迹.再通过光的折射定律和费马原理建立光在渐变介质中传播积分方程，从而求出光在渐变介质中的传播轨迹方程，这样就避免了复杂的数学推导过程，这种方法对求解光在渐变薄膜中的传播或求解海市蜃楼现象，都有一定的借鉴意义.利用上述现象和原理，用不同浓度的糖水设计实验，模拟海平面日落光学现象.同时还将上述数学变换方法应用于解决物理学中其它类似问题(如两端固定的悬挂链条的悬链迹问题以及落体问题的最速降轨迹问题等)，这对引导学生灵活运用物理学原理和数学工具，具有指导意义.

1 光在渐变介质中传播现象的实验模拟

虽然光在渐变介质中的传播现象在自然界中很常见，但要完整观察光在渐变介质中传播轨迹是不容易的.在实验中将甘油倒入玻璃槽中，在玻璃槽底均匀铺上薄薄一层，然后将水缓缓倒入槽中，由于甘油无色透明，其相对折射率为1.4746，密度为1.2636克/厘米3，都比水大，又不溶于水，会与水形成混合液.因此当将水倒入后，由于甘油比水重，甘油会沉在槽底，静置一段时间以后，甘油会在水中慢慢扩散，水槽上部的甘油相对分布少，下部分布多，这样在水槽中就形成了折射率由上往下逐渐增大的甘油与水的混合液.将一束激光射入混合液体中，可以明显看到，激光在混合液中传播路径不再是直线而是发生了弯曲，如图1所示.由于上下混合液的浓度不同，激光在上部和下部传播时的轨迹的弯曲程度也不同.如图2所示，在混合液的下部光的弯曲程度会更大些.改变激光射向混合液体的角度，可看到，激光在混合液体中传播路径也产生变化.

利用此实验还可以模拟海市蜃楼现象，如示意图3所示，将一个物体放在混合液的底部，从物体发出的光线经过渐变折射率液体折射后发生了弯曲，透过液体看过去，会在水槽的上方看到物体的像，这就与海市蜃楼产生的情景是一致的.

图1 光在液体上部传播时情形

图2 光在液体的下部传播时的情形(在底部时由于射向空气时产生全反射)

图3 模拟海市蜃楼现象

2 光在渐变折射率介质中传播轨迹的理论分析

由以上模拟演示实验现象可知，光在变折射率的介质中的传播路径不再是直线而变为了曲线，下面通过理论分析求光在渐变介质中的传播轨迹.

由费马原理可知，光线总是沿着最短时间的路径行进.对于渐变介质而言，其折射率为位置的函数，即：n=n(x,y,z)，设光的真空中光程为dl，则在介质n中的光程为ndl.光在某渐变介质中传播时，光线行进所花费的时间可表示为[3]：

(1)

图4 光在渐变介质中传播的光路图

如果知道了介质的折射率随位置变化的关系，根据费马原理，对上式求时间的极小值，理论上可以求出光在渐变折射率的介质中传播轨迹，但要对上式求极限，必须对上式进行变分处理，其数学处理过程非常复杂，对只学过基础微积分的学生来说难以理解和掌握，本文根据光的折射定律，对上述积分关系式进行处理，这样就简化了数学处理过程.

为了使得问题简化，令渐变折射率介质的折射率只沿着竖直方向变化，n=n(y)，如图4所示.将介质沿着y轴方向分成无数个薄层，设每个薄层折射率都为常数，假设光初始入射时初始角为θ0，初始介质的折射率为n0，射入每个薄层时的折射角分别为θ1,θ2L,θy，每个薄层的折射率分别为n1,n2,L,ny，光在每个薄层行进时都满足光的折射定律.这样就可以根据光的折射定律来决定光在渐变介质中的行进路径.由光的折射定律可得：

n0sinθ0=n1sinθ1=L=nysinθy=c

(2)

(3)

其中θ为深度为y处的折射角.

这样就可以得到光在渐变介质中的轨迹方程为：

(4)

根据轨迹方程(4)可知，如果已经知道了渐变介质的折射率随着位置变化的关系，就可以根据方程(4)求出光在渐变介质中的传播轨迹.这样就不需要通过求极值来确定光在渐变介质中的传播轨迹.

在实际工程中，要确定渐变介质的折射率随着位置变化的关系是不容易的，一般情况下很难准确确定出来.实际情况下只能通过近似方法来进行确定.对上述实验中情况可做如下分析：

(5)

将(5)式代入(4)式中并进行积分可得：

(6)

将(5)式的理论推导结果与实验结果图1和图2相比大致是相符的，如果盛放渐变介质容器足够长，应该能得到类似(6)式结果的光路传播图像，但由于渐变介质的折射率随着位置变化是很复杂的，与很多因素有关，因此实际结果与理论推导的结果会有差距.

3 光在渐变折射率介质中传播现象的实验应用——以糖水模拟海平面日落光学现象

夕阳西下，在清澈的海平面上，常可看到垂直方向被压缩，呈黄、橘、红色扁椭圆的太阳，如果运气更好，还可看见绿闪光(green flash)现象.这些现象都与海平面上方的大气不同高度处的空气密度和折射率随着高度变化而变化，从而造成大气的渐变折射现象，当然还与大气对光的色散以及大气分子对光的散射等原因有关.曾经有研究者利用不同浓度的糖水层及水，依序由下往上浓度越稀放入水箱中，示范了山区受大气折射作用所产生的海市蜃楼的幻影现象(如图3所示).利用同样的方法，以幻灯机的白光灯源经过浓度由下往上递减的糖水所造成的折射率改变，及对白光所造成的散射，模拟展示了日落时，太阳因大气折射、散射所产生的扁红太阳的现象.实验中使用的材料有水箱、不同浓度糖水、幻灯机或其它白光灯源.基本步骤如下：

1)实验前先配制好不同浓度的糖水，将不同浓度糖水依序由下至上由浓至淡注入(注意不可搅拌)水箱.每注入每一层前，先铺上一层塑料袋.注完该层后，缓缓将塑料袋均匀用力抽出，此时虽有糖水的小扰动，但明显可见不同浓度糖水层的形成.

2)先以激光光源作测试，看是否有光束弯曲现象(如图5)，还可以用不同颜色的激光观察不同颜色的激光弯曲程度有什么不同的现象.

图5 激光光穿过不同浓度糖水光线会弯曲

3)根据图6所示的装置图，准备幻灯机，在投射灯前原置幻灯片位置，放入一张与幻灯片大小相当的白纸片，则所投射出的光便形成一个圆的光源.在图6所示装置的另一侧通过眼睛就可以观察到图7所示的模拟日落时扁红太阳现象.

图6 仿真日落观察装置图

图7 观察到模拟海平面的日落现象

未来还希望通过改进糖水浓度的层次，以展示太阳光因大气折射所产生的重迭幻影-中国灯笼现象以及绿光现象.

4 基于折射定律的渐变介质中光传播规律的理论应用

图8 悬链线

由光在渐变折射率介质中传播轨迹的理论分析可知，光在渐变折射率介质中传播的最短路径可由方程(1)进行求解，而应用方程(1)求解必须要进行复杂的变分，比较难于求解，通过光的折射定律可以对问题进行简化，从而得到(4)式所示光在渐变折射率介质中传播的轨迹方程.物理学中有很多其它类似问题，如两端固定的悬挂链条的悬链线问题，以及落体问题的中的最速降轨迹问题等，其结果都与(1)式类似，因此可以借鉴求解光在渐变介质中传播轨迹的方法，解决悬链线问题和最速降轨迹等问题.

4.1 两端固定的悬链线问题

如果将一条链子的两端固定让它自由悬挂，最后会形成图8所示的悬链线.设链子的质量线密度为ρ，重力加速度为g，根据力学原理得，整个悬链线的位置势能U可表示为[6]：U=∫ρgxdl

(7)

对上式进行积分，就可得到悬链线的轨迹为双曲余弦函数[7]：y=Acosh(x/c)，其中A为常数，常数A和C可根据悬链线的具体数据进行确定.

由以上分析可知，如果用变分法来求悬链线的轨迹从数学分析角度来说也是比较复杂的，如果应用折射定律，利用类似于光在渐变介质中传播路径的求解方法，就比较容易得到悬链线的轨迹方程.

4.2 最速落体轨迹问题

5 结束语

求解光在渐变折射率介质中传播路径问题是物理学中一个问题[8-10]，本文首先通过实验来模拟光在渐变介质中传播的现象，从而了解光在渐变介质中的传播轨迹.再通过光的折射定律和费马原理建立光在渐变介质中传播积分方程，求出光在渐变介质中的传播轨迹.本文通过运用上述原理和现象，用不同浓度的糖水设计实验，模拟海平面日落光学现象，从而加深学生对光在介质中传播规律的了解.同时本文还将上述数学变换方法应用用与解决物理学中其它类似问题.本文理论推导过程中使用的数学工具简单，避开了复杂的数学技巧，容易为普通大学生掌握和应用，本文的实验验证也容易在实验室开展，同时本文所采用的推导方法对引导学生灵活运用物理学原理和数学工具，具有指导意义.

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Research on Light Propagation Path in Gradient Medium Based on Refraction Law

ZHENG Qi-ming

(Nanjing College of Chemical Technology, Nanjing 210048, China)

Propagation law of light in the gradient medium is theoretically and experimentally explained in this paper. Thus this paper also theoretically and experimentally proposes the view that applys the propagation law of light in gradient medium to analyze and solve practical problems.

refraction law； gradient medium； application

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.007

2013-11-10

中国物理学会教学委员会职教分委会立项课题(2012(01)).

郑其明(1969-)，男，江苏姜堰人，副教授，主要从事大学物理教学与研究.

郑其明.基于折射定律的渐变介质中光传播路径研究及其应用[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2015，38(2)：245-249.

O433

A

1001-2443(2015)03-0245-05