弱s*-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响*

李春浦，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

利用弱化正规性条件来研究有限群，得到有限群的结论，一直是群论研究者感兴趣的课题之一．该文在前人的基础上，利用弱s*-拟正规嵌入性，研究了有限群的构造，获得了有限群为p-幂零群和p-超可解群的一些充分条件．文中G总表示有限群，符号和术语都是规范的．

1 预备知识

定义1［4］称H在G中弱s*-拟正规嵌入，如果存在群G的正规子群T，使得HT◁—G且H∩T≤Hse，Hse是包含在H中的G的一个s-拟正规嵌入子群．

引理1［4］设G是群，则下列结论成立:

(1)设H≤L≤G，若H在G中弱s*-拟正规嵌入，则H在L中弱s*-拟正规嵌入．

(2)设N◁G，且N≤H≤G，H在G中弱s*-拟正规嵌入当且仅当H/N在G/N中弱s*-拟正规嵌入;

(3)设H为G的π-子群，N为G的正规π'-子群，若H在G中弱s*-拟正规嵌入，则HN/N在G/N中弱s*-拟正规嵌入．

引理2［5］设群G非p-幂零但它的所有真子群均p-幂零，则群G本身非幂零但它的所有真子群均幂零．

引理3［5］设群G本身非幂零但它的所有真子群均幂零，则:

(1)对|G|的某个素因子p，G有一个正规的Sylow p-子群P，且G/P≌Q，其中Q为G的非正规循环Sylow q-子群，且p≠q;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;

(3)如果P非交换且p≠2，则expP=p;

(4)如果P非交换且p=2，则expP=4;

(5)如果P交换，则expP=p．

引理4［6］设p为整除|G|的最小素因子，P为G的Sylow p-子群且P循环，则G有正规p-补．

引理5［1-2］设G是群，则有:

(1)s-拟正规子群是次正规子群．

(2)设P是G的p-子群，且P∈π(G)，则P在G中s-拟正规当且仅当NG(P)≥Op(G)．

(3)设H在G中s-拟正规，P∈Sylp(H)，p为素数．如果P≤Op(G)或HG=1，则P在G中s-拟正规．

(4)设HsG是包含在H中的G的所有s-拟正规子群生成的子群，则HsG是唯一包含在H中最大的G的s-拟正规子群，特别地，NG(H)≤NG(HsG)．

引理6［7］设G是群，则:

(1)设P是G的p-子群，P∈π(G)．则P在G中s-拟正规当且仅当NG(P)≥Op(G)．

(2)设H在G中s-拟正规，且P为H的Sylow p-子群，p为素数．如果P≤Op(G)或HG=1，则P在G中s-拟正规．

引理7［8］设P是群G的一个初等交换p-子群且|P|=pn，n≥2．则下列论述等价:

(1)P中的p阶极小子群在G中正规．

(2)P中的极大子群在G中正规．

引理8［9］设G是一个群，P为G的Sylow p-子群且(|G|，p-1)=1，则G为p-幂零当且仅当P的任一极大子群在G中c*-正规．

引理9［10］设N(N≠1)是G的可解正规子群，如果N∩ Φ(G)=1，，则 N的 Fitting子群F(N)是包含在N中的G的极小正规子群的直积．

引理10［10］设G是p-可解群，p是整除|G|的素因子，则CG(Fp(G))≤Fp(G)．

引理11［13］设G=AB．A和B都是G的子群，令Ap和Bp分别是A和B的Sylow p-子群，则ApBp是G的Sylow p-子群当且仅当ApBp=BpAp．

2 主要结论

定理1 设G是群，P为G的Sylow p-子群且P交换并满足(|G|，p-1)=1．若P的任意极小子群在G中弱s*-拟正规嵌入，则G为p-幂零群．

证明 假设结论不真．设G为极小阶反例．

(1)G为内p-幂零群．

设K为G的任一真子群，易得到P∩K∈Sylp(K)且P∩K交换，对于P∩K的任意极小子群A≤P，A在G中弱s*-拟正规嵌入，由引理1(1)知A在K中弱s*-拟正规嵌入，所以，K满足定理假设，由G的极小性选择知K为p-幂零，于是，非p-幂零群G的任意一个真子群p-幂零，即G为内p-幂零群，由引理2知G为内幂零群，由引理3知G=PQ，其中P为G的正规Sylow p-子群，Q为G的非正规循环Sylow q-子群，且p≠q，P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群．

(2)P为初等交换p-群．

事实上，|P|≥p2．否则，则有|P|=p，则由引理4，G为p-幂零，矛盾．从而，|P|≥p2，因P为内幂零群G的Sylow p-子群且交换，由引理3(4)知expP=p，可得P为初等交换p-群．

(3)导出矛盾．

设A为P的任意一个极小子群，由假设知A在G中弱s*-拟正规嵌入，即存在群G的正规子群T使得AT◁—G，且A∩T≤Ase，Ase是包含在A中的G的一个s-拟正规嵌入子群．分两种情况进行讨论:

Ⅰ．若A∩T=1，则T ＜ G，由(1)知T为p- 幂零，即T=Tp× Tp'，其中Tp∈ Sylp(T)，Tp'为 T 的 p'-Hall子群．由 Tp'char T ◁—G，得Tp'◁—G，即Tp'为G的正规p'-补，从而得G为p-幂零，矛盾．

Ⅱ．若A∩T≠1，A∩T=A，A为G的s-拟正规嵌入子群，且由(1)知P◁G，故A≤P=Op(G)，由引理6，知A为G的s-拟正规子群．再由引理6知Op(G)≤NG(A)，又因P是交换的，则A◁P，从而A◁Op(G)P=G，于是G的Sylow p-子群P的任意一个极小子群A◁G，由(2)以及引理7知P的任意一个极大子群P1在G中正规，当然P1在G中弱s*-拟正规嵌入，由引理8，可得G为p-幂零，矛盾．所以，极小阶反例不存在，G为p-幂零．

定理2 设G是p-可解群，p是整除|G|的素因子，如果Fp(G)的每一个包含Op'(G)的极大子群在G中弱s*-拟正规嵌入，则G为p-超可解群．

证明 假设结论不真．设G为极小阶反例．

(1)Op'(G)=1．

若N=Op'(G)≠1．先考虑商群G/N，明显Fp(G/N)=Fp(G)/N，设M/N是Fp(G/N)的极大子群，则M是Fp(G)中包含N的极大子群．由于M在G中弱s*-拟正规嵌入，所以利用引理1，M/N在G/N中弱s*-拟正规嵌入，由此得M/N满足定理条件，由G的极小性可知G/N是p-超可解的，从而G也是p-超可解的，由G的选择，矛盾．

(2)Φ(G)=1，且Fp(G)=F(G)=Op(G)

若T=Φ(G)≠1，因为Op'(G)=1，可知Fp(G)=F(G)=Op(G)，即得 Fp(G/T)=Op(G/T)=Op(G)/T=Fp(G)/T，若 P1/T是Fp(G/T)的极大子群，则P1是F(G)的极大子群．因P1在G中是弱s*-拟正规嵌入的，由引理9可得P1/T在G/T中是弱s*-拟正规嵌入的，所以G/T满足定理条件．由G的极小阶选择可得G/T是p-超可解的，且因为所有p-超可解群构成的群类是饱和群系，故G也是p-超可解的，由极小阶反例，矛盾．

(3)Fp(G)=F(G)=N1×N2×…×Nt，其中Ni(i=1，2，…，t)是群G的包含在F(G)中的极小正规子群，并且|Ni|=p．

由引理10和(2)可得，F(G)是群G的包含在F(G)中的极小正规子群的直积，由于G是p-可解的且Op'(G)=1，可知F(G)是非平凡的初等交换p-群，所以由引理11有CG(F(G))=F(G)，现在令F(G)=P=N1×N2×… ×Nt，其中Ni(i=1，2，…，t)是群G的包含在P中的极小正规子群，由于Φ(G)=1，对于群G的包含在P中的每一个极小正规子群N，都存在G的一个极大子群M，使得G=NM=PM，且有N∩M=1．令MP为M的Sylow p-子群，则P=P∩G=P∩MN=N(P∩M)=(P∩M)×N，并且有引理11可得，GP=PMP，令P1是GP中包含MP的极大子群，记为P2=P1∩P，显然，P1=P2MP，且P2=(P∩M)×(P1∩N)，因为P2∩MP=P∩MP，有p=|GP:P1|=|PMP|:P2MP|=|P:P2|，从而P2是P的极大子群．类似的，可得N*=P1∩N是N的极大子群，因为P2=P1∩P◁GP，再由引理5可知，GP≤NG(P2)≤NG((P2)sG)，进一步有(P2)sG被Op(G)GP=G正规化，所以易知(P2)sG=(P2)G=P∩M，又因为P2在G中是弱s*-拟正规嵌入的，所以存在群G的正规子群K，使得P2K◁G且P2∩K≤(P2)se，注意到P2∩K ≤Op(G)，令(P2)GK=K1，则K1◁G且P2K=N*K1，由P2K◁G，得N*K1◁G，进而N*∩K1=1，否则，若N*∩K1≠1，N*∩K1=N*∩K1∩N=N*∩N=N*，则N*≤K1，矛盾．如果N∩K1=1，则 N∩N*K1=N*(N∩K1)=N*，因此，N*=1，故 |N|=p．若 N ∩ K1=N，则N*∩K1=N*，矛盾．综上可知|Ni|=p，i=1，2，…，t．

(4)最后的矛盾．

对于任意的 i，商群 G/CG(Ni)同构于Aut(Ni)的子群，其中Aut(Ni)是阶为p-1的循环群，由于所有的p-超可解群构成的群类是饱和群系，故G/(CG(Ni))是p-超可解的，再由(CG(Ni)) = CG(F(G))可知G/CG(F(G))=G/F(G)是p-超可解群，于是G是p-超可解群，矛盾．

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