基于平稳脊波变换的图像降噪

徐 巍, 孔建益, 陈东方

(1.武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉，430081；2. 武汉科技大学计算机科学与技术学院，湖北 武汉，430065)

基于平稳脊波变换的图像降噪

徐 巍1, 孔建益1, 陈东方2

(1.武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉，430081；2. 武汉科技大学计算机科学与技术学院，湖北 武汉，430065)

有限脊波变换在Radon变换域中用正交小波处理点奇异，而正交小波变换不存在冗余性，因此在应用有限脊波变换进行图像降噪时会产生Gibbs现象。为了解决Gibbs条纹干扰问题，本文在有限脊波变换的基础上提出一种新的基于平稳脊波变换的图像降噪方法，其关键是引入一维平稳小波变换来代替正交小波变换对Radon系数矩阵进行处理。实验结果表明，与基于有限脊波变换的图像降噪方法相比，本文提出的算法具有更优的降噪性能，可使图像降噪后保持更好的边缘特征和视觉效果，振铃效应得到改善。

图像降噪；脊波变换；平稳小波变换；Radon变换；Gibbs现象；图像处理

由于脊波变换可以很好地表征图像中的直线，所以对于那些分段光滑、沿直线边缘奇异的图像来说，在脊波变换域降噪可以达到既去除噪声又较好地保留图像特征的目的。根据脊波变换与Radon变换的关系可知，有限脊波变换是在Radon变换域中用正交小波处理点奇异，而正交小波变换不存在冗余性，即变换出来的系数是固定的，跟其余部分没有任何关联，所以也无法从中找出信号随时间推移的信息。因此，在应用有限脊波变换进行图像降噪时会产生Gibbs条纹干扰现象(也称振铃效应)[1]，影响了图像质量。

Pesquet等[2]提出的平稳小波变换是在正交小波变换的基础上，通过选取采样点来体现时移信息。信号在平稳小波变换后的重构过程中首先采用变换系数的偶抽样和奇抽样分别进行重建，然后求其平均值。这种方法应用于图像信号的阈值降噪时可以很好地抑制正交小波变换导致的振铃效应，使图像降噪后保持较好的边缘特征和视觉效果。因此，本文在有限脊波变换的基础上引入一维平稳小波变换来代替正交小波变换，提出一种基于平稳脊波变换(stationary ridgelet transform, SRT)的图像降噪方法，以期消除Gibbs 条纹干扰对图像质量的影响，改善图像降噪效果。

1 平稳小波变换

平稳小波变换是一种非正交的小波变换，其不再对低通和高通滤波器的输出系数进行下采样，故小波系数和尺度系数就与原始信号的长度相等，保证了平稳小波变换具备平移不变性[3]。此外，与正交小波变换不同的是，平稳小波变换中每一尺度的低通、高通滤波器通过对上一尺度相应滤波器的补零插值获得。

(1)

(2)

2 平稳脊波变换的实现

Pi,j={(k,l):l=

j-(ki)modp,k∈Zp}+{(p,i)}

(3)

因此，有限Radon变换的结果是产生一个p×(p+1)的Radon系数矩阵[4]。对Radon系数矩阵的每列分别进行一维平稳小波变换sw，最终得到脊波系数矩阵{Sf[k,n],0≤k≤p,0≤n

(4)

平稳脊波逆变换通过重构小波和有限Radon变换的反变换实现。先对FRAT系数的每一列做一维离散多尺度小波变换的逆变换，产生有限Radon变换系数矩阵，然后对这个矩阵进行有限反射投影(finite back-projection, FBP)就得到原图像。该逆变换是完全重构的。

3 基于SRT的图像降噪算法

本文图像降噪算法是在MATLAB软件平台上实现的，具体算法描述如下：

(1)对含噪图像f(i,j)进行平稳脊波变换，得到脊波变换系数Sf。

首先对图像f(i,j)进行有限Radon变换，得到Radon域系数矩阵Rf[k,l]，然后利用式(4)对Rf[k,l]矩阵的每一个列向量(也可称为投影)做一维平稳小波变换,得到平稳脊波变换域系数矩阵Sf[k,n]。若为单尺度小波变换，则Sf[k,n]的左半部分{Sf[k,1],Sf[k,2],…,Sf[k,(p-1)/2]为图像细节，即高频部分；Sf[k,n]的右半部分{Sf[k,(p-1)/2+1],Sf[k,(p-1)/2+2],…,Sf[k,p-1]}为图像逼近，即低频部分。若为多尺度小波变换，则需要对图像逼近继续进行小波变换。当按最大的变换尺度log2(p-1)进行变换时，Sf[k,0]为图像逼近，其余均为各尺度图像细节。

本文所采用的MATLAB平稳小波函数的调用语句为[swa,swd]=swtc(X,Lo_D,Hi_D)，其中：X为输入信号；Lo_D为低通滤波器；Hi_D为高通滤波器。

(4)针对不同的噪声类型，选择不同的滤波器来增强降噪效果。

4 图像降噪实验与结果分析

为验证本文提出的图像降噪算法的有效性，特选取了文献[5]中的高斯图像以及常用的国际标准测试图像Cameraman、House和Lena进行实验。这些图像的大小均为257×257，其中高斯图像具有明显的直线特征和256级灰度。

噪声度量标准采用信噪比SNR。对于一幅N×N大小的零均值图像，其SNR定义为：

(5)

其中：

(6)

图像相似性度量采用结构相似度(SSIM)算法。SSIM算法是从光照、对比度以及结构相似性三个方面利用失真图与原图的相关程度建立模型，根据失真图在结构上的保真度来给出质量评价。SSIM值越大越好，最大为100%。

分别采用基于有限脊波变换(FRIT)的降噪算法和本文提出的基于平稳脊波变换(SRT)的降噪算法对含有高斯噪声和椒盐噪声这两种最典型噪声的上述多个图像进行降噪实验，并根据SNR和SSIM这两个指标进行综合比较。

首先对加入不同级别高斯噪声的高斯图像进行降噪处理，再使用维纳(Wiener)滤波减少“环绕效应”，其效果如图1所示，图像降噪后的SNR和SSIM值如表1所示。然后对加入不同密度椒盐噪声的House图像进行降噪处理，再使用中值滤波增强降噪效果,图像降噪后的SNR和SSIM值如表2所示。最后对加入相同密度(d=0.04)椒盐噪声的Cameraman、House和Lena三幅图像进行降噪，其效果如图2所示，图像降噪后的SNR和SSIM值如表3所示。

(a)原始图像 (b)含噪图像 (c)FRIT降噪图像 (d)SRT降噪图像

(SNR=9.52 dB) (SNR=16.91 dB) (SNR=17.03 dB)

图1 高斯图像降噪效果

Fig.1 Denoising effect of Gaussian image

表3 含相同密度椒盐噪声的三幅图像降噪后的SNR和SSIM值(d=0.04)

Table 3 SNR and SSIM values of three denoised images with salt and pepper noise at the same density(d=0.04)

由表1～表3可见，对于含有不同类型、不同程度噪声的这几幅图像，无论是从降噪图像的信噪比，还是从降噪图像与原图的相似度来看，本文提出的算法都要优于采用有限脊波变换的降噪算法。实验结果表明，由于平稳小波变换可以很好地抑制正交小波变换带来的图像Gibbs 条纹干扰现象，因此通过本文算法所得降噪图像能保持更好的边缘特征和视觉效果，振铃效应得到改善。另外，对比表中数据还可以看出，由于脊波变换可以更好地表征图像中的直线，这两种算法对含有明显线奇异的高斯图像和House图像的降噪效果都要显著优于对其他两幅图像的降噪效果。

5 结语

针对有限脊波变换在图像降噪应用中的不足之处，本文提出了基于平稳脊波变换的图像降噪算法，其关键点是在实现脊波变换时引入平稳小波变换来代替正交小波变换。由于引入了系数冗余，使得平稳脊波变换具有平移不变性，而这种冗余恰好能应用于图像降噪，有助于减少计算误差，使降噪后的图像重构效果较好。实验结果也表明本文算法要优于采用有限脊波变换的图像降噪算法，而该算法的不足之处是运算较为复杂，因此如何进一步提高其计算效率是今后研究的方向。

[1] Donoho D L, Flesia A G. Digital ridgelet transform based on true ridge functions[M]// Stoeckler J, Welland G V. Beyond Wavelets. New York: Academic Press,2003:1-33.

[2] Pesquet J-C,Krim H,Carfantan H.Time invariant orthonormal wavelet representations[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1996,44(8):1964-1970.

[3] Nason G P, Silverman B W. The stationary wavelet transform and some statistical applications[M]//Antoniadis A. Wavelet and Statistics. New York: Spinger-Verlag, 1995:281-299.

[4] Starck J-L, Candès E J, Donoho D L. The curvelet transform for image denoising[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2002, 11(6): 670-684.

[5] Do M N, Vetterli M. Image denoising using orthonormal finite ridgelet transform[C]//Proceedings of SPIE Conference on Wavelet Application in Signal and Image Processing VIII, San Diego, USA, 2000,Vol.4119:831-842.

[责任编辑 尚 晶]

Image denoising based on stationary ridgelet transform

XuWei1,KongJianyi1,ChenDongfang2

(1. Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control of Ministry of Education, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China;2. College of Computer Science and Technology, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China)

Orthogonal wavelet transform is commonly used in finite ridgelet transform (FRIT) to handle the point singularity in Radon transform domain. However, due to the non-redundancy of orthogonal wavelet transform, image denoising using FRIT causes Gibbs phenomenon. In order to overcome these Gibbs interference fringes, this paper introduces a new concept of stationary ridgelet transform (SRT) based on FRIT and proposes a SRT-based image denoising algorithm. The key of this algorithm is to deal with the Radon transform coefficient matrixes by using stationary wavelet transform instead of orthogonal wavelet transform. Experimental results show that the proposed algorithm has better noise reduction performance than the FRIT-based image denoising method. Denoised images boast detailed edge feature information and great visual effect,and the ringing effect is restrained.

image denoising; ridge transform; stationary wavelet transform; Radon transform; Gibbs phenomenon; image processing

2015-03-23

国家自然科学基金资助项目(51174151); 湖北省重大科技创新计划项目(关键技术研发类)(2013AAA011).

徐 巍(1983-)，男，武汉科技大学博士生，工程师.E-mail:18793815@qq.com

孔建益(1961-)，男，武汉科技大学教授，博士生导师.E-mail:13607158659@139.com

TP301

A

1674-3644(2015)05-0381-04