图像阈值法分割综述

刘超　蔡文华　陆玲

摘要：图像分割是一个经典的难题，由于图像分割的复杂性，图像分割的方法很多也很难有一个通用的方法。该文主要是对图像阈值法分割的一个综述，叙述了阈值法分割的一些方法。最后对这些算法做了一个总结，以及对阈值法分割的期望。

关键词：图像分割，阈值法，阈值法分割

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）01-0140-03

Survey on the Method of Image Threshold Segmentation

LIU Chao，CAI Wen-Hua，LU Ling

（East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China）

Abstract： Image segmentation is a classical difficult problem， because of the complexity of image segmentation and image segmentation method of many is difficult to have a general method.This paper is a method of image threshold segmentation， describes the method of threshold segmentation methods.Finally made a summary of these algorithms， as well as expectations for segmenting threshold value method.

Key words： image segmentation； threshold method；threshold method segmentation

阈值分割就是简单地用一个或几个阈值将图像的灰度直方图分成几个类，认为图像中灰度值在同一个灰度类内的像素属于同一个物体。过去人们为图像灰度阈值的自动选择付出了巨大的努力，提出了很多方法。特别是1979年由日本学者大津提出一维最大类间方差法[1]（OTSU）是现在较为通用的一种阈值分割方法；刘健庄等提出了二维的最大类间方差的方法[2]，让这种分割方法的抗干扰性变得更强了；景晓军等提出了三维最大类间方差的方法[3]，对低对比度、低信噪比的目标能达到更好的效果，但是维度越高时间复杂度也就越高。

J.C.Yen等人提出的用最大相关性原则选择阈值的方法[4]，这种方法其实只是用他们定义的一个最大相关性原则取代了一般用的最大熵原则，N.Papamarkos等人提出的先找出灰度直方图的峰值点，再用有理多项式来拟合灰度直方图两个峰间的区域，让后求出相应的有理多项式的极小值，从而决定阈值的方法[5]，L.Li等人提出的通过对图像的二维直方图作Fisher线性映射来决定阈值的方法[6]等。

基于最大熵原则选择阈值是最为重要的阈值选择方法之一，九十年代对最大熵原则的研究包括P.Sahoo等人提出了用Renyi熵代替常规的最大熵原则[7]，A.D.Brink把这种方法扩展到二维直方图[8]，H.D.Cheng等人将模糊测度函数的感念引入最大熵原则，提出了模糊C-分类最大熵原则[9]。

1 阈值分割主要方法

阈值法看似是最简单的，因为只要找到一个或多个阈值就可以把图像分割出来，但是如何从一副图像中找到一个或多个合适阈值可以说是相当困难的。下面就详细的分析一下阈值法的研究和发展过程以及各个主要算法的提出和中心思想。对于其中较为简单的双峰法就没有介绍。

1） 大津法（OTSU法）

1979年日本学者大津提出的最大类间方差法[1]被认为是图像分割中阈值选取最佳算法。因为该方法计算简单，不受图像亮度和对比度的影响，所以在图像分割中得到了很广泛的应用。它是按图像的灰度特性，将图像分成背景和前景两部分。背景和前景之间的类间方差越大，说明构成图像的两部分的差别越大，当部分前景错分为背景或部分背景错分为前景都会导致两部分差别变小。因此，使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。

设灰度图像灰度级是L，则灰度范围为[0，L-1]，利用OTSU算法计算图像的最佳阈值为下式1所示：

[OTSU=Max[w0（t）*（u0（t）-u）^2 +w1（t）*（u1（t）-u）^2]] （1）

其中变量说明：当分割的阈值为t时，w0为背景在整幅图像灰度所占比例；u0为背景灰度均值；w1为前景在整幅图像灰度所占比例；u1为前景灰度均值；u为整幅图像的灰度均值。

使表达式中的OTSU的值为最大，此时所取的t值即为分割图像的最佳分割阈值。

2） 最大熵算法

J N Kapur [10]等人成功地将信息论中的最大熵原理应用于图像阈值的分割，通过计算各级灰度的熵，找出目标和背景灰度分布的信息量最大的灰度級，找出最佳阈值。

设灰度图像灰度级是L，则灰度范围为[0，L-1]：先求出目标和背景的熵值，再求目标和背景的熵之和最大值。其中目标的熵值如式2所示，背景的熵值如式3所示，式4即为最大熵值。

[H1（t）=i=0t-1-（p[i]/w0（t））*log（p[i]/w0（t））] （2）

[H2（t）=i=tL-1-（p[i]/w1（t））*log（p[i]/w1（t））] （3）

[H=Max（H1（t）+H2（t））] （4）

变量说明：分割的阈值为t时，w0为背景在整幅图像灰度所占比例，w1为前景在整幅图像灰度所占比例，p[i]为灰度值i的概率值，H1为背景的熵值，H2为目标的熵值。

使表达式H的值为最大，此时的t即为分割图像的最佳阈值。

3） 多阈值最大类方差算法

王磊[11]等人把最大类方差的方法应用在多阈值上。众所周知在多阈值中如何自动的确定阈值个数一直是一个难题。王磊等人自己定义了一个确定阈值个数的公式如式5所示。

[SF=σBCνT] （5）

式中：[νT=i=0L-1（i-μT）2pi]。[νT]为图像的总方差。类间为[σBC]，如下式6所示：

[σBC=ω0（μ0-μT）2+…+ωn（μn-μT）2 +…+ωm-1（μm-1-μT）2] （6）

假设把图像分割成了m块，w即为各个区域的比例，u为各个区域内的平均灰度值，uT是整幅图像的总平均灰度值。

SF的值用来度量已经存在的类之间的分离程度，它的值越大则说明这些类之间的分离性越强。SF的取值范围为[[0…1]]，当SF趋向于1时，图像中的类就被完全的分离出来了，既类间方差[σBC]也取得最大值。这样图像中的类的个数以及分割阈值的个数就可以自适应的确定出来。

他们的分割思想是：首先使用OTSU算法对图像进行分类，计算出该次分类的最大类间方差和SF的值，如果SF的值满足一定的结束条件，就退出。否则，就在已存在的类中找到具有最大类内方差的那个类，将它作为下一个要分割的类。对这个类使用局部OTSU算法分割出新的类，然后从新计算最大类间方差和SF的值，直到SF满足结束条件为止。

4） 二维OTSU算法

刘健庄[2]等人把OTSU算法从一维直方图推广到二维直方图，二维OTSU算法除了考虑像素点的灰度信息外还考虑了像素点与其领域的空间相关信息。与一维OTSU算法相比，在有强噪声的图像中，二维的OTSU算法能有较好的抗噪声的能力。

假设图像的灰度分为L级，那么像素的领域平均灰度也分为L级，对每个像素点计算其领域平均灰度，由此形成一个二元组：像素点的灰度值和它的领域平均灰度值，设二元组（i，j）出现的频率为fij，可以定义相应的联合概率密度Pij如下式7所示：

[Ρij=fij/N，（i，j=0，1，…，L-1）] （7）

式中N为图像的像素点个数，并且[i=0L-1j=0L-1pij=1]。

假设在二维直方图存在两类C0和C1，它们分别代表目标和背景，具有两个不同的概率密度函数分布。设分割阈值为（s，t），那么这两类出现的概率分别为下式8和式9所示：

[w0=Pr（C0）=i=0sj=0tpij=w0（s，t）] （8）

[w1=Pr（C1）=i=s+1L-1j=t+1L-1pij=w1（s，t）] （9）

这两个类所对应的均值矢量是为下式10和式11所示：

[μ0=（μ0i，μ0j）T=（i=0siPr（i/C0），j=0tjPr（j/C0））T =（i=0sj=0tipij/ω0，i=0sj=0tjpij/ω0）T =（μi（s，t）/ω0（s，t），μj（s，t）/ω0（s，t））T] （10）

[μ1=（μ1i，μ1j）T=（i=s+1L-1iPr（i/C1），j=t+1L-1jPr（j/C1））T =（i=s+1L-1j=t+1L-1ipij/ω1，i=s+！L-1j=t+1L-1jpij/ω1）T =（μi（s，t）/ω1（s，t），μj（s，t）/ω1（s，t））T] （11）

在二维直方图上总的均值为下式12所示：

[μT=（μTi，μTj）T =（i=0L-1j=0L-1ipij，i=0L-1j=0L-1jpij）T] （12）

在理想的情况，远离直方图对角线的概率是很小的几乎可以忽略不计，所以可以合理地假设在两个区域：[i=s+1，…，L-1]，[j=0，…，t]；[i=0，…s]，[j=t+1，…，L-1]有[pij≈0]。此时很容易证明下面的关系成立：

[ω0+ω1≈1，μT≈ω0μ0+ω1μ1]

定义一个离散度矩阵，即为下式13所示：

[σB=ω0[（μ0-μT）（μ0-μT）T] +ω1[（μ1-μT）（μ1-μT）T]] （13）

用离散度矩阵的迹作为背景和目标类的离散度的测度，其式14所示：

[Tr（σB）=ω0[（μ0i-μTi）2+（μ0j-μTj）2] +ω1[（μ1i-μTi）2+（μ1j-μTj）2]] （14）

当这个离散度矩阵的迹为最大值即为取得最优分割阈值为[（s'，t'）]，既

[Tr（s'，t'）=Max（Tr（s，t）），0≤s，t≤L-1] （15）

5） 二维最大熵算法

A S Abutaleb[12]等人在一维最佳熵的基础上得到了二维最大熵的方法。后面的研究者又把该算法进行了发展和完善，该文就叙述一下完善的二维最大熵的算法。

二维最大熵算法中多出来的一维也是像素點领域的均值，所以求联合概率是和二维OSTU算法一样，这里就不做重复叙述了。接上面二维OTSU算法求C0和C1概率w0和w1。二维最大熵算法也是和二维OSTU算法一样有一个很重要的假设前提，就是w0加w1的和约等于1。所以可以求出C0和C1的熵值如式16和式17所示：

[HC0（s，t）=-i=0sj=0tpijw0logpijw0] （16）

[HC1（s，t）=-i=s+1L-1j=t+1L-1pijw1logpijw1] （17）

所以总的熵为：

[H（s，t）=HC0（s，t）+HC1（s，t）] （18）

根据最大熵原理，存在一个阈值（s*，t*）使得H（s*，t*）取得最大值既：

[H（s*，t*）=Max（H（s，t））] （19）

所以（s*，t*）既我们所取的最佳分割阈值。

2 总结

一维OTSU既是大津法的计算简单，也不受图像亮度和对比度的影响，能对一幅图片有很好的分割。但是因为其主要是考虑灰度值，对于一些噪声比较强的图像分割效果就不是很好了。也正是出于这个方面的考虑，刘健庄等人提出了二维的OTSU，该算法解决了噪声的干扰的问题，但是把维度的增加，时间的开销就自然的增加。无论是几维的OTSU对图像进行分割，但是从数学的角度来说，都是比较简单，使用如此简单的方法得到如此好的分割效果确实不容易的一件事情。所以OTSU方法看似简单，却又不简单之处。

J N Kapur等人提出的最大熵的图像分割算法成功地把信息论原理和图像分割相结合，这不得不说是一个了不起的思想，并且得到了较好的分割效果。但是最大熵的方法也只是和灰度值出现的概率有关，却和像素点的灰度值大小没有关系，这确实是一个遗憾。A S Abutaleb等人提出的二维最大熵分割算法同样是为了解决强噪声的干扰问题，但同样是时间复杂度增加的老问题。还有就是基于二维直方图的图像分割算法都是基于一个很理想的想法，W0和W1相加约等于1。但是当图像的噪音越强时，W0和W1相加却不可能达到1有的甚至一半都达不到，这样所产生误差就变得很大，从而影响分割效果。

上一节中提到过的王磊等人的研究。多阈值的最大类方差分割方法能把图像的信息更多地保留了下来，能得到更好的效果。但是这对于我们分析图像就会出现不小的困难，因为不能确定那些信息是更有效的。多阈值的分割就像是把图像灰度级下降了一样，多余多目标的分割却有很好的用处。

我们从上面的分析可以看得出，各种分割方法有各自己的特点，对图像分割也有不同的要求，但所分割图像都为灰度图像。阈值法分割在将来应该向彩色图像、纹理图像等一些更加特殊的图像上的应用。因为彩色图像和纹理图像是图像中分割的热点和难点，是众多图像研究者所关心的内容。

参考文献：

[1] OTSU N. A Threshold Selection Method from Gray-level Histogram [J]. IEEE Trans on Systems， Man and Cybernetics， 1979， 9（1）： 62-66.

[2] 刘健庄，栗文青.灰度图像的二维Otsu自动阈值分割法[J].自动化学报，1993，19（1）：101-105 .

[3] 景晓军，李剑峰，刘郁林.一种基于三维最大类间方差的图像分割算法[J].电子学报，2003，31（9）：1281-1285.

[4] Yen JC，Chang F J，Chang S.A New Criterion for Automatic Multilevel Thresholding.IEEE Trans on Image Processing ，1995，4（3）：370-377.

[5] Papamarkos N，Gatos B.A New Approach for Multilevel Threshold Selection.CVGIP：Graphic Models and Image Processing.1994，56：357-370.

[6] Li L，Gong J，Chen W.Grey-Level Image Thresholding Based on Fisher Linear Projection of Two-Dimensional Ilistogram.Pattern Recognition，1997，30（5）：743-750

[7] Sahoo P，Wilkins C，Yeager J.Threshold Selection Using Renyi's Entropy.Pattern Recognition，1997，30（1）：71-84.

[8] Brink A D.Thresholding of Digital Images Using Two-Dimensional Entropies.Pattern Recognition，1992，25（8）：803-808.

[9] Cheng H D，Chen J R，Li J G.Threshold Selection Based on Fuzzy c-Partition Entropy Approach.Pattern Recognition，1998，31（7）：857-870.[10]A S Abutaleb.Automatic Thresholding of Gray-level Picturesusing Two-dimensional Entropy[J].Computer Vision，Graphics and Image Processing，1989，47（1）.

[11] 王磊，段會川.Otsu方法在多阈值图像分割中的应用[J].计算机工程与设计，2008，29（11）：2844-2972.

[12] Kapur J N，Sahoo P K，Wong A K C .A New Method of Gray-level Picture Thresholding using the Entropy of the Histogram[J].Computer Vision，Graphics and Image Processing，1985，29（2）.