重频结构大修改动力重分析的矩阵摄动法*

刘志军， 王晓军， 干为民

(常州工学院江苏省数字化电化学加工重点建设实验室 常州，213002)



重频结构大修改动力重分析的矩阵摄动法*

刘志军， 王晓军， 干为民

(常州工学院江苏省数字化电化学加工重点建设实验室 常州，213002)

为拓展矩阵摄动法在结构重分析中的适用范围，提高重分析计算精度，针对重频结构参数大修改提出了重频结构动力重分析的矩阵摄动法。采用高次增量法将反映重频结构参数改变的质量矩阵和刚度矩阵的增量分别表示为小参数ε的一次与二次幂项之和，根据矩阵摄动理论推导得到重特征值的二阶摄动解及相应特征向量的一阶摄动解。数值算例表明，所提出方法极大提高了重频结构大修改下的动力重分析计算精度。

重频结构； 结构动力重分析； 结构大修改； 矩阵摄动法

引 言

在结构动态设计过程中，反复修改后结构的计算问题成为了主要困难，重分析方法能够用来减少计算量，提高工作效率，受到了广泛的重视和研究[1-6]。工程实际中常会有重频率的退化系统，例如，飞机、宇航飞行器和海洋平台等比较复杂的空间结构[7-10]。当结构具有重特征值时，已有的孤立特征值的矩阵摄动理论不能直接应用，而密集频率结构振动分析的矩阵摄动问题往往是将密集模态处理成为重频模态来进行研究[1,11]，因此研究重频结构大修改动力重分析的矩阵摄动法具有重要意义。

重特征值结构参数变化后，原来的一组重特征值可能分离为非重特征值，特征向量可能产生跳跃现象。确定重频的特征向量的一阶摄动需要用到二阶摄动方程，如果重特征值的一阶摄动量仍然是重的，就需要使用高阶摄动方程才能确定特征向量的一阶摄动量[1]。传统经典矩阵摄动法将结构修改后的质量矩阵和刚度矩阵的增量分别表示为小参数ε的一次幂项形式，而重特征值的一阶摄动解与小参数平方ε2对应的二阶摄动方程相关，因此仅适用于结构的小修改重分析。当结构参数修改较大时，计算精度变差甚至变得没有意义。笔者提出重频结构大修改动力学重分析的矩阵摄动法，采用高次增量法将反映重频结构参数改变的质量矩阵和刚度矩阵的增量分别表示为小参数ε的高次幂项之和，结构修改后的质量矩阵和刚度矩阵，与其特征值和特征向量一样，同时进行高阶摄动展开。根据矩阵摄动理论推导得到重频特征值及特征向量的一阶摄动解，极大提高了重频结构大修改下的重分析计算精度。

1 重频结构的改进矩阵摄动法

考虑结构振动特征值问题

其中：K0和M0为n×n的实对称矩阵；Λ0为特征值对角阵；U0为n×n的模态矩阵。

设结构修改后的质量矩阵M、刚度矩阵K由下式表示

M=M0+εM1+ε2M2

(3)

K=K0+εK1+ε2K2

(4)

其中：εM1+ε2M2和εK1+ε2K2分别代表原系统的质量矩阵M0和刚度矩阵K0的变化；M1和M2分别为质量矩阵的一阶摄动和二阶摄动；K1和K2分别为刚度矩阵的一阶摄动和二阶摄动。

ε不必是小参数，与ε=0对应的系统称为原系统。

当εM1+ε2M2→0和εK1+ε2K2→0时，M→M0，K→K0。

结构修改后相应的特征值问题为

(K0+εK1+ε2K2)U=(M0+εM1+ε2M2)UΛ

(5)

UT(M0+εM1+ε2M2)U=I

(6)

设原结构有一m重特征值λ0=λ01=λ02=…λ0m，其相应的特征向量为u01，u02，…，u0m，其余特征值为孤立特征值。u0j(j=1,2,…,m)的线性组合仍为该重特征值的特征向量，即

其中：αj为未知的待定系数。

摄动后的结构的重特征值和特征向量可表示为

Λm=Λ0+εΛ1+ε2Λ2

(11)

UADA)=U0mα+ε(U0mαCm+UACA)+ε2(U0mαDm+UADA)

(12)

其中：UA为n×(n-m)的矩阵，其中各列为除U0m之外的其他特征向量矩阵；Λm为m×m的摄动后的特征值对角阵；Λ1和Λ2为m×m的重特征值Λ0的一阶和二阶摄动对角阵；Cm，Dm和Em为m×m待定的展开系数矩阵；CA，DA和EA为(n-m)×m待定的展开系数矩阵。

将式(11，12)代入式(5，6)，并用Um和Λm代替U和Λ，比较ε的同次幂系数，可得

ε2: (K0-λ0M0)(U0mαDm+UADA)+(K1-λ0M1)×(U0mαCm+UACA)+(K2-λ0M2)U0mα=M0U0m×α(CmΛ1+Λ2)+M0UACAΛ1+M1U0mαΛ1

(17)

方程(13)～(17)就是确定Λ1，U1，Λ2和α的基本方程。

1.1 特征值一阶摄动Λ1的确定

Wα=αΛ1

(18)

其中

(19)

求解特征值问题(18)可得到Λ1和α。

如果矩阵W无重特征值，则α可唯一确定；如果W有重特征值，就要补充高阶摄动方程才能确定α。矩阵W无重特征值时有λ1i≠λ1j(i≠j)，其中，λ1k(0

1.2 特征向量一阶摄动U1的确定

特征向量一阶摄动U1为

U1=U0mαCm+UACA

(20)

(21)

(22)

由于矩阵CmΛ1-Λ1Cm的对角元素为零，而Λ2的非对角元素为零，故可求出

Λ2=diag(R11,R22,…,Rmm)

(23)

(24)

由式(16)可得

(25)

其中

(26)

由式(25)可知

(27)

2 数值算例

如图1所示的一个二自由度的系统，由3个弹簧支承的质点m在x1x2平面内微幅振动，取质点质量m=1 kg，当3个弹簧的刚度系数相同，取k1=k2=k3=1 N/m，这时该二自由度系统的两个特征值相等，即λ1=λ2=1.5，相应特征向量u1=[1 0]T，u2=[0 1]T。

为了研究当结构参数改变时本研究方法的计算精度，假设质点质量的改变量从10%增加到60%，而第3个弹簧刚度改变量从-10%减少到-60%。与式(3,4)相应的摄动质量矩阵和刚度矩阵分别为

图1 二自由度弹簧质点系统Fig.1 Mass-spring system with 2 degrees of freedom

将笔者提出的方法与文献[1]中的重频结构经典摄动解进行比较，定义固有频率相对误差err=(|ω-ωa|/ωa)×100%，其中：ωa为结构修改后的精确固有频率；ω为用重分析方法计算得到的结构修改后的固有频率。表1列举了1，2阶固有频率的计算结果。

从表1中的数值结果可以看出，无论重频结构参数改变多少， 按笔者摄动分析方法给出的重分析结果远远好于按重特征值经典摄动法给出的结果。

例如，当质点质量增加20%而第3个弹簧的刚度系数减少20%时，按笔者摄动分析方法给出的第1阶特征值和第2阶特征值的重分析相对误差分别为0.054 2%和0.028 2%，而按重特征值经典摄动法给出的第1阶特征值和第2阶特征值的重分析相对误差分别为1.538 5%和0.800 0%。随着重频结构参数改变增大，两种方法计算误差均有所增大；当重频结构参数改变30%时，采用重特征值经典摄动法计算得到的两阶固有频率的最大相对误差超过5.6%，而笔者方法在重频结构参数改变40%时计算得到的两阶固有频率的最大相对误差不超过0.3%，相同计算精度要求下，笔者方法的适用范围更广；当重频结构参数改变量超过30%以后，经典摄动法的重分析计算结果误差急剧增大，因此重特征值经典二阶摄动法的适用范围是重频结构参数改变量在30%之内，而笔者方法在重频结构参数改变60%时重分析计算得到的两阶固有频率的最大相对误差也未超过3.8%，因此笔者方法的适用范围更广，适用于重频结构大修改情况。

表1 固有频率比较

3 结束语

笔者提出了一种应用高次增量法来提高摄动解的精度并扩大其适用范围的重频结构动力重分析方法，该方法保留了经典摄动法简单易行的特点，比文献[1]中的经典方法只增加了少许的计算量，但计算精度和效率却有了很大的提高。数值算例结果表明，笔者提出的方法具有很高的重分析精度，能够用来解决重频结构大修改情况下的近似重分析问题。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.005

*国家重点基础研究发展计划(“九七三”计划)资助项目(2010CB736104)；常州工学院自然科学基金资助项目(YN1407)

2013-07-29；

2013-09-25

O302

刘志军，男，1976年4月生，博士后、副教授。主要研究方向为结构动力学分析与优化设计。曾发表《索力振动测量的传递矩阵法》(《振动与冲击》2011年第30卷第10期)等论文。 E-mail:uliuzj@163.com