运用运动的观点来解决数学问题

王胜军

摘 要：运动是永恒的，静止是相对的，用运动变化的观点看事物，往往最能把握事物间的本质联系。如立体几何中的点到线、线到面、面到面的距离，变化的根本原因在一个“动”字。对于数学问题也要用运动变化的观点来研究，尤其是那些与运动有关的问题。

关键词：运动的观点 数学问题 变化 本质

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（c）-0126-02

在哲学中，运动是指宇宙间一切事物现象的变化和过程 ，运动是物质的固有属性和存在方式，运动是物质的运动，运动是无条件的永恒的绝对的，静止是有条件的暂时的相对的，静止时运动的一种特殊状态，任何物质都是绝对运动和相对静止的统一。在物理学中，经常研究一些物体的变化，得出其中的运动规律。同样，在数学领域中，运动变换的思想是学习数学、认识数学的重要思想，运动变换的问题是数学中十分普遍的问题.在平面解析几何中，轨迹、曲线系、曲线的形状和位置关系等问题，都蕴含了运动和变换的思想方法，这些数学内容都在更为抽象的层面上揭示了代数变换和几何变换的相互联系，对于深化理解概念、开阔解题思路具有重要的作用，在近几年的高考数学中也逐步加大了对运动变换思想方法的考查力度。一些问题蕴含在点、线、面以及图形的运动过程中，只有通过运动的观点去研究问题，才能找到解决问题的关键所在。

1 在运动过程中抓住特征量的变化

例1：已知三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，求此三棱锥体积的范围。

分析：由题意可知，ΔPAB与ΔPAC为全等的正三角形，边长为a。而棱BC边长在变化，设点C到面PAB的距离为d，则若把ΔPAB固定，则ΔPAC绕直线AP旋转，在这个旋转过程中，ΔPAB与ΔPAC重合时，d=0，若ΔPAB与ΔPAC所在面垂直时，d达到最大值a，0<。

例2，已知抛物线y=x-上两点A、B的横坐标分别是-1，1，在抛物线弧AB上求点C，使ΔABC的面积取最大值。

分析：设点C到直线AB的距离为d，则=|AB|·d，过点C作直线l‖AB，l到AB的距离也为d，当C在弧上运动时，直线l与AB的距离最大即d最大，由A（-1，-2），B（1，0）知，又，令，x=0，则直线l与弧相切与点（0，0），即点C坐标为（0，0），此时d=，=|AB|×=1

以上两个例子，尽管三棱锥，三角形在变化，但只要抓住它们的特征量，即它们的高，研究其特征量的变化，问题就会迎刃而解。

2 在运动过程中抓住“临界状态”

例3，已知圆E：，点F（），P是圆E上任意一点。线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q。

（1） 求动点Q的轨迹M的方程。

（2） 已知A，B，C是轨迹M上的三个动点，点A在第一象限，B与A关于原点对称，且|CA|=|CB|，问ΔABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由。

解：（1）Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QF|=|QP|，得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4

又EF=2<4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，故动点Q的轨迹方程为。

（2）由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设AB：y=kx（k>0），|CA|=|CB|

C在AB的垂直平分线上，CO：y=-x.由y=kx和得（1+4）x=4，|AB|=2|OA|=2=4，同理可得|OC|=2，=4，，当且仅当k=1时取等号，所以S，当AB：y=x时。

例4，若关于x的方程=有正数解，求实数a的取值范围。

分析：本题运用数形结合的思想，函数y=，y=，函数y=可看成是由函数y=左右平移得到的，在这个平移运动过程中，要满足条件，只要抓住两个“临界状态”：即y=经过点（1，0）和（0，1），即a=0和a=-2，在这两个“临界状态”之间满足要求，-2

可以看出，只要抓住“临界状态”，也就抓住了适合条件和不适合条件的“分水岭”，从而使问题有难到易。

3 在运动过程中建立目标函数

在研究炮弹的运行时，我们可以建立炮弹所处位置与时间的函数关系式，通过对这一目标函数的研究，便能掌握其运动过程。

例5，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0

（1） 求MN的长。

（2） 当a为何值时，MN的长最小。

分析：点M、N分别在AC和BF上运动，CM=BN=a，在这样一个运动过程中MN的长可以表示为关于a的函数，作MP‖DC交BC与P，作NQ‖EF交BE与Q，则四边形MNQP为平行四边形，又由CM=BN=a可得：BP=1-a，BQ=a.MN=PQ==（0

通过对这个函数的研究可以发现：当M从C点开始移动到A的过程中，MN的长先逐渐变小又逐渐变大，并且当a=即MN、为AC、BF的中点时，MN的长最小。

例6，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足|AB|=|EC|，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。

分析：本题中点E在AC上运动，即从AC的处移动到处，从而使双曲线形状引起改变，双曲线的离心率e也随之改变。可以看出，在这个运动过程中，先把点E的坐标表示为的函数，再把点E代入双曲线方程，便可建立起与e的函数关系式。

建立直角坐标系，设A（-c，0），C（，h），E（），由定比分点公式，得到关于的函数将（），C（，h）代入椭圆方程，得到消去，便可得到e关于的函数关系式。E=（）。

可以看出，当点E从AC的处移动到时，离心率e由。

参考文献

[1] 张小雨.用运动的观点解立体几何问题[J].中学生数理化（高二），2007（3）：31-32.

[2] 董秋霞.用运动的观点解高考题[J].数理天地：高中版，2010（11）.

[3] 何志街.用运动、发展的观点探索数学问题[J].数学教学通讯：教师阅读，2007（9）：62-64.