输电塔-调谐质量阻尼器减振系统的一体化设计

张鹏，李宏男，宋钢兵，2，张卓群

(1.大连理工大学建设工程学部，辽宁省大连市 116024; 2.休斯顿大学，美国德克萨斯州 77081；3.国核电力规划设计研究院，北京市 100095)



输电塔-调谐质量阻尼器减振系统的一体化设计

张鹏1，李宏男1，宋钢兵1，2，张卓群3

(1.大连理工大学建设工程学部，辽宁省大连市 116024; 2.休斯顿大学，美国德克萨斯州 77081；3.国核电力规划设计研究院，北京市 100095)

目前使用调谐质量阻尼器(tuned mass damper,TMD)对输电塔进行振动控制时，仅针对设计好的塔设计TMD，常忽略TMD对结构动力特性的影响。该文提出把输电塔和TMD视为一个系统，针对整个系统进行一体化设计。以系统传递函数的H∞范数为优化目标，采用遗传算法对角钢截面进行优化。在计算H∞范数时，用串联多质点模型模拟塔架结构以简化计算。为保证优化结果满足静力工况且不增加用钢量，引入惩罚函数来调整个体的适应度。最后以某输电塔为例进行优化计算,结果表明，一体化设计进一步降低了输电塔的地震响应，同时能保证结构满足静力工况且总质量不超过原设计的用钢量。该方法不需要求解时域响应，计算效率较高。

输电塔架；H∞范数；遗传算法；地震响应；截面优化；调谐质量阻尼器(TMD)；一体化设计

0 引 言

输电塔结构是输电线路的物理载体，属于对国民经济运行具有重大意义的生命线工程。然而，输电塔是一种高柔、低阻尼结构，对于地震、强风等动力作用十分敏感，容易发生疲劳损伤甚至极端条件下的动态倒塌破坏。因此，采取有效措施降低输电塔的动力响应，提高其可靠性和安全性，对于保障输电线路安全稳定运行具有重要意义。

目前已有多种用于输电塔减震的装置，其中调谐质量阻尼器(tuned mass damper, TMD)因其形式简单、安装方便、减振效果明显，得到了广泛关注。胡松[1]以江阴长江大跨越输电塔为背景,研究了多重调谐质量阻尼器(multiple tuned mass damper, MTMD)的减振效果。曹枚根等[2]在塔头横担上放置弹簧-导轨式TMD，分析了在El Centro地震动下的控制效果，仿真结果表明地震作用下铁塔位移、加速度均有较大程度减小。李黎等[3]设计了一种质量板在4个球面上滑动的FPS型MTMD减震系统，该装置限位和复位性能好，能有效降低塔顶位移的最大值和均方根值。翟长海等[4]分析了单塔和塔-线耦合体系的动力性能，提出大跨越输电塔-线体系减震控制中考虑塔-线耦合效应，能够更好地发挥TMD的振动控制作用。然而，上述文献均针对已经设计好的输电塔来设计TMD，TMD设计完成后不再对输电塔作进一步优化。如果能将输电塔和TMD视为一个系统，用结构优化方法对输电塔-TMD减振系统进行一体化设计，可能会更有效地降低输电塔结构的地震响应，提高其安全性和可靠性。

目前对于输电塔结构优化设计已有大量研究。国外，Kristina等[5]以静力作用下的应力和位移为约束条件，用模拟退火法对 63.4 m 的干字塔进行了结构优化；Luh等[6]采用蚁群算法对某72杆空间桁架进行了优化；Sivakumar等[7]采用遗传算法，并基于离散变量对构件截面尺寸进行了优化；Natarajan等[8]和Viswesara等[9]分别基于连续变量对输电塔结构的杆件截面尺寸和形状优化进行了研究。国内，易少华等[10]将遗传算法与BP神经网络结合，对25杆塔进行结构优化。在计算适应度函数时用神经网络替代有限元计算，提高了计算效率。张卓群等[11]将输电塔的拓扑优化转化为双TSP问题，引入了拓扑量和拓扑总量作为结构拓扑变化的评判标准，采用蚁群算法对25杆输电塔结构进行了优化，优化结果好于传统的差商算法。然而，上述文献均以最小用钢量为目标，将荷载作为约束条件。对于可能引起输电塔过大响应的动力作用，上述文献大多将其简化为拟静力荷载，忽略了其动力特性，并不科学。此外，TMD通过吸振来降低结构动力响应，采用拟静力荷载无法反映TMD的减振效果。如何找到一种能反映系统动力性能的指标作为优化目标，是实现输电塔-TMD系统一体化优化所亟待解决的问题。

在结构振动控制领域，H∞范数作为结构动力性能指标，已经被应用于阻尼器的参数优化[12]和位置优化[13]。H∞范数表征系统频域响应的最大奇异值的峰值，当H∞范数最小时，系统输出的能量度量最小，响应相对较小。采用H∞范数作为结构优化的目标函数，可以避免求解时域响应，适用于输电塔-TMD系统的一体化设计。

本文拟用H∞范数作为目标函数，采用遗传算法对输电塔-TMD减振系统进行一体化动力优化设计。在计算适应度函数时引入惩罚函数，以避免用钢量过大或不满足静力及拟静力工况。

1 输电塔-TMD系统优化模型

1.1 输电塔结构的简化模型

输电塔结构一般由多种不同截面的角钢或钢管组成，其有限元模型节点多，构件多，自由度数目大，计算复杂，难以直接用于优化计算。串联多质点系力学模型，是输电塔-线体系动力响应计算分析中广泛采用的一种简化模型[14]。其采用了质量集中、刚度等效等简化方法缩减结构的自由度数目，且能达到较高精度。具体方法简述如下：

(1)根据输电塔结构特点,从下到上划分为n个节点层。

(2)将角钢构件的质量集中到相应节点，得到质量矩阵Mt。

(3)在各层节点上施加单位力，从而得到各层节点的线位移；将其写成矩阵形式，得到柔度矩阵；对柔度矩阵求逆即可得到刚度矩阵Kt。

(4)假设结构阻尼为Rayleigh阻尼，由Mt和Kt的线性组合可得到阻尼矩阵Ct。

1.2 输电塔-TMD系统模型

按照1.1节得到输电塔结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵后开始设计TMD。首先需要确定的是TMD对结构的质量比μ。根据文献[15]，质量比越大，TMD的惯性力越大，控制效果越好。但当μ超过2%～3%后，继续增大质量比减振效果不会显著增加。因此本文中μ取为2%。TMD对输电塔的频率比和阻尼比可按式(1)、(2)计算：

(1)

(2)

根据fopt、ξopt和输电塔的圆频率ωT，可以计算TMD的圆频率、弹簧刚度和阻尼，如式(3)～(5)所示。

ωTMD=ωTfopt

(3)

kTMD=mTMD/(ωTMD)2

(4)

cTMD=2ξoptωTMDmTMD

(5)

式中mTMD为TMD的质量。

因为输电塔的地震响应以一阶振型为主[16]，一阶振型的最大位置在输电塔顶部。因此，TMD应该安置在塔顶，控制第n个节点的运动。输电塔-TMD系统的质量、阻尼和刚度矩阵M、C和K可写为

(6)

(7)

(8)

式中：mt(i,j)、ct(i,j)和kt(i,j)是由2.1节得到的矩阵Mt、Ct和Kt中的元素。

输电塔-TMD系统的运动方程可写为

(9)

1.3 系统传递函数的H∞范数

将式(9)转换为状态空间描述：

(10)

对式(10)进行拉普拉斯变换，可得到其传递函数表达式为

(11)

式中s为传递函数T的自变量。

H∞范数定义为

‖T(s)‖

(12)

式中σmax为最大奇异值，sup表示上界。

H∞范数表征系统频率响应的最大奇异值的峰值，反映系统输出和输入能量度量的比值。当H∞范数最小时，系统的输出能量最小，响应也最小。

H∞范数反应的是系统在整个频域的响应峰值，而工程上只对有限的频率范围感兴趣。此外，由于地震动输入具有一定频谱特性，应当对H∞范数进行频域加权，具体如下：在结构前面串联一个满足一定频谱的滤波器，将滤波器和结构视为一个总系统，将单纯求解结构的H∞范数转为求解总系统的H∞范数。由于本文以地震作用为控制目标，因此加权采用反映各类场地地震特性的Kanai-Tajimi谱。

(13)

式中：S0是谱强度因子，反应地震动强弱程度；ζg和ωg分别表示覆土的卓越频率和阻尼比。根据文献[17]，式(13)中的谱模型参数取值如表1所示。

表1 Kanai-Tajimi功率谱模型参数

Table 1 Parameters of Kanai-Tajimi power spectrum model

2 采用遗传算法求解H∞范数最小值

本文提出以输电塔-TMD减振系统的H∞范数为优化目标，求解H∞范数的最小值可以采用多种搜索方法，这里采取模拟自然进化过程的遗传算法[18]，该方法具有全局搜索能力。

用遗传算法实现输电塔-TMD系统的一体化优化设计就是把输电塔-TMD系统的所有可能的设计方案看成一个生物种群可能出现的所有个体，每个个体具有一组基因，对应一套结构设计方案。利用第1节所述方法可以计算得到每个个体的H∞范数(即适应度函数)。利用遗传算法的选择算子可以让H∞范数小的个体的基因在种群中扩散，并在迭代进化过程中取得统治地位，最终可以得到H∞范数最小的个体，即得到最优设计方案。

如图1所示，遗传算法在输电塔-TMD系统一体化优化中的应用可以分为以下几个步骤：

(1)构件分组。由于输电塔结构多为平面对称结构，而且在施工时相邻杆件大多使用相同截面，将构件进行分组可以有效减少设计变量数目，且便于施工。

(2)生成初始种群。随机生成若干个体作为初始种群，每个个体对应一种输电塔设计方案。个体的编码采用二进制编码，每个二进制数对应一个可能的角钢截面。

(3)计算适应度函数。首先，对种群中的每个个体进行解码，将每个个体的二进制编码串转换成各个杆件的角钢截面，即得到该个体所对应的输电塔设计方案。然后，针对每个方案，用1.1节中所述方法得到该方案输电塔的质量、阻尼和刚度矩阵。之后，使用1.2节中所述公式设计该方案输电塔的TMD，并得到输电塔-TMD系统的质量、阻尼和刚度矩阵。最后按照1.3节中所述方法计算传递函数及其H∞范数。由于目的是H∞范数最小化，因此适应度函数应取H∞范数的倒数。

图1 一体化优化流程图Fig.1 Flow chart of integrated optimization

为保证优化结果满足静力工况要求且用钢量不增加，本文引入惩罚机制，即计算结构的静力响应和总质量，若不满足静力或拟静力工况(杆件应力过大或失稳)或用钢量超过满应力法优化结果，则适应度函数取为0。

(4)选择、交叉和变异，生成下一代种群。按照第(3)步得到的适应度函数，利用选择算子对种群中的个体进行优胜劣汰，保留适应度高的(即H∞范数小的)个体。然后利用交叉和变异算子让存留个体进行繁殖，生成下一代种群。经过这样运算，适应度高的个体基因得到了扩展，若干次迭代后会得到适应度最高的个体。

(5)验证是否满足终止条件。满足则输出最优个体，否则返回(3)继续迭代。

上述步骤可利用MATLAB遗传算法优化工具箱(GAOT)编程实现。

3 数值算例及分析

3.1 结构模型

选取3560ZS2上字型直线塔[19]作为本文优化对象，如图2所示，该塔用于60 kV送电线路，产品代号为772。导线采用LGJ-150，避雷线采用GJ-35，水平档距为350 m，最大设计风速为30 m/s，覆冰厚度为10 mm。等效静力荷载(单位为kg)如图3所示[19]。场地类别为Ⅱ类场地。

图2 直线塔(型号3560ZS2)Fig.2 Tangent Tower (3560ZS2)

图3 3560ZS2上字型塔等效静力荷载Fig.3 Equivalent static load on 3560ZS2 ‘上’-type tower

3.2 优化方法及优化结果

为减少优化变量数并便于施工，将角钢构件按位置和类型分为10组，如表2所示。每组构件选取相同的角钢截面。遗传算法仅针对这10个角钢截面进行优化。适应度函数取H∞范数的倒数；对不满足图3所示静力工况的个体(杆件应力过大或失稳)，将其适应度函数值降为0。初始种群大小为300个，进化代数为100代，交叉概率取0.95，变异概率取0.05。

表2 角钢构件分组

Table 2 Angle steel classification

图4给出了种群的进化过程。初始种群中，最优个体的H∞范数为0.47，经过100代进化后降为0.33，减小了29.8%。表3为最终优化结果，由表3可知，塔腿和塔身下部主材、斜材和横隔的截面均有所提高，而塔头主材、塔身上部斜材和横隔的截面有所降低。优化后结构的总质量为747 kg，略低于原设计的758 kg。优化前TMD的质量、阻尼和弹簧刚度分别为15.16 kg、43.48 Ns/m和 12.0 kN/m；优化后参数变为14.94 kg、53.31 Ns/m和17.7 kN/m。

图4 H∞收敛过程Fig.4 Convergence process of H∞ norm表3 优化前后角钢截面Table 3 Angle steel section before and after optimization

3.3 优化结果分析

图5为输电塔从地震动输入到顶层节点位移输出的传递函数频响曲线。图中虚线为原设计的频响曲线，在4.5 Hz处存在一阶振动的峰值。对原设计加装TMD后，该峰值被一分为二，分别位于3.2 Hz和5.2 Hz处。这两处的峰值均小于4.5 Hz处的，说明结构响应得到初步降低。一体化设计对输电塔的角钢构件进行了进一步优化，改变了结构的刚度和频率，两个较小的峰值迁移到3.8 Hz和6.3 Hz处，同时峰值也进一步减小。这说明结构的地震响应也得到进一步降低。

图5 顶层节点频响曲线Fig.5 Frequency response curve of node at tower top

为验证一体化优化对结构减震的效果，选取表4所列的3条Ⅱ类场地地震记录作为激励，并将加速度峰值按照8度罕遇烈度调为400 gal。为节省篇幅，本文仅给出结构在①El Centro地震动下的时程曲线(图6、图7)；其余工况的减震率参见表4。由图6、7可知，一体化设计可进一步降低结构的位移响应。

表4 地震记录

Table 4 Seismic records

表5汇总了3条地震波作用下的结构响应。其中，方案1为原设计不加TMD控制，方案2为原设计加TMD控制，方案3为进行了一体化设计的结构且安装TMD进行控制。以①ElCentro地震动为例，原设计未加TMD时，位移的峰值和均方根值分别为1.95 cm和0.55 cm，安装TMD后分别下降到1.29 cm和0.25 cm，减震率分别为31.5%和50.0%。采用一体化设计方案，响应只有0.87 cm和0.19 cm，减震率分别高达52.6%和66.7%。同样，仅加装TMD可将加速度峰值和均方根降低25.1%和54.3%，而采用一体化设计可将减震率提高到30.4%和55.3%。

图6 El Centro波作用下塔顶位移时程Fig.6 Displacement time history at tower top under El-Centro earthquake

图7 El Centro波作用下塔顶加速度时程Fig.7 Acceleration time history at tower top under El-Centro earthquake表5 减震效果对比Table 5 Comparison of damping effect

4 结 论

(1)基于H∞范数的优化方法，实现了输电塔-TMD系统的一体化设计，经过一体化设计后，输电塔的地震响应得到了进一步降低。

(2)采用系统的H∞范数作为优化的目标函数，避免了在时域求解结构运动方程，提高了计算效率。

(3)引入罚函数，可以保证优化结果满足静力工况且不增加用钢量。

本文仅对结构的截面尺寸进行了优化，如果将结构拓扑构型和几何尺寸纳入优化范围可能会进一步提高输电塔抗震性能。另外，塔-线耦合效应对输电塔-线体系动力特性有较大影响，在一体化设计时如何考虑塔-线耦合作用值得进一步研究。此外，大跨高压输电塔受风振作用明显，如何在进行结构一体化设计时综合考虑风和地震作用这2种动力激励，同样值得进一步研究。

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(编辑：张小飞)

Integrated Design of Transmission Tower-TMD Damping System

ZHANG Peng1, LI Hongnan1, SONG Gangbing1，2, ZHANG Zhuoqun3

(1. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, Liaoning Province, China;2. University of Houston, Texas 77081, USA;3. State Nuclear Electric Power Planning Design & Research Institute, Beijing 100095, China)

A tuned mass damper (TMD) is often used to reduce the seismic response of transmission tower, which is designed based on the previously designed tower, so the influence of TMD on the structural dynamic characteristics is often neglected. This paper proposed an integrated design method for the transmission tower-TMD system, which selected the H∞ norm of system transfer function as the optimization objective, and used Genetic algorithm (GA) to optimize the section of angle steel. The multi-degree-freedom model was adapted to simulate tower structure to simplify the calculation of its H∞ norm. In order that the optimized structure satisfied the static loads and the total mass was not increased, the penalty function was also introduced to adjust the GA fitness. Taking the structure of a practical tower as example, the optimization calculation result shows that the proposed integrated design can further reduce the seismic response of transmission tower, with the static load case satisfied and the same total mass. This method avoids calculating the time domain response, and thus has high computation efficiency.

transmission tower; H∞ norm; genetic algorithm; seismic response; section optimization; tuned mass damper(TMD); integrated design

TM 753

A

1000-7229(2015)05-0084-07

10.3969/j.issn.1000-7229.2015.05.014

2015-01-15

2015-02-09

张鹏(1984)，男，博士生，主要研究方向为输电塔设计及减振；

李宏男(1957)，男，博士，教授，主要研究方向为结构监测控制；

宋钢兵(1968)，男，博士，教授，主要研究方向为智能材料与结构；

张卓群(1985)，男，博士，工程师，主要从事输电塔设计方面工作。