基于差分曲率的非局部均值图像降噪算法

孙未雅，张 权，白云蛟，张 芳，董婵婵，何 琳，桂志国

（1．中北大学 电子测试技术国家重点实验室，山西 太原030051；2．中北大学 仪器科学与动态测试教育部重点实验室，山西 太原030051）

0 引 言

近年来随着个人计算机、数字通信、多媒体和网络技术的发展，数字图像和数字视频日益成为信息最重要的载体之一，人们对高清数字图像质量的要求也随之越来越高，然而图像在获取与传输的过程中，往往会增加不必要的噪声，这促使图像去噪的研究变得越发重要．近年来，越来越多的图像去噪算法被提出［1－4］．目前主要有基于小波变 换［5－7］和 偏 微 分 方 程［8－10］的 两 大 类 去 噪 算法．基于小波变换的去噪方法具有良好地保留纹理细节能力，但易引入光环效应．基于偏微分方程的去噪算法利用梯度算子进行各向异性扩散，达到去噪和保留细节，但易引入阶梯效应．自从Buades等［11］于2005 年 首 次 提 出 非 局 部 均 值（Non－Local Mean，NLM）去噪算法，邻域图像块的相似性被应用在图像去噪中，引起了人们广泛的研究兴趣．该算法的基本原理是采用图像邻域间的自相似性构造权重进而恢复原始图像．已有研究者在NLM 降噪基础上针对图像块间相似性度量准则等问题，提出了很多性能良好的降噪方法．Chaudhury［12］提出了NLEM（Non－Local Euclidean Medians）算法，该算法利用欧氏中位数替换欧氏距离来衡量图像块之间的相似性．Deledalle等［13］通过更新权值系数达到较好的降噪效果，提出了一种基于最大似然（Probabilistic Patch Based）降噪方法．Kervrann等［14］从相似性度量和参数优化两个方面对NLM 方法进行了改进，提出了优化的空间自适应（Optimal Spatial Adaptation）NLM 方法，实现了有效的图像去噪．上述算法对NLM 的性能都有一定的改进效果．

本文在传统非局部均值滤波算法的基础上，结合差分曲率算子，提出了一种新的非局部均值降噪算法．并将其应用于多幅受高斯噪声污染的图像中，验证了算法的有效性和可行性．

1 传统非局部均值算法

在图像中的每一个像素点，都不是孤立存在的．它与图像中的某些信息，具有高度的相关性，不仅具有灰度方面相似性，而且还具有几何结构的相似性，NLM 方法正是基于图像块的相似性，来得到度量的一种图像去噪算法．

设原始无噪图像为u（i），引入的高斯白噪声为n（i），且n（i）～N（0，σ2），则含有噪声的图像模型y（i）可以表示为

非局部去噪的基本原理是建立在对图像的逐块估计上，即每一个像素的估计值都是建立在以这个像素为中心点的相似图像块的加权平均得到的，其算法为

式中：Ω 为搜索区域，在不考虑时间复杂度的情况下，Ω 最大可以为整幅图像，但在非局部均值算法里面一般选取21×21用来降低时间复杂度；˜u（i）是对无噪图像的估计值；W（i，j）为权值系数，表示分别以i和j 为中心的含有噪声的图像块的相似性，其计算公式为

式中：‖·‖22，α为高斯加权的欧氏距离；Z（i）为归一化参数，其计算公式为

在式（3）和（4）中，y（Ni）和y（Nj）分别代表以像素i和j 为中心的图像块，若两图像块相似性越大，权值系数越大；h表示平滑参数，用于控制权值随着欧氏距离的衰减程度．

2 本文算法

传统的NL－means算法只是考虑了图像中居于窗口像素值的相似性，没有考虑图像的纹理几何结构特性，为此，本文引入能区分边缘和斜坡的差分曲率算子，来改善传统的非局部去噪算法．

2．1 差分曲率算子

由于二阶导数在一维信号中，对边缘和斜坡能很好地进行区分［15］，Chen等于2010年提出了一种新的边缘检测算子，将之称为差分曲率检测算子，其表达式为

式中：运算符｜·｜代表绝对值；uαα为沿着梯度方向的二阶导数；uββ为垂直于梯度方向的二阶导数；ux和uy分别表示图像在x 和y 方向的一阶导数．这种边沿检测算子在图像不同的区域中，差分曲率D 的值会有不同的变化，但是却有一个衡量标准：

1）对于图像边缘区域，｜uαα｜会很大，但是｜uββ｜却很小，经过式（5）的计算，将会得出一个较大的D 值．所以在图像边缘区域的像素点，差分曲率D 的值会较大．

2）对于图像平滑区域，｜uαα｜会很小，但是｜uββ｜却很小，经过式（5）的计算，将会得出一个较小的D 值．所以在图像平滑区域的像素点，差分曲率D 的值会较小．

3）对于图像中孤立的噪声，｜uαα｜会很大，但是｜uββ｜也很大，经过式（5）的计算，将会得出一个较小的D 值．所以在图像孤立的噪声点，差分曲率D 的值会较小．

通过求得差分曲率D 的大小值，可以判断出该像素点在图像中，是否属于边缘部分，为图像处理很多方面提供了理论基础．

2．2 算法原理

传统的NL－means算法只是考虑了图像中居于窗口像素值的相似性，没有考虑图像的亮度、纹理等几何特征结构特性．本文所提算法是利用差分曲率算子［16］对图像边缘和斜坡良好的检测性能，将其应用到非局部的权值系数计算中，使其在对图像片相似性进行判断时，得到更加准确的相似性判断，提高算法的去噪性能．

利用上面介绍的差分曲率的求取方法，计算出待处理图像中每个像素的差分曲率值，将其记为D（i）．在传统非局部均值算法基础上，对其权值系数W（i，j）进行如下改进

式中：y（Ni）和y（Nj）分别代表以像素i和j 为中心的图像块；D（Ni）和D（Nj）分别代表以像素i和j 为中心图像块的差分曲率算子；h作为平滑参数，是一个控制指数衰减程度的参数．通过影响权重W（i，j）的大小而决定算法的滤波程度．如果取值太小，则滤除噪声不彻底；如果取值太大，则会导致结果图像过于平滑，即产生过滤波现象．可见，该参数的选择尤为重要．h 选取过小时，降噪效果不明显，选取过大时图像细节会被模糊掉．根据前人的工作［1］，h往往被设定在10σ到15σ之间，运用算法时可以适当调节以达到最优的降噪效果．

2．3 算法步骤

综上所述，本文的具体算法步骤如下：

1）依据式（5）～式（7）计算出图像中各个像素点的差分曲率；

2）根据第1步的计算结果，提取出分别以像素i 和j 为中心图像块的差分曲率算子，设为D（Ni）和D（Nj）；

3）提取出分别以像素i和j 为中心的图像块，并将其设为y（Ni）和y（Nj）；

4）根据式（9）求出归一化参数Z（i）；

5）根据式（8）求出权值系数W（i，j）；

6）将权值系数W（i，j）代入式（2）得到降噪后的图像．

3 实验结果及分析

为了验证本文提出算法的有效性，利用常用的国际标准测试图像进行了一系列的仿真实验．对3 幅典型图像（Lena，Peppers，House），尺寸均为256×256，叠加均值为0，标准差σ不同的高斯白噪声，实验中平滑参数h 被设定为10σ．图1为本文选取的测试图像．

图1 测试图像Fig．1 Test image

图2为对本文的3幅不同的含噪图像（均值为0，标准差σ＝10）的去噪结果比较．在图2（a），（c）和（e）中可以观察到，Lena的帽子，Peppers的阴影区域以及房子的烟囱处发现有过度平滑的表现，帽子的细节部分过度平滑，看不出褶皱的细节，在Peppers中较多的阴影细节，也被平滑掉，House图的烟囱菱角看不出隔断．而对于本文提出的算法，图像的边缘和阴影部分有了较好的保护，图2（b）为经过本文算法处理的Lena图，可以清晰地观察到的帽檐上的细节较原始非局部算法，保留得更好，细节更突出，图2（d）青椒的阴影部分较原算法，表现的细节更明显，图2（f）房子的屋檐和烟囱部分对比原算法，特征突出得更明显．通过与原算法不同的图进行比较，可以看出本文算法对于细节的保留优于传统非局部算法．

图2 不同图像的去噪结果比较Fig．2 Comparison of the denoising results with different images

方法噪声是种图像去噪性能的评价标准，它定义为含噪图像与去噪后的图像差．由含噪图像（均值为0，标准差σ＝10）与去噪后的图像相减得到方法噪声，如图3 所示．由方法噪声可以观察到，本文算法对应的方法噪声更均匀些，滤除的图像细节信息较少．通过对比可知，传统非局部的方法噪声中含有图像细节信息，对比图2可以发现，去噪后图像细节变得模糊．而本文算法得到的方法噪声更接近白噪声，含有更少的细节信息．由方法噪声的性质可知，本文算法的去噪性能更好．

图3 不同图像的方法噪声Fig．3 Method noise of different images

除了主观的评价外，本文采用较常用的峰值信噪比来客观、定量地评价处理后图像的质量．峰值信噪比的定义为

PSNR 是图像信噪比变化情况的统计平均，PSNR 值越大，图像失真越少．在8 位量化的灰度图像中，通常取Peak＝255．

表1 中列出了两种算法对于本文的两幅图像在不同噪声水平下，去噪后图像的峰值信噪比PSNR．通过表1 所列的对比实验数据可以直观地看出，在不同噪声水平上，本文算法在整体降噪性能上（PSNR）均优于原始非局部算法．

上述结果表明，在引入差分曲率算子、考虑了图像的纹理几何结构特性后，本文算法在平滑噪声的同时较好地保留了图像的边缘和细节部分，滤波性能明显提高．与传统的非局部算法相比，优化后的非局部算法的降噪性能有明显的改善．

表1 不同噪声水平在不同图像上的性能比较Tab．1 Performance comparison of different images with various levels of noise

4 结 论

结构信息也是图像的关键属性，但往往图像的结构信息在非局部降噪算法中并没有得到充分的重视．文中将差分曲率算子引入到非局部算法中，利用差分算子对图像边缘和斜坡良好检测性能的特性，提出了一种新的非局部降噪算法．该算法将差分曲率算子应用到图像邻域的相似性度量上，更好地利用了图像邻域间的相似性质，从而在权值的计算中，使图像片之间相似性能的计算更为精准．通过对添加不同噪声水平的噪声图像进行多次实验，其结果表明，本文算法优于传统非局部算法，在降噪性能和边缘信息保持上均有显著提高．

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