层状正方晶格点阵的重正化修正

胡俊丽，段美玲

（中北大学 理学院，山西 太原030051）

0 引 言

重正化群（RG）方法在统计物理中的应用为临界现象的研究提供了有效途径，成为探讨具有标度不变和自相似性的复杂系统的一个有力工具［1－4］，它不仅从微观理论的角度为唯象的标度假设［5］提供依据，同时还为计算临界指数提供了很好的近似方法．其近似程度的好坏，可以通过它所确定的临界温度Tc及临界指数来判定［6］．对一维、二维晶格模型的讨论，许多文献提到过［7－15］，但从实际材料来考虑，层状晶格临界性质的讨论（包括考虑一些因素对临界性质的影响）应该意义更大一些，本文着重计算了层状正方晶格临界指数，讨论各向异性的影响；同时考虑能级和温度作为权重因子的影响，推导出了更为准确的重正化群解．

1 层状正方晶格点阵的临界指数

在层状正方晶格点阵模型中，每层正方晶格点阵如图1 所示，取5个格点组成一个Kadanoff集团［16］，只考虑最近邻相互作用，在相邻层只考虑对应格点间的相互作用，每层有N 个自旋，共有M 层，则伊辛模型的哈密顿量为

图1 五格点Kadanoff集团Fig．1 Kadanoff clusters with five－lattice point

其中

将Heff分为两部分：Heff＝Heff0＋V，其中Heff0只包括各集团内部格点的相互作用，V 表示集团与集团间的相互作用，以及在外磁场中的塞曼能，即

采用中心点正负定集团自旋正负，以S′I表示第I 个集团的自旋，则S′I的一个取值对应16个内部状态，分别用16个内部自由度来表示．定义：式中：∑｛δI｝表示集团自旋分布｛S′I｝确定后对内部自由度求和，则

通过计算可得一阶项：

由式（4），（5）可得：一阶近似下，性化矩阵为：

其中

讨论： 当l＝M （M ＞1）时，所得临界指数与单层情况下（l＝1）完全相同，这是由于各向异性削弱了层间相互作用的影响，导致这样的结果，即临界指数值只与原胞中自旋的个数有关，与空间维数无关．这里若考虑能级对概率的影响，会发现所得结果更接近严格解，方便起见，对二维正方格子伊辛模型结果进行修正．

2 临界指数值的修正

考虑正方格子伊辛模型中集团出现的概率，对任一点自旋Si，其最近邻4个格点上的自旋为S1～S4，Si＝±1，最近邻的相互作用能E ＝－J∑ij

SiSj，其中J 为交换积分，取J ＞0，自旋平行为低能态［16］．由Si及其近邻格点上的自旋指向，计算Si反转前（不妨设Si＝1）的自旋作用能E1＝－J（S1＋S2＋S3＋S4），与 反 转 后（此 时Si＝－1）的自旋作用能E2＝J（S1＋S2＋S3＋S4）比较，设ΔE ＝E2－E1表示Si反转前后自旋相互作用能的增量．

取Si发生变化的概率P 满足：

当E0时，其中，kB为玻尔兹曼常数．

当ΔE ＜0 时，P ＝1．

表1 给出二维情况时Si的所有5种近邻情形及相应的反转概率，其中X 表示自旋指向与Si相同的最近邻格点数．

表1 格点自旋的近邻情形及相应的反转概率（取演化前Si＝1）Tab．1 Near condition of lattice point spin and corresponding inverse probability（Si＝1before inverse）

对S′I＝1（取演化前Si＝1，演化后Si＝－1），可得16个内部自由度所对应集团的出现概率同 理

同时可得出修正后临界指数值，为比较起见，将修正前后临界指数与二维伊辛模型严格解列表，如表2 所示．

表2 临界指数Tab．2 Critical indices

从表2 看出，引入权重因子后的临界指数有一定的改善，尤其临界指数α，γ，ν更接近严格解．

3 结 论

通过计算层状正方晶格伊辛模型的临界指数，得出的结果与二维情况下的值完全相同，具有相同的临界行为；同时，考虑能级与温度对概率的影响，在重正化变换中引入权重因子，重新推导重正化群解，发现修正后的结果更接近严格解．

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