基于谱测度构造多元极值Copula

李泊宁，梁冯珍

(天津大学 数学系，天津 300072)

基于谱测度构造多元极值Copula

李泊宁，梁冯珍

(天津大学 数学系，天津 300072)

讨论了极值Copula与有限离散谱测度之间的关系，通过低维Copula构造高维Copula；根据极值Copula与尾部相关函数之间的关系，构造高维极值Copula.

多元极值Copula；Dirac 测度；尾部相关函数

极值统计研究的对象是随机现象的极端表现，或者是随机变量取特别大或特别小的可能性.一元极值分布有标准的参数表达式，而多元极值分布并没有统一的参数表达式，这给应用带来了诸多不便.20世纪50年代末，Sklar提出了Copula函数的概念，Copula函数是用来描述变量之间的相关关系.因此，构造多元极值Copula成为构造多元极值分布的一种方法.

根据Sklar提出的理论，任意多元随机变量的联合分布可以用两部分描述，一部分是边际分布，另一部分是描述边际分布之间的相关关系的函数——Copula函数，下面给出它的定义：

定义1 若函数C∶[0，1]d→[0,1]满足：

医学生要掌握医学知识，必须从人体解剖学开始。学好人体解剖学首先要上好解剖学实验课，而人体解剖学实验课需要利用尸体标本进行教学指导，由此增加了教学尸体标本的消耗。近几年，因学生数量剧增，加之尸源越来越局限，导致实验教学存在教学标本不足状况。为此，我们尝试将动物器官补充到教学中，力图提高教学质量。

(i)对任意u=(u1,u2,…,ud)∈[0,1]，若u1,u2,…,ud有一个为零，则C(u1,u2,…,ud)=0；

(ii) 对任意u=(u1,u2,…,ud)∈[0,1]，若u1,u2,…,ud中除ui外均为1，则C(1,…,1,ui,1,…,1)=ui；

(iii)对任意的u,v∈[0,1]d，u≤v有

记Ld为d维尾部相关函数的集合，相同维数的尾部相关函数的凸组合还是尾部相关函数[2]：

则称函数C为Copula函数.

Copula刻画了边际分布之间的相关关系，在边际分布已知的条件下，Copula函数与联合分布函数F有如下一一对应关系：

引理1[1](Sklar定理) 设X=(X1,X2,…,Xd)是d维连续型随机变量，联合分布函数为F(x1,x2，…xd)，边际分布函数分别为F1(x1)，F2(x2),…Fd(xd)则一定存在d维Copula函数C使得对所有的(x1,x2，…xd)∈Rd都有

F(x1，x2,…xd)=C(F1(x1),F2(x2),…Fd(xd))

(1)

反过来，若C是一个Copula函数，F1(x1),F2(x2),…Fd(xd),是分布函数，则由式(1)定义的F(x1,x2,…xd)是d联合维分布函数，其边缘分布分别为F1(x1),F2(x2),…Fd(xd).

CK(u1,u2,…,uk)=exp(-lK(-logu1,-logu2,…,-loguk)).

定义2[1]若Copula 满足：对任意的(u1,u2,…，ud)∈[0,1]d,t>0 都有下式成立

设lKLK，K

极值Copula与极值分布有如下关系：

引理2[2]d维联合分布函数F作为极值分布的充要条件是：F的一维边缘分布都是一元极值分布，对应的Copula是极值Copula.

通过研究多元极值Copula研究多元极值分布，为极值分布的应用提供了很大的便利.1981年，Pickands应用尾部相关函数的概念，将极值Copula重新定义，通过寻找合适的尾部相关函数构造极值Copula.

引理 3[3]d维Copula是极值Copula当且仅当存在Δd-1上的有限波雷尔测度(borelmeasure)满足H：

C(u1,u2,…,ud)=exp{-l(-logu1,-logu2,…-logud)},{u1,u2,…ud)∈(0,1]d

(2)

其中尾部相关函数l∶[0,∞)d→[0,∞)定义为

(3)

称满足引理3的波雷尔测度为谱测度.本文就是根据这种特殊的波雷尔测度构造极值Copula.波雷尔测度为谱测度的唯一要求是每个分量在单纯形上的积分都等于1/d，即

(4)

很明显有H(Δd-1)=1.

谈起自动变速器油路故障的诊断，维修人员首先想到的往往会是阀体，也就是变速器的液压控制模块。很多没有系统维修体系的小型修理厂遇到换挡问题会试图通过更换阀体来解决，但是所更换的阀体又常常是二手的，并不能保证阀体的可靠性，因此维修一个变速器常需要更换多次阀体，有时问题依然会存在，且每次的症状会不尽相同，这样就导致其维修时间长，成本高，而维修质量又参差不齐了。

鲁迅先生的《故乡》入选过多版本的中学语文教材，作为一篇传统、经典篇目，教参和名师的解读已经精彩纷呈，对文本的细读已经小到一个标点，足以见证经典的生命力是永恒的。

尾部相关函数l具有以下性质[4]：

(i)齐次性：对任意的c∈(0,∞),l(cx1；cx2,…cxd)=cl(x1,x2,…cd);

小学生年龄小，对游戏具有天生的喜爱性，所以在教学过程中教师可以用游戏的方式刺激学生对色彩的感知。比如，教师可以设计“连一连”的游戏，将相同的玩具用不同的颜色表现出来，然后引导学生对这些进行辨识，之后将他们联系到一起。通过这样的教学方式，学生不仅能够积极主动的参与到美术色彩教学中，还能够刺激学生对色彩的认识，使学生从游戏中感受到色彩感知的乐趣。

(ii)l(ei)=1，其中ei是Rd中的第i个分量为1的单位向量；

(iv)l是凸函数.

反之，满足性质(i)- (iv)的任意二元函数，都是尾部相关函数[7]，从而根据(2)式构造的函数就是极值Copula.但是对于三维或者更高维的函数却没有类似的结论，即使三维或者更高维的函数满足性质(i)- (iv)，由其构造的函数也不一定是极值Copula，RadkoMesiar,VladimírJágr[4]详细讨论了这种情况.

近年来随着对Copula函数的深入研究，提出了许多构造Copula的方法，下面先讨论用低维极值Copula来构造高维极值Copula的方法.

1 离散谱测度

2008年，Liebscher[5]提出一种新的构造Copula的方法，根据已知n个d维Copula构造新的d维Copula.

(5)

是Copula.

(3)人防工程的管道应由墙体穿入为宜，尽量不由顶板穿入。凡进入防空地下室且其穿过围护结构的管道，均应做防护密闭处理。

显然，由式(5)，若C1,C2,…Cn是极值Copula，则C也是极值Copula.也就是说可以根据已知的n个d维极值Copula构造新的d维极值Copula.

定义3 给定集合X，x∈X，A∈σ(X)(σ(X)为X的生成域)，X上的测度定δx义为：

则称δx为Dirac测度.

根据测度论的知识，有限空间上的测度都可以用Dirac测度的线性组合来表示.假设Δd-1上的谱测度只在有限个点上取值不为零，则谱测度也可以用Dirac测度的线性组合来表示.

生物可给性测定：将消化后的样品离心处理4 000 r/min，30 min，沉淀上面的透明清液部分即为“胶束”，根据下述公式计算Nob在纳米乳液中的生物可给性:

(6)

(7)

令

where xnis the hydraulic natural frequency of the EHA system.

(8)

显然HV也是谱测度，对应的Copula 为

即

CV(u1,u2,u3,u4,u5)=CⅡ(u1,u2)·CⅢ(u3,u4,u5)

据临床统计，我国乳腺肿块发生率逐渐增加，且患者的发病年龄逐渐呈现年轻化趋势，一定程度加重女性患者的心理负担，影响患者身心健康，同时增加家庭以及社会负担[2]。及早诊断患者病情，对于提高诊治效果具有重要的临床意义。

(9)

可以证明CV是极值Copula，更一般的结论如下：

定理1 设有p个维数分别为di(i=1,2,…,p)的CopulaCi∶[0,1]di→[0,1]，

lK(x1,x2，…，xK)=ld(x1,x2,……,xK,0,…,0)

(10)

是极值Copula.

在流体运动场中，选取六面体流体微元进行力学平衡分析，采用牛顿运动定律，获得了惯性系黏性流体运动的动量方程。对于柱坐标系中，沿r轴的方程如下：

证明：根据VineCopula[6]相关知识，由Ci是Copula可知C是Copula，下证C是极值Copula.

i Mark PT-3502G酶标分析仪（美国Santa Cruz公司）；15K高速冷冻台式离心机（美国Bio-Rad公司）。

因为对任意的实数t>0，

=Ct(u1,u2,…,ud)

所以C是极值Copula.

为了通过低维极值Copula构造高维极值Copula，首先介绍离散谱测度.

由此说明，最大Copula的乘积也是极值Copula.

2 尾部相关函数

对于依赖于有限离散点的谱测度，由低维极值Copula可以构造高维Copula，对于连续的谱测度也有类似的结论.

随机变量的一个分布都可以视为一个特定的数学模型，都有它自己的直观背景。例如我们熟悉的帕斯卡分布[2]（负二项分布）：就是数学家帕斯卡为了解决法国贵族De Mere提出的赌博中如何分赌注问题而引入的离散随机变量的分布。所以我们在教学过程中注意用模型的观点来解释，会收到更好的效果。我们以离散型分布为例。二项分布，几何分布，帕斯卡（Pascal）分布与超几何分布时几个非常常见的离散型分布，也是非常重要的分布，产生这几个分布的直观背景就是如下的摸球问题。

(11)

则称Copula 为极值Copula .

由此，Sklar将多元分布函数与Copula联系起来，下面介绍极值Copula.

经典统计学理论指出，对于低维分布函数，一定存在某个高维分布，使得低维分布可以作为高维分布的边际分布.对于尾部相关函数也有类似的结论.

定理2 对任意的2≤K≤d，lK∈LK，一定存在Id∈Ld使得

他的感人事迹，鲜明体现了舍身忘我、服务人民的坚定信念，追求真理、严谨治学的科学精神，淡泊名利、奖掖后学的杰出品格。

(12)

证明：对于给定的K维尾部相关函数lK，根据引理3，一定存在极值CopulaCK，使得

孩子每年感冒1～3次较正常，其中90%以上可自愈。一些家长迫切希望孩子的感冒痊愈，甚至给他们用成人的感冒药。孩子不是成人的简单“缩影”，用药区别不仅体现在用药剂量不同的层面上。同样的药物，用在孩子和成人身上区别很大。建议为孩子选择儿童专用感冒药，如果孩子感冒过于频繁，应及时就诊。

CK(u1,u2,…,uK)=exp(-lK(-logu1,-logu2,…,-loguK)).

对于极值CopulaCd，由引理3，存在d维尾部相关函数ld使得

Cd(u1,u2,…,ud)=exp(-ld(-logu1,-logu2,…,-logud)).

因此

exp(-ld(-logu1,-logu2,…,-loguK,0,…,0))

令xi=-logui,i=1,2,…,K，则lK(x1,x2,…,xK)=ld(x1,x2，…，xK,0,…,0).

(13)

为d维尾部相关函数，即l∈Id.

证明：对任意的X=(x1,x2,…,xd)∈[0,∞)d,令XBi=(z1,z2，…,zd)其中

由定理2，对任意的i∈{1,2,……,p}，存在li∈Ld使得lKi(xBi1,xBi2,…,xBidi)=li(XBi)成立，

根据尾部相关函数与极值Copula一一对应的关系，有以下结论：

(14)

是极值Copula.

因此C也是极值Copula.

综上，我们讨论了构造极值Copula的两种方法，一种是通过离散谱测度，由低维极值Copula 构造高维极值Copula；另一种是通过尾部相关函数构造高维极值Copula.

本文只研究了满足一定条件的离散谱测度、尾部相关函数由低维构建高维的情况，其他情况还有待进一步研究.

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Construction of multivariate extreme-value Copulas based on spectral measure

LI Bo-ning, LIANG Feng-zhen

(Department of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In this paper, the relationship between extreme value Copula and finite discrete spectral measure was discussed. The high dimensional Copula was constructed through low ones. The high dimensional Copulas were constructed according to the relationship between the extreme copulas and tail correlation function.

multivariate extreme-value Copulas; dira measure; tail dependence measure

2014-06-19.

李泊宁(1989-)，女，硕士，研究方向：极值统计.

梁冯珍(1963-)， 女，博士，副教授，研究方向：极值统计，金融风险.

F224

A

1672-0946(2015)05-0625-04