一般线性群的一类极大子群

袁 静，杨桥艳

(1.安阳师范学院 数学与统计学院，河南安阳 455000;2.保山学院数学学院，云南保山 678000）

1 简介

设F是一个有限域，V是F上的n维线性空间.定义一般线性群为.

则当取定V的一组基V

1

，V

2

，…，V

n

之后，V的任一线性变换在这个基下是唯一确定的可逆方阵，于是GL(V）中每个可逆线性变换就与F上的一个n阶可逆方阵一一对应.F上的全体n阶可逆方阵构成一个群，记为GL(n，F），称为一般线性群.显然，GL(n，F）与 GL(V）同构.此外，GL(n，F）中行列式等于1的全体矩阵构成GL(n，F）的一个正规子群，记作 SL(n，F）.令 Ω ={＜v＞|v∈V{0}}，其中 ＜v＞表示v生成的子空间.

为了叙述的方便，下面我们给出群作用的一些基本的定义，可见参考文献［1］.

定义1.1 设 Δ ={α，β，…}是一个非空集合，其元素称为点.SΔ表示Δ上的对称群.所谓群G在Δ上的一个作用φ指的是G到SΔ的一个同态.即对每个元素x∈G，对应Δ上的一个变换

(2）SL(V）可由所有平延生成.

有以上准备工作之后，我们介绍本文的主要定理.

定理1.6 设V是有限域Fq上的n≥2维线性空间，G=GL(V）.若0⊂W⊂V是V的一个k维子空间，令，且Gw是G的极大子群.

注记:上述形如Gw的子群被称为一般线性群的极大抛物子群，M.Aschbacher在文献［3］中把典型群的极大子群分为九类，此类子群也被称为C1类子群，是一类很重要的子群.

2 定理1.6的证明

由以上两个引理，我们就完成了定理1.6的证明.

3 举例及应用

已知交错群A8与线性群GL(4，2）同构，证明可参见文献［4，p41］，则我们可以应用本文的主要定理决定A8的极大抛物子群.

［1］徐明曜，有限群导引上册［M］，科学出版社，1999.

［2］Grove L.C.，Classical groups and geometric algebra［M］.American Mathematical Soc.，2002.

［3］Aschbacher M.，On the maximal subgroups of the finite classical groups［J］，Inventiones mathematicae，1984，76(3）:469－514.

［4］Huppert B.，Endliche gruppen I［M］.Springer－ Verlag，2013.

［5］Conway H.，Curtis R.T.，Norton S.P.，et al.Atlas of Finite Groups［J］.Oxford University Press，1985.