万“变”不离其宗

罗新军

三角函数是高中数学的重要内容，也是每年高考的必考内容。它所占的比重约为15%，即22分左右。 综观近年来全国各套高考数学试题，我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：

考察的主要内容有：三角函数的性质、图像及其变换、角的变换技巧、三角恒等变形。其考查的知识点以平面向量、解析几何等为载体，用解三角形来考查学生对三角函数性质的应用，其知识都来源于教材。在高考试题中，三角函数试题一般有选择题或填空题1个，解答题1个，分值在16分—20分之间，属中低档题，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而对大多数学生来说，三角函数试题是高考中的得分点。在解答三角高考题时要善于为发现角和函数运算间的差异，努力运用相关公式，找出差异之间的内在联系，选择恰当的公式，促使差异的合理转化。

通过我多年的高中数学教学实践，本人在三角函数角的变换技巧方面总结归纳出了一些基本经验。

1、常值代换;将特殊值还原成三角式进行代换，特别是“1”的多种变形，是数值转化为角的函数特例。在运用和差角正切公式进行化简和求值，注意公式的逆用和特殊角的变形。

如：1=tanθcotθ，1=sin2θ+cos2θ，1=csc2θ-cot2θ，1=sec2θ-tan2θ，1+tanθ1-tanθ=tan45°+tanθ1-tan45°·tanθ=tan（45°+θ）等等。

例1、计算：1+tan15°1-tan15°的值。

解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°·tan15°=tan（45°+15°）=tan60°=3

2、降幂与升次：余弦二倍角公式正用升次，逆用降幂。降幂与扩角可同时出现，两者有一种需要，就可作降幂变形，升次则相反。遇到正弦、余弦的平方，往往要进行降次，使用半角公式求解时，公式前的符号是由于所在的象限决定的。常用降幂公式有：

sin2=1-cos22，cos2=1+cos22

例2、化简：12+1212+12cos2（3π2<<2π）

解：原式=12+1212+12（2cos2-1）=12+12cos2=12+12cos，

∵3π2<<2π，∴cosɑ > 0

即：原式12+12cos=12+12（2cos22-1）=cos22=cos2

∴3π4<2<π，cos2<0∴原式 =-cos2

3、函数名称变换：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数名称。异名化同名、切割化弦、弦割化切等以弦切归一为原则的化归思想方法，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。常用的公式有诱导公式和

tan=sincos，cot=cossin，tan2=±1-cos1+cos=sin1+cos=1-cossin等，在应用研究这些公式时应当注意根据不同的情况，灵活地选择适当的公式来解题。

例3、证明：sinθcosθ2cosθ（1+tanθ·tanθ2）=tanθ

证明：

左边=2sinθcosθ2cosθ（1+sinθcosθ·1-cosθcosθ）=sinθ·（1+1-cosθcosθ）=sinθcosθ=tanθ=右边

4、凑配式： 二倍角正弦连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系，将一个式子看作分母为1的分式，再将分子分母乘以适当的式子，以便循环使用正弦的二倍角公式求角。

例4、化简：cos20°·cos40°·cos60°·cos80°。

化简出原式=12·2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°=

2sin40°·cos40°·cos80°2·4sin20°=2sin80°·cos80°2·8sin20°=sin160°16·sin20°=116

例5、求值：sin6°·sin42°·sin66°·sin78°。

解：原式 = sin6°·cos42°·cos24°·cos12°=sin6°·cos12°·cos24°·cos42°

sin6°·2sin12°·cos12°·cos24°·cos48°2sin12°

=sin6°·2sin24°·cos24°·cos48°2·2sin12°=sin6°·2sin48°·cos48°2·4sin12°

=sin6°·sin96°8sin12°=2sin6°·cos6°2·8sin12°=sin12°16sin12°=116

5、平方：两式的平方和或平方差来求两角和与差的余弦值。

例6、已知sin-sinβ=-13，cos-cosβ=12，求cos（-β）的值。

解出sin-sinβ=-13，（sin-sinβ）2=19，

cos-cosβ=12，（cos-cosβ）2=14，

由（sin-sinβ）2+（cos-cosβ）2=2-2（sinsinβ+coscosβ）

=2-2cos（-β）=1336得cos（-β）=5972

6、万能代换：对于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入辅角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由a、b的符号决定，的值由tan  =  确定。对于这种思想务必要强化训练，加深认识。

由上述题型总结归纳出三角函数的化简与求值的常用方法和技巧如下：

①三角函数的化简时，应合理利用有关公式，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名、切割化弦、高次化低次等。

②三角函数的求值问题，主要是给角求值问题和给值求角问题。它们都是通过恰当的变换，与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数之间建立起联系。选用公式时请注意方向性、灵活性，以创造出消项或约项的机会，简化问题。

（作者单位：新疆疏附县第二中学）endprint