双变量问题常用解决策略

姚晶

虽然高中研究的函数问题基本都是单变量问题，但是双变量问题也时常出现，特别在最近几年高考中出现次数比较频繁，学生对于此类问题的处理往往苦无对策，造成失分.所以把握好此类的问题的解决策略，对于高考的复习和备考有着重要的意义.笔者根据多年的高三教学经历，对此类问题兹举几例和读者一起探讨问题的背景和解决策略.

一、问题

二、解法分析

上面的解答中（1）学生很容易理：第一问是关于的恒等式求参数f（0），f′（1），可通过赋值法建立关于这两个参数的方程解决问题.但是（2）问中求（a+1）b的最大值的过程学生要想到会有一定的困难，实质上高考题（2）问中使用不等式放缩（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），从而实现变量的化归：将双变量的（a+1）b的最大值转化为单变量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函数最值问题.

三、背景研究

本题的求最大值标准答案采用的办法是利用不等式进行化归将双变量变成单变量的函数求最值，是双变量求最值问题的一种常用解法，有着深刻的数学背景.对此很多高考问题都与之相关.下面笔者对双变量的最值问题的常规解法作总结和研究.

（一）数形结合法

点评：

（二）均值不等式法

分析：上述问题具备条件和目标中具备和、积、平方和、倒数和等结构特征，可使用均值不等式处理此类问题.

点评：均值不等式法处理双变量最值问题需要条件和目标都具备和与积等一定的结构特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表达式的最值，则需验证多次均值不等式的等号能否同时成立.

（三）多变量转化为单变量的函数法

点评：当题目条件提供了适合等式或不等式条件时条件时，可将变量通过条件进行转化如例3中的用变量b表示变量a，实现目标表达式化为关于变量b的函数问题；本文开头2012全国新课标高考题的第二问通过变量b与变量a的不等关系将（a+1）b的最大值转化为关于变量a的超越函数求最值问题.需要注意的是不等式进行转化最后需要验证等号成立的情况.

此外，出现双变量的等式条件若最高次为二次的时候则可以尝试使用判别式法.例2中3）令t=x+y，则y=t-x代入条件等式中得到关于x的一元二次方程参数为可通过判别式求t的取值范围.endprint

虽然高中研究的函数问题基本都是单变量问题，但是双变量问题也时常出现，特别在最近几年高考中出现次数比较频繁，学生对于此类问题的处理往往苦无对策，造成失分.所以把握好此类的问题的解决策略，对于高考的复习和备考有着重要的意义.笔者根据多年的高三教学经历，对此类问题兹举几例和读者一起探讨问题的背景和解决策略.

一、问题

二、解法分析

上面的解答中（1）学生很容易理：第一问是关于的恒等式求参数f（0），f′（1），可通过赋值法建立关于这两个参数的方程解决问题.但是（2）问中求（a+1）b的最大值的过程学生要想到会有一定的困难，实质上高考题（2）问中使用不等式放缩（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），从而实现变量的化归：将双变量的（a+1）b的最大值转化为单变量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函数最值问题.

三、背景研究

本题的求最大值标准答案采用的办法是利用不等式进行化归将双变量变成单变量的函数求最值，是双变量求最值问题的一种常用解法，有着深刻的数学背景.对此很多高考问题都与之相关.下面笔者对双变量的最值问题的常规解法作总结和研究.

（一）数形结合法

点评：

（二）均值不等式法

分析：上述问题具备条件和目标中具备和、积、平方和、倒数和等结构特征，可使用均值不等式处理此类问题.

点评：均值不等式法处理双变量最值问题需要条件和目标都具备和与积等一定的结构特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表达式的最值，则需验证多次均值不等式的等号能否同时成立.

（三）多变量转化为单变量的函数法

点评：当题目条件提供了适合等式或不等式条件时条件时，可将变量通过条件进行转化如例3中的用变量b表示变量a，实现目标表达式化为关于变量b的函数问题；本文开头2012全国新课标高考题的第二问通过变量b与变量a的不等关系将（a+1）b的最大值转化为关于变量a的超越函数求最值问题.需要注意的是不等式进行转化最后需要验证等号成立的情况.

此外，出现双变量的等式条件若最高次为二次的时候则可以尝试使用判别式法.例2中3）令t=x+y，则y=t-x代入条件等式中得到关于x的一元二次方程参数为可通过判别式求t的取值范围.endprint

虽然高中研究的函数问题基本都是单变量问题，但是双变量问题也时常出现，特别在最近几年高考中出现次数比较频繁，学生对于此类问题的处理往往苦无对策，造成失分.所以把握好此类的问题的解决策略，对于高考的复习和备考有着重要的意义.笔者根据多年的高三教学经历，对此类问题兹举几例和读者一起探讨问题的背景和解决策略.

一、问题

二、解法分析

上面的解答中（1）学生很容易理：第一问是关于的恒等式求参数f（0），f′（1），可通过赋值法建立关于这两个参数的方程解决问题.但是（2）问中求（a+1）b的最大值的过程学生要想到会有一定的困难，实质上高考题（2）问中使用不等式放缩（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），从而实现变量的化归：将双变量的（a+1）b的最大值转化为单变量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函数最值问题.

三、背景研究

本题的求最大值标准答案采用的办法是利用不等式进行化归将双变量变成单变量的函数求最值，是双变量求最值问题的一种常用解法，有着深刻的数学背景.对此很多高考问题都与之相关.下面笔者对双变量的最值问题的常规解法作总结和研究.

（一）数形结合法

点评：

（二）均值不等式法

分析：上述问题具备条件和目标中具备和、积、平方和、倒数和等结构特征，可使用均值不等式处理此类问题.

点评：均值不等式法处理双变量最值问题需要条件和目标都具备和与积等一定的结构特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表达式的最值，则需验证多次均值不等式的等号能否同时成立.

（三）多变量转化为单变量的函数法

点评：当题目条件提供了适合等式或不等式条件时条件时，可将变量通过条件进行转化如例3中的用变量b表示变量a，实现目标表达式化为关于变量b的函数问题；本文开头2012全国新课标高考题的第二问通过变量b与变量a的不等关系将（a+1）b的最大值转化为关于变量a的超越函数求最值问题.需要注意的是不等式进行转化最后需要验证等号成立的情况.

此外，出现双变量的等式条件若最高次为二次的时候则可以尝试使用判别式法.例2中3）令t=x+y，则y=t-x代入条件等式中得到关于x的一元二次方程参数为可通过判别式求t的取值范围.endprint