多级微分系统第二特征值上界的不等式

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

多级微分系统第二特征值上界的不等式

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑多级微分系统带一般权第二特征值的上界估计．利用试验函数、Rayleigh定理和Schwarz不等式等方法，获得用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关．其结果在物理学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用．

多级微分系统；特征值；特征向量；一般权；上界

1 主要结果

设a b,( )⊂R是一个有界区间，考虑如下多级微分系统的特征值估计问题，

式中：μ1，μ2s，v1，v2为正实数；μ2α为非负实数(α=t+1，t+2，…，s-1；β=0，1，…，t)．

把问题(1)写成矩阵形式，设

微分系统问题(1)的特征值估计已获得一些结果[1-5]．在本文中，考虑多级微分系统的问题，这个问题将文献[6]推广到多级微分系统一般权的情形．运用文献[7]中的方法，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关．文献[1]与文献[6]是本文的一个特例．其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用[8]．

定理设λ1，λ2是问题(1)的两个第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，则有

式中σ为某一正整数，0＜σ≤t．

注1 取σ=β，μ2s=μ2，μ2α=0(α=t+1，t+2，…，s-1)得到文献[1]中的式(5)，所以文献[1]的结果是本文的一个特例．

注2 取t=2，σ=2，μ2s=μ2，μ2α=0(α=t+1，t+2，…，s-1)，在文献[6]中，取τ1=v1，τ2=v2，M=v2，得到文献[6]中的式(6)，所以文献[6]的结果也是本文的一个特例．

2 定理的证明

设λ1是问题(5)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u1，简记u=u1，且满足

将问题(1)化为如下等价的矩阵形式

利用分部积分和式(7)得

利用分部积分和式(8)有

利用式(2)、式(3)和式(9)得

利用式(4)和式(8)有

利用式(11)得

设 ϕ(x)= (x−h)u ，其中

利用分部积分直接计算得

利用式(14)知，φ与u广义正交，且满足

利用Rayleigh定理有

计算得

利用分部积分和 ϕ(x)=(x−h)u 有

即有

结合式(16)和式(17)得

假设

利用式(18)有

利用式(15)和式(19)有

引理1 设u是问题(5)所对应的第一特征值λ1的特征向量函数，则

式中σ为某一正整数，1≤σ≤t．

证对于1)，用数学归纳法证明，当r=σ时，利用式(12)，取k=σ，不等式显然成立．假设r=k时，不等式成立，即有

当r=k+1时，利用分部积分、Schwarz 不等式和归纳假设得

化简整理得

即引理1的1)成立．

对于2)，反复运用引理1的1)和式(10)得

即得引理1的2)成立．

引理2 设u是问题(5)所对应的第一特征值λ1的特征向量函数，α=t，t+1，…，s，则

式中σ为某一正整数，且1≤σ≤t．

证对于1)，利用式(4)、式(12)和Schwarz 不等式得

对于2)，利用式(2)、式(3)和引理1得

对于3)，利用式(2)、式(3)、式(10)、引理1和Schwartz不等式有

引理3 设λ1是问题(5)的第一特征值，则

式中σ为某一正整数，且1≤σ≤t．

证利用分部积分、Qβ(x)的对称性和得

类似地，可以得到

利用式(21)、式(22)和式(23)有

利用式(24)和引理2得

引理4 对于φ与λ1，有

式中σ为某一正整数，且1≤σ≤t．

证利用分部积分和，得

利用式(25)有

利用式(26)有

利用式(4)和式(8)得

利用式(27)、式(28)、式(4)、引理1的1)和Schwarz不等式得

整理上式，可得引理4．

定理的证明：利用引理3、引理4和式(20)得

选取正整数σ，使得式(29)的右端达到最小值，即得到定理的式(6)．

[1] 朱敏峰，钱椿林． 正则任意阶微分系统带一般权第二特征值的上界[J]． 长春大学学报：自然科学版，2013，23(8)：971-976．

[2] 陈卫忠，钱椿林． 正则微分系统带权第二特征值的上界[J]． 常熟理工学院学报：自然科学版，2010(10)：38-42．

[3] 赵晓苏，钱椿林． 任意阶微分系统带权第二特征值的上界[J]． 长春大学学报：自然科学版，2012，22(8)：975-979．

[4] 卢亦平，钱椿林． 多项式微分算子带一般权第二特征值的上界[J]． 长春大学学报：自然科学版，2014，24(2)：175-179．

[5] 卢亦平，钱椿林． 混合微分系统带权第二特征值的上界[J]． 长春大学学报：自然科学版，2014，24(10)：1358-1363．

[6] 朱敏峰，钱椿林． 正则高阶微分系统带权第二特征值的上界[J]． 苏州市职业大学学报，2012，23(4)：30-36．

[7] HILE G N，YEN R Z．Inequalities for eigenvalue of the biharmonic operator[J]．Pacific J．Math．，1984 (1)：115-133．

[8] PROTTER M H．Can one hear the shape of a drum? [J]． SIAM Rev．，1987 (2)：185-197．

(责任编辑：沈凤英)

Inequality of the Upper Bound of the Second Eigenvalue for the Multistage Differential System

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper addresses the estimate of the upper bound of the second eigenvalue for the multistage differential system．The upper bound of the second eigenvalue is dependent on the first eigenvalue by using integral，rayleigh theorem and inequality estimation．The estimate coefficients do not depend on the measure of the domain in which the problem is concerned．This kind of problem is significant both in theory of differential equations and in application to mechanics and physics．

multistage differential system；eigenvalue；eigenvector；general weight；the upper bound

O175．1

A

1008-5475(2015)03-0050-07

2015-05-05；

2015-05-31

赵晓苏(1962-)，女，江苏苏州人，副教授，主要从事算子特征值估计研究．