套代数框架下线性系统的鲁棒镇定

甘乃峰

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

套代数框架下线性系统的鲁棒镇定

甘乃峰

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

研究了套代数框架下具有内部环结构控制器的线性系统鲁棒镇定问题.首先，介绍了一种新型的控制器——具有内部环结构控制器以及它的等价形式——典范或对偶典范控制器；其次，给出了系统具有扰动情况下鲁棒镇定的几个充分条件；最后，得出相应的结论.

套代数；鲁棒镇定；典范控制器；对偶典范控制器

鲁棒控制是20世纪80年代发展起来的，它的基本思想是设计控制器,使得具有不确定性的闭环系统本身保持稳定,并满足一定条件的性能指标[1].根据不确定性的划分,研究鲁棒控制的方法也不同,包括区间理论、结构奇异值理论(μ理论)和H∞控制理论.

状态空间法中的频域方法一直是鲁棒控制研究中的核心方法,研究的对象是线性系统,包括有限维和无限维.所用到的算子理论方法,主要是Toeplitz算子和skew-Toeplitz算子.文[2]通过构造鲁棒控制器显示了算子理论的巨大作用.

1998年,Feintuch将注意力集中到了Hilbert空间的鲁棒控制问题的研究上.从系统输入输出的角度出发,以套代数框架为理论依据,以线性时变系统为研究对象,比较全面系统地论述了Hilbert空间上的线性时变系统的鲁棒控制问题,建立了基于套代数框架下的控制理论体系[3].

近年来，套代数框架下时变系统的镇定问题引起广大学者的重视.文[4]给出了所有强镇定控制器的一个参数化形式，应用此结果研究了强同步镇定、鲁棒镇定和优化问题.文[5]研究了离散时变系统的可靠镇定问题,即双参数控制器反馈系统的同时镇定和可靠镇定问题.文[6]研究了具有内部环结构控制器的时变系统镇定、同步镇定、强同步镇定问题,取得了一系列的研究成果.

本文利用Hilbert空间上的套代数理论研究了具有内部环结构控制器的线性时变系统的鲁棒镇定问题.所研究的对象是无穷维线性时变系统，研究的方法是套代数框架下的算子理论.

1 预备知识

1.1 算子及套代数相关理论

用Z表示整数,R表示实数,C表示复数.

定义1[7]设X和Y是赋范线性空间,T:D(T)⊂X→Y是线性,如果∀x,y∈D(T)，∀α,β∈K(K数域)，有T(αx+βy)=αTx+βTy，那么称T是一个线性算子.

定义2[7]设X和Y是赋范线性空间,T:D(T)⊂X→Y是线性映射,如果存在常数M>0, 使得对一切x∈D(T),有‖Tx‖≤M‖x‖,则称映射T为有界线性算子.

X到Y有界线性算子全体记作B(X,Y),特别地用B(X)表示B(X,X).

定义3[3]Hilbert空间H上闭子空间的一个闭集族N如果满足下列条件:

(1) {0},I∈N;

(2) 对于N1,N2,有N1⊆N2或者N2⊆N1成立;

Hilbert空间H的闭子空间N到子空间N的正交投影记为PN，并规定P-1=0,P∞=I.

利用投影的性质,性质(1)～(3)也可以表示成:

(1′)0,I∈N;

(2′)对于P1,P2∈N,或者P1≤P2或者P2≤P1;

那么l2(Z+)为一个可分的Hilbert空间.容易验证

是l2(Z+)空间上的一个完备套.

AlgR={A∈B(H),(I-Qn)TQn=0}={A∈B(H):PnA=PnAPn}.

值得注意的是，在标准正交基下,套代数中的元素的矩阵表示为一个下三角型矩阵.

用套代数理论来研究线性时变离散系统,这不仅会简化运算过程及难度,而且具有极强的现实意义.

1.2 线性系统

定义Hilbert空间H上的一个半范数‖x‖t=‖Ptx‖,x∈H,Pt≠I,半范数{‖‖t:t∈Γ}定义了一个拓扑,叫预解拓扑,它是一种度量拓扑.如果H是无限维的,那么度量空间不是完备的,文[3]中给出了例子说明了这一点,这就需要扩展H空间.

定义5[3]称度量空间H的完备化空间He为H的扩展空间.

定义6[3]扩展空间He上的一个线性变换T如果满足:当n>0时,PnT=PnTPn,那么T是关联的.

关联性是具有现实意义,即未来的输入不可能对现时的输出结果产生影响.

定义7[3]He空间上,按预解拓扑连续的关联线性变换称为线性系统.

将He上所有线性系统构成的集合记为L(H).

2 具有内部环结构控制器的线性系统的鲁棒控制

2.1 具有内部环结构控制器

考虑图1所示系统L和控制器K组成的反馈系统,其中L,K∈L(H).

其中，e1,e2定义外部输入，u1,u2分别称作系统输入和控制器输入.y1,y2分别定义系统和控制器输出.

文[8]指出,在研究规则线性系统时,需要用到稳定控制器.然而在现实中设计的控制器很难保证一定是稳定的，基于这种想法，文[9]给出一种新的控制器——具有内部环结构的控制器,如图2所示. 它比之前定义的控制器更广泛.这种定义的方法能找到更简单的优拉参数化,证明了它是研究无穷维系统更有效的方法,使得研究动力系统的镇定问题比之前的方法都要简单.

文[9]给出典范控制器

和对偶典范控制器

指出，任何一个具有内部环结构的控制器都等价于一个典范控制器或对偶典范控制器，因此研究具有内部环结构控制器的时变线性系统鲁棒镇定问题，可以转化为典范和对偶典范控制器的鲁棒镇定问题.

2.2 具典范和对偶典范控制器的系统鲁棒镇定

考虑通常反馈系统,L∈L(H) 表示系统,K∈L(H)表示控制器.假设L不是固定的,属于某个集合Β,能否找到一个控制器K(如果存在),使得每个属于集合Β的系统L内部稳定,这就归结到鲁棒镇定问题的研究.

定义集合

表示扰动范数不超过r的系统集合.

当然需要指出，Β(L,r)中很多算子矩阵根本不是表示线性系统.

Δ=M1-K22M1-K21N,

则当

时,L1-L0可被典范控制器K镇定.

考察

M1-K22M1-K21(N1-L0M1)=M1-K22M1-K21N1+K21L0M1=

Δ+K21L0M1=Δ(I+Δ-1K21L0M1).

当

时，

‖Δ-1K21M1‖·‖L0‖≤‖Δ-1K21‖·‖L0‖·‖M1‖<1，

则L+ΔL可被K镇定等价于

由已知条件可得

证明 令

又因为

因此，K镇定L(I+ΔL).证毕.

3 结论与展望

本文研究了套代数框架下，具有内部环结构及其等价形式的控制器鲁棒镇定系统问题，既保证具有扰动的闭环系统稳定，又满足一定的性能指标，得到了系统鲁棒镇定的几个充分条件.对于系统鲁棒镇定的充要条件、稳定裕等相关内容，则需要进一步深入研究.

[1]BallJA,CohenN.ThesensitivityminimizationinanH∞norm:parameterizationofalloptimalsolutions[J].IntJContr,1987,46:785-816.

[2]FoiasC,ÖzbayH,TannenbaumA.RobustControlofInfiniteDimensionalSystems[C].Berlin:Springer,1996.

[3]AFeintuch.RobustControlTheoryinHilbertSpace[M].Berlin:Springer,1998.

[4]YFLu,XPXu.Thestabilizationproblemforlineardiscretetime-varyingsystems[J].SystemsControlLetters,2008,57(11):936-939.

[5]YufengLu,LiuLiu.Discussionon:thereliablestabilizationproblemfordiscretetime-varyinglinearsystem[J].EuropeanJournalofcontrol,2012,2:141-144.

[6]YufengLu,ChengkaiShi.StabilizationofTime-varyingSystembyControllerwithInternalLoop[J].MathematicalProblemsinEngineering,2012,ArticleID132597,16,pages.

[7] 卢玉峰.泛函分析[M].北京：科学出版社，2008.

[8]RFCurtain,GWeiss,MWeiss.Coprimefactorizationforregularlinearsystems[J].Automatica,1936,32:1519-1531.

[9]RFCurtain,GWeiss,MWeiss.Stabilizationofirrationaltransferfunctionsbycontrollerswithinternalloop,System,approximation,singularintegraloperatorsandrelatedtopics[C].Basel:Birkhauser,2000.

GAN Naifeng

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(责任编辑：张冬冬)

Robust stabilization of linear systems in the framework of Nest algebra

In this paper,we study robust stabilization of linear system with internal loop controller in the frame of nest algebra.We give a new stabilizing controller with internal loop and its two special subclasses,called canonical and dual canonical controller.Some sufficient conditions such that canonical or dual canonical controller stabilizes uncertainty plant are obtained. Key words Nest algebra;Robust stabilization;canonical controllers;dual canonical controllers

2015-09-06

甘乃峰 (1974-),男，辽宁沈阳人，鞍山师范学院数学与信息科学学院讲师，博士.研究方向:鲁棒控制、算子理论.

O177.2

A

1008-2441(2015)06-0001-06