Hom-双代数的若干性质

杨占英，刘红江

（1.中南民族大学数学系，武汉430074；2.河南化工职业学院公共课教学部，郑州450042）

双代数是Hopf代数中的一个重要概念，许多学者对双代数的概念和理论进行了广泛的研究，并且做了各种形式的推广［1-2］。 Abdenacer Makhlouf和 Sergei Silvestrov给出了 Hom-双代数的概念［3］。 Donald Yau 给出了拟三角Hom-双代数的概念，讨论了它们的一些性质［4］，并给出了李双代数的一个等价条件［5］。 在此基础上，我们把双代数的一些性质和文献［5］中的结论推广到Hom-双代数，得到了Hom-双代数的反对极和拟三角结构，并得出了两个Hom-双代数同构的一个等价条件。

1 预备知识

定义 1［3］：称七元组 (V ,μ, α, η, Δ, β, ε)为一个Hom-双代数，是指该七元组满足以下条件：（1） ( V ,μ, α, η) 是一个带有单位元 η 的Hom-结合代数；（2） ( V , Δ, β , ε) 是 一个带有余单位 ε 的Hom-余结合余代数；（3）线性映 射 Δ、 ε、 μ是相容 的，即Δ(e1) = e1⊗ e1，e1=η (1 )， ε( μ( x ⊗ y ) ) = ε( x) ε (y)，ε( e1) = 1 ， Δ( μ( x ⊗ y ) ) = Δ ( x ) Δ(y )= μ ( x1⊗y1)⊗μ( x2⊗y2)。

定义 2［4］：称七元组 ( A, μ, Δ, η, α,c, R)为一个拟三角Hom-双代数，是指该七元组满足如下条件：（1） ( A, μ, Δ, α, c )是一个有弱单位元 c 的Hom-双代数；（2） R ∈A⊗A， R12=R⊗c ， R23=c⊗R，R13=(τ⊗id)(R23)，(Δ ⊗α) ( R) = R13R23，(τ ◦ Δ(x)) R=RΔ(x)。

在本文中，我们假设 k 是一个域，所有代数、余代数、向量空间、张量积和线性映射都是定义在域 k 上的。在以下的证明和推导中，我们采用文献［1］的余乘符号，即对于余代数 C 及任意的 c ∈C，记 Δ ( c ) = ∑ c1⊗c2，其中 c1和 c2∈C 。 在下文中，常常省略和号，记作Δ( c )= c1⊗ c2。 设 V 和 W 是 两个向量空间，τ:V⊗W→W⊗V 是 一个k -线性映射，记τ (v ⊗ w )=w ⊗ v，其中v∈V，w ∈W。

2 主要结论

下面我们讨论Hom-双代数的反对极和拟三角结构，并给出Hom-双代数同构的等价条件。

命题1：设 ( V ,μ, α, η, Δ, β, ε, S)是带有反对极S的Hom-Hopf代数，则有S ◦α(x y ) = S ◦α ( y) S ◦α(x)和 Δ◦(α ◦ S ) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S )◦ Δ成立。

证明：因为S ◦α(x y ) = S ◦α( x1y1) ε(x2)ε(y2)=S ◦α(x1y1) ε( y2) x21S ( x22) = S ◦α(x1y1) ε(y2) x2S ( x3)=S ◦α(x1y1) x2y2S ( y3) S( x3) = S ◦α(x11y11) x12y12S ( y2)S( x2) = S ◦ α((x1y1)1) (x1y1)2S ◦ α ( y2) S ◦ α(x2) = ε(x1y1)S ◦ α(y2) S ◦ α ( x2) = S ◦ α(y) S ◦ α(x)，所以有S◦α( x y)= S ◦ α ( y ) S ◦ α(x)成立。

因为Δ◦(α ◦ S ) (x) = Δ◦(α ◦ S ) (x2)ε( x1) = (α ◦S( x2) )1⊗ ε( x1) (α ◦ S( x2) )2=(α ◦S( x2) )1⊗S( x11) x12(α ◦S( x2))2=(α ◦S( x3) )1⊗S( x1) x2(α ◦S( x3))2=ε( x2)(α ◦ S( x4) )1⊗S( x1) x3( α ◦ S( x4) )2=S( x2) x3(α ◦S( x5) )1⊗S( x1) x4( α ◦S( x5) )2=S( x2) x31( α ◦S( x4) )1⊗S( x1) x32( α ◦S( x4) )2=S( x2)x31α ((S( x4))1) ⊗ S( x1) x32α((S( x4) )2) = S( x2) x31α ((S( x4) )1) ⊗ S( x1) x32α ((S( x4) )2)=α◦S( x2) x31( S( x4)1) ⊗ α◦S( x1) x32( S( x4) )2=α◦S( x2)(x3S ( x4) )1⊗α◦S( x1) (x3S ( x4) )2=α◦S( x2) ε(x3)⊗α◦S( x1) = α ◦ S ( x2) ⊗ α ◦ S ( x1) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S ) ◦ Δ(x)，所以有 Δ ◦(α ◦ S ) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S )◦ Δ成立。

命题2：若 (H , μ, Δ, α,c, R)是一个拟余可换Hom-双代数，其中 c 是Hom-结合代数 ( H ,μ, α)的弱单位元，R ∈ H⊗H，则有下面结论成立：

1）(H , μop, Δ, α, c , R-1)， ( H ,μ, Δop,α, c , R-1)和(H,μ, Δop,α, c , τ(R))也是拟余可换Hom-双代数。

2）如果 ( H , μ, Δ, α,c, R)是一个拟三角Hom-双代数，那么 ( H ,μ, Δop,α, c , τ (R))也是拟三角Hom-双代数。

证明：1）先证明 ( H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一个Hom-双代数，即证 ( H ,μop,α) 是Hom-结合代数，(H,Δ, α)是Hom-余结合余代数，且 Δ 、 μop是相容的； 再证明Hom-双代数 ( H , μop,Δ, α, c , R-1)满足拟余可换条件。

因为 (H ,Δ, α)是Hom-结合代数，所以对任意的x 、 y 、 z ∈H ， 有α ( x ) y z = xyα ( z )，α ( x y) =α( x ) α (y)。由 α ◦ μop(x ⊗ y ) = α ( y x ) = α (y ) α ( x )=μop◦(α ⊗ α ) ( x ⊗ y ) μop◦(α ⊗ μop)(x ⊗ y ⊗ z) = zyα (x)=α( z ) y x = μop◦(μop⊗ α )(x ⊗ y ⊗ z ))可知，(H,μop,α)是一个Hom-结合代数。

(H ,Δ, α)显然是Hom-余结合余代数。因为Δ( μop(x ⊗ y) ) = Δ ( y ) Δ( x ) = μop(x1⊗y1) ⊗ μop(x2⊗y2)，所以 Δ 和 μop是相容的。

因为 Δop(x) = R Δ ( x ) R-1，所以在(H , μop, Δ , α ,c, R-1)中 ，拟余可换条件 Δop(x) = R-1Δ(x) R是成立的，因此 (H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一个拟余可换的Hom-双代数。

同样可以证明 ( H , μ , Δop,α , c, R-1)和(H ,μ, Δop,α, c ,τ(R))都是拟余可换Hom-双代数。

2）由结论 1）可知， ( H,μ, Δop,α, c , τ(R))是拟余可换Hom-双代数，现在只需验证 R 满足拟三角条件。

设R = si⊗ti∈ H ⊗ H ， 则由已知条件可知， R 满足 拟 三 角 条 件 ， 即(α ⊗Δop)(τ( R ) ) =⊗ α (s)⊗ j α( sj) ⊗ titj，故有(α ⊗ Δop)(τ( R ) ) = titj⊗ α (sj)⊗α(si) = (τ(R ) )13( τ(R))12。 因为(α ⊗ Δ) R = R13R12=sjsi⊗ α ( ti) ⊗ α (tj)，所以(Δop⊗ α)(τ( R ) ) = α (ti)⊗α(tj) ⊗ sjsi=(τ( R ) )13( τ(R))23。 综合以上证明过程，可知 ( H ,μ, Δop,α, c , τ(R))是一个拟三角Hom-双代数。

命题 3：设 (H ,μH, ηH, ΔH, εH)和(G,μG, ηG, ΔG,εG)是两个双代数，线性映射 α : H → H 和 β:G→G是双代数同态映射， β 和 β ⊗ β 是 单射，Hα=(H , μα=α ◦ μH,Δα=ΔH◦α, α)，Gβ= ( G,μβ= β ◦μG, Δβ= ΔG◦β, β)， 则以下两个结论是等价的：1）Hom-双代数 Hα和 Hom-双代数 Gβ同构；2）存在一个双代数同构 r : H →G ， 使得 rα =βr。

证明：由结论2）可以得出结论1）是显然的，现在证明由结论1）可以得出结论2）。

设r: Hα→Gβ是Hom-双代数同构，则存在双射使得 rα =βr成立。

下面证明 r 是双代数同态，即 r 既是代数同态又是余代数同态。

由于 r 是Hom-结合代数同态，故有μβ◦(r ⊗r)= r ⊗ μα， r α=β r ， 因 而 ， 对 任 意 的 x 、 y∈H，有μβ(r ⊗ r)( x ⊗ y) = β ◦ μG( r( x) ⊗ r ( y) ) = β(r( x) r( y ))rμα(x ⊗ y) = r α μH(x ⊗ y) = r α ( x y) = β r( x y)。又由于 β 是单射，故有 r ( x y) = r( x) r( y)，即 r 是代数同态。

因为 r 是Hom-余结合余代数同态，所以有Δβ◦r = ( r ⊗ r )◦Δα， r α=β r ， 故有(β ⊗ β ) (r ⊗r)◦ΔH(x) = (β r ⊗ β r ) ◦ ΔH(x) = (r α ⊗ r α ) ◦ ΔH(x )=(r ⊗ r ) (α ⊗ α ) ◦ ΔH( x) = (r ⊗ r ) ◦ Δα( x) = Δβ◦r( x)== (β ⊗ β ) ◦ ΔG◦r ( x )。 又因为 β ⊗ β 是单射，所以(r ⊗ r) ◦ ΔH( x) = ΔG◦r ( x )，即 r 是余代数同态。

综上所述，可知存在一个双代数同构 r : H→G，使得 rα =βr。

［1］ SWEEDLER M E.Hopf Algebras［M］.New York：Benjamin,1969：1-48.

［2］ KASSEL C.Quantum Groups［M］.New York：Springer-Verlag,1995：368-381.

［3］ MAKHLOUF A,SILVESTROV S D.Hom-algebras and Hom-coalgebras［J］.Journal of Algebra and Its Applications,2010,9（4）：553-589.

［4］ YAU D.Hom-quantum Groups I：Quasi-triangular Hombialgebras［J］.Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical,2009,45（6）：1-21.

［5］ YAU D.The Classical Hom-Yang-Baxter Equation and Hom-Lie Bialgebras［J］.MathematicalPhysics,2009,5（12）：1-22.