一道立体几何证明题背后隐藏着什么

何永峰

（新疆石河子121团第一中学）

何永峰

（新疆石河子121团第一中学）

时间：2015 年5 月20 日

地点：高一某班

科目：数学

课题：空间中直线与直线之间位置关系的运用

主题：学生已经学习了空间中直线与直线之间的位置关系：相交、平行、异面和公理4 等知识，基本明确了公理4 的内容，为本节课内容奠定了知识基础。经过前期一段时间的训练，学生具备了一定的观察和认知能力，在讲解教材上一道立体几何证明题时，我对学生的思维能力产生了怀疑？

案例片段：

题目：在空间四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

师：请分析题目条件和结论？

生1：条件：E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点；问题：求证：四边形EFGH 是平行四边形。

师：条件和问题是否有遗漏？

生2：漏了条件：空间四边形ABCD。

师：生2 审题很仔细。回忆，初中是如何证明四边形EFGH 是平行四边形的？

生2：一组对边平行且相等，两组对边平行且相等，即EH∥FG且EH＝FG 或EH∥FG 且EF∥HG。

师：很好，如何证明EH∥FG 呢？你用怎样的办法来证明呢？

学生沉默了……

即时结果：只需要一步就可以打通已知与未知之间的关系，学生却遇到“坎”，到底问题在哪里？是分析问题没有讲清楚？

评析：如果能给个实物模型，学生对空间四边形结构就更直观；如果告知学生连接直线BD 或AC，点明三角形中位线，问题就迎刃而解了；如果告诉学生将“空间问题平面化”，学生就清楚了……

反思：证明此题的方法有多种，我认为下面这种方法很实用：

分析法：

要证明EFGH 是一个平行四边形，只需证EH∥FG，且EH＝FG，或EH∥FG 且EF∥HG.

连结BD，只需证：

∵E，F，G，H 分别是各边中点，

∴四边形EFGH 是平行四边形。

学生在课堂中真实地暴露出存在的问题，令我意识到：高中数学教学不仅仅是简单的知识传递。再讲解时，还需多问几个为什么：这道题中用到了哪些知识？它们是怎样联系起来的？解题的关键在哪里？思路是怎样打通的？推理是否严谨？有无多余步骤？还有更简捷的解法吗？这个问题能够推广吗？改变一下条件或结论如何？

真正把数学课讲活、讲清楚，挖掘出隐藏在数学知识背后的思维方法，学生的解题能力才会提升。