刘江朝
摘 要:悖论,一直是长期困扰我们的难题,即使在科技高度发展、文明高度繁荣的今天,依旧或者绝大部分的难题没有得到很好的解答,如:忒修斯之船悖论、鸡蛋悖论……
关键词:无限循环小数
无限循环小数于我们而言肯定是再熟悉不过了,那么你是否想过无限循环小数上是否也存在悖论呢?即0.9= 1?我想大多数人都会回答0.9≈ 1,但是我却认为0.9= 1 。
何为悖论,就我的理解而言,我觉得应该就是按照正常的逻辑却能推导出与之互相矛盾的结果;如:一艘船的所有零件都换成新的后,那么船还是原来的船吗?如果你认为是,那么你考虑一下:船的组成部分已经全部被替换了,为什么还是原来的船呢?如果你认为不是,那么我也想多问一句,你既然认为不是,那么按照你的逻辑,我们都知道人体的细胞每七年就会更新一次,那么这样说的话,七年前的我跟七年后的我岂不是不是同一个我,这样真的对吗?这就是有名的“忒修斯之船悖论”,不管你认为对或不对,你都应该给出证明过程,说服对方。我记得Thomas Hobbes和John Locke就尝试对它进行解答,然而却无疾而终;此外,我还举一个比较有意思的悖论,那就是我们日常生活中常常讨论的鸡与蛋悖论,“到底是先有鸡还是先有蛋?”,貌似这好像是一个无解的问题,你若说是先有鸡后有蛋,那么我就该反问你,鸡不就是从蛋里孵化出来的吗?没有鸡何蛋之有?那么你若说是先有蛋后有鸡,那么问题也来了,没有鸡,蛋又从何而来呢?
当然对于这样的悖论,想去论证,我想我还没有这个能力,上边那就权当一个引入吧,我接下来要讨论的悖论是一个有关于无限循环小数的,说起无限循环小数,大家肯定都不以为然,一个小数五年级的知识点,有悖论存在吗?然而确实有的,且听我娓娓道来。
在论证之前,我先回顾一下小学的几个知识点:
一、小数:由整数部分、小数点、小数部分组成的数
二、无限小数:就是指写成小数形式后,小数部分无穷尽的、不能被整除的数;如:π
三、循环小数:就是在小数的基础上,从小数点后的某一位起,一个或多个数字依次重复出现的无限小数叫做循环小数,也就是题目中的无限循环小数。
四、循环节:在循环小数中不断重复的数字,我们称为循环节。如:0.123123,该小数的循环节便就是123
有了上边的基础之后,我就可以引入下边的论题了,我要阐述的悖论如下:
请问: 0.9 = 1 ,成立吗?
我想我这样问,大家都会感觉我问的很傻瓜,觉得我肯定是小学没毕业,很显“不等于”嘛!从小学起老师就这样教,0.9≈ 1成立,但0.9= 1不成立。
然而真的是这样的吗?难道你们就没有过一点怀疑吗?其实我问过很多人,上初中开始就问同学,都说不等于,一直到现在我上了大学,我问同学,他们还是都说不等于,当然我也问过大学里的一些教授,但是答案还是一样的,“0.9是不等于1的”,所以我就写了这篇文章,希望有识之士们,能够给我解答下疑问。
既然我称它为悖论,那么它自然是与我们的正常的逻辑是相违背的,即0.9 ≈ 1,而不是0.9= 1一样。那么你们都认为不等于,那么我就冒天下之大不韪,我认为他们俩是等于的,因为我证明它们是相等的(解答如下)。
解: 设0.9为 x
那么显然 0.09应该为 0.1 x
于是便应该有下式成立:
X – 0.1x = 0.9–0.09
即:0 .9x = 0.9
解得: x = 1
我设x=0.9,结果却得出x=1;这不正是我们的由因及果的推导方式吗?那不就是我们要证的论题吗?
至此,说论题得证,我想还有点为时过早,因为大多数人都会觉得我的证明过程有问题,因为我以前用同样的方法证明然后跟他们讨论的时候,就遇到过,他们都说我的过程有问题,我记得有一个跟我讨论的提出了这样一个观点说0.9–0.09=0.9,是不成立的,他的解释是0.09的9的位数与0.9循环中9的位数是不样多的,他认为0.09中的9的个数应该比 0.9的9的个数要多一个,其实我想说,既然他们俩都是无限的又哪来9的个数上存在差别呢?还有一种说法就是他们认为在无限域上,我们常规的方法是不能用,与前一个相比,我倒觉得这个尚有可能之处。
对于这种说法,我又想到一个驳倒它的方法,还是从数学证明的角度出发,因为数学的论证是最具有说服力的,其实上述的两种能不外乎就是一点,那就是我的证明过程中某一步是存在逻辑错误的,那么要想看我证明正确与否其实也很简单,那就按照我的方法在解其它的类似的论题,看看是否能得出错误的答案即可。
例:我们设0.8为x,如果我们最后解决x仍等于0.8,那么是否就说明我的论证过程是没问题的。
设: 0.8为 x
那么显然 0.08应该为 0.1 x (注意点在后边的8上)
于是便应该有下式成立:
x – 0.1x =0.8 – 0.08
即: 0 .9x = 0.8
解得: x = 8/9
经过计算易知: 8/9 = 0.8
显然得出 x = 0.8;这岂不正说明了我的计算方法是没有问题的,而且是可以推广的,同理我还用同样的方法用0.7、0.6一直到0.1 均测试了,结果都表明我的算法是没有错的,至此我就大胆的猜测我的证明方法是没错的,至此便得证:0.9 = 1。
从逻辑学的角度来说,一件事如果有且只有两种可能,那么它在这两种可能中必居其一且只居其一,对于悖论而言,它涵盖一件事的两种结果,那么它的答案就只能是两者中的一种,且只能是其中的一种,就如鸡蛋悖论:他只能是“鸡生蛋”或者“蛋生鸡”中的一种,绝不会两者都是,只不过具体结果是什么,这可能就需要我们不断的去努力探索,答案总是有的,只是我们还未解答它了罢,尚等待时间的考究,其实对于这件事我觉得突破点应该还是在生物学的研究上,等我们的生物科学发达到一定的程度,那么这件事就应该有个明确的结果了。
那么为什么会出现这样的悖论了?而且只有0.9 = 1成立,而其他的类似的0.8、0.7、0.6等等循环小数却还是等于自身呢? 谁实话,其实这也是我百思不得其解的事。
参考文献:
[1]:托马斯·霍布斯(Thomas Hobbes,1588-1679)英国政治家、哲学家.
[2]:约翰·洛克(John Locke,1632年8月29日-1704年10月28日)是英国的哲学家.
[3]:表示以9为循环节的无限小数.
[4]:这里的“x”只是一个未知量.
[5]:0.1 乘以 x 的简写.