关于SM(L)结构的讨论

张立国，马金发

(沈阳理工大学，辽宁 沈阳 110159)

关于SM(L)结构的讨论

张立国，马金发

(沈阳理工大学，辽宁 沈阳 110159)

给出超分子的等价定义，研究超分子集合SM(L)的结构，讨论完全分配格L上SM(L)=M(L)的充要条件，为连续格理论和Fuzzy拓扑学的研究提供一些新的思路。

完全分配格；极小集；超分子

完全分配格是经典格论的重要研究对象，对其刻划的讨论一直是热点问题。无论是连续的DCPO理论，还是Fuzzy拓扑学都对其做出过相关的研究。超分子作为工具，其性质对于完全分配格的结构研究是非常重要的。文献[1]只对其进行简单讨论，但没有给出超分子集合SM(L)的结构。本文给出超分子的等价定义，讨论超分子集合SM(L)的结构，为连续格理论和Fuzzy拓扑学的后续研究奠定基础。

1 预备知识

设L是完全分配格，M(L)表示L的分子集。若a∈L，以β(a)表示a的最大极小集，β*(a)=β(a)∩M(L)。可以证明a是分子当且仅当β*(a)是定向集。设a,b∈M(L),a≤b,则a<

2 SM(L)结构的讨论

文献[1]中引入了超分子的概念，并给出完全分配格一个比较直观的描述形式，但是未能研究超分子集合SM(L)的结构。那么超分子和分子都作为刻划完全分配格的工具，把握好他们之间的联系，有利于更好地进行格论问题的研究。

超分子的等价定义

定义1 设L是完备格，a∈L，a≠0，若∀D⊆M(L)是定向集，∨D>a，则存在d∈D使得a≤d,则称a是超分子。由超分子组成的集合，记作SM(L)。

定理1 设L是完全分配格，则SM(L)是并半格，即∀x、y∈SM(L)，则x∨y∈SM(L)。

证明：设D⊆M(L)是定向集，且∨D>x∨y，则∨D>x，∨D>y。由于x、y∈SM(L)，因而存在d1、d2∈D，使得x≤d1、y≤d2。又因D为定向集，存在d∈D，使得d1、d2≤d，从而x、y≤d，因此x∨y≤d，即x∨y∈SM(L)。

在完备格L上，超分子与分子不是等价概念。例如L=[0,1]，1是分子而不是超分子。但在有限完备格L上，分子是超分子，而超分子不一定是分子，即M(L)⊂SM(L)。

下面给出在完备格L上超分子与分子等价条件。

命题1 设X是非空集合，则SM(2X)=M(2X)={{x}x∈X}。

定理2 设L是完全分配格，则SM(L)=M(L)当且仅当存在非空集合X，使得L≌2X。

证明：充分性 若SM(L)=M(L)，而M(L)是连续的DCPO，SM(L)是并半格，则SM(L)=M(L)是连续格，从而(M(L)，∑[M(L)])是入射T0空间，进而(M(L)，∑[M(L)])是(或同胚)Sierpinski空间S的幂∏S的收缩核(X，Ω(X))。(不妨令M(L)=X)。由于Sierpinski空间∏S，L也是入射的locale，因此有如图1所示的关系。

图1 映射链接

由于f与g都是拓扑连续映射，故都是序同态，且为满射，从而|∏S|=|L|，因此有L≅∏S。又∏S同构某幂集格，即存在非空集合X，使得2X≅∏S，所以结论成立。

必要性 由于L≌2X，不妨设L=2X，由命题1可知，结论成立。

定理3 设L是完全分配格，则L中的每个元素都有唯一的极小集当且仅当存在非空集合X，使得L≌2X。

证明:必要性 设σ是从L→2X为序同构映射。

首先，σ、σ-1把分子映射成分子。

若A、B∈2X，且σ(a)=A∪B，则a=σ-1(A∪B)=σ-1(A)∨σ-1(B)。由于a∈M(L)，因此a=σ-1(A)或a=σ-1(B)，从而σ(a)=A或σ(a)=B，所以σ(a)∈M(2X)。

同理可证 若A∈M(2X)，则σ-1(A)∈M(L)。

其次，σ、σ-1把极小集映射成极小集。

设a∈L。B为a的极小集，则a=∨LB，从而σ(a)=σ(∨LB)=∪σ(B)，因此σ(B)为σ(a)的恰当覆盖。

再次，2X中每个元有唯一极小集，则L中的每个元素都有唯一的极小集。

设a∈L，若A、B均为a的极小集，则σ(A)、σ(B)均为σ(a)的极小集。由于2X中每个元有唯一极小集，因而σ(A)=σ(B)，从而σ-1[σ(A)]=σ-1[(B)]，因此A=B。

充分性 首先，设a∈M(L)，必有β*(a)=↓°(a)∩M(L)。

若∀x∈β*(a)，则∨[β*(a){x}]≠a。(否则：若∨[β*(a){x}]=a。由于β*(a){x}⊆β*(a)，于是β*(a){x}可以加细β*(a)，因此β*(a){x}是a的极小集。根据已知条件可得β*(a){x}=β*(a)，矛盾)，从而a∉β*(a)，因此β*(a)⊆↓°(a)∩M(L)。

反之，若x∈↓°(a)∩M(L)，则有x∈β*(a)。(否则：x∉β*(a)。由于β*(a)是下集，则∀y∈β*(a),都有x≤/y。

令B1={y∈β*(a)|y与x不可比}、B2={y∈β*(a)|y

若a=∨B1。由于B1⊂β*(a)，因而B1是a的极小集。根据已知条件可得B1=β*(a)。又因β*(x)⊂β*(a)，这与B1的定义相矛盾。

若a=∨B2。由于B2的定义可知，∨B2≤x，从而a≤x。这与x∈↓°(a)∩M(L)矛盾),因此β*(a)⊇↓°(a)∩M(L)。

其次，M(L)的序是离散的。

若b>a,必有b∉M(L)。事实上，若b∈M(L)，则a∈↓°(b)∩M(L)=β*(b),因此∨[β*(b){a}]≠b。又因β*(a)⊂β*(b)，且a∉β*(a)，使得∨[β*(b){a}]=b相矛盾。

若θ

因此，若a、b∈M(L),且a≠b时，a与b是不可比的，即M(L)的序是离散的。

再次，令f是L到2M(L)的映射，即∀a∈M(L)，f(a)=β*(a)。下面证明f为同构映射。

若a、b∈L,且a≠b时，则β*(a)≠β*(b)，从而f(a)≠f(b)，即f为单射。

若A∈2M(L)，则∨A∈L，从而f(∨A)=A。事实上，x∈A，则∨A>x。由前面证明可知x∈β*(∨A)，从而A⊆β*(∨A)=f(∨A)，因此A是∨A的极小集。由于∨A有唯一的极小集，所以A=β*(∨A)=f(∨A)，即f为满射。

若a、b∈L,且a

综上所述，L≌2X。

根据定理2与定理3可得如下的结论

定理4 设L是完全分配格，则下列命题等价:

(1)SM(L)=M(L)；

(2)存在非空集合X，使得L≌2X；

(3)L中的每个元素都有唯一的极小集。

由引理1和定理4可知，在有限完备格上有下面结论：

引理1[2]设L是完全分配格，则M(L)是连续的偏序集。

定理5 设L是完全分配格，且|L|<0，则SM(L)是连续的偏序集。

定理6 设L是完全分配格，且L<0，则SM(L)是完备格，从而SM(L)是连续格。

3 结束语

超分子作为完全分配格的研究工具，他的集合SM(L)结构是并半格。当把超分集子SM(L)与分子集M(L)联系在一起时，会得到许多很好的结论，同时也会引发新的猜想。例如完全分配格的每个元素能否被表示成SM(L)∩M(L)的元素之并、完全分配格的范畴与并半格范畴的关系、完全分配格是否存在等价范畴等，这些问题都需要进一步做出回答。

[1]张立国.完全分配格的刻划[J].浙江师范大学学报，2001，24(1):24-26.

[2]郑崇友,樊磊,崔宏斌.Frame与连续格[M].北京：首都师范大学出版社，1994.

(责任编辑：赵丽琴)

Discussion of the Structure ofSM(L)

ZHANG Liguo,MA Jinfa

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The equivalent definition of ultra-molecule is given.The structure of the ultra-molecular setSM(L) is studied.Necessary and sufficient conditions ofSM(L)=M(L) on completely distributive latticeLis discussed.Some new ideas for the research on the theory of continuous lattices and Fuzzy topology are provided.

completely distributive; minimal set; ultra-molecular

2014-11-13

张立国(1970—)，男，副教授，研究方向：模糊拓扑学；通讯作者：马金发(1957—),男，高级工程师.

1003-1251(2015)04-0061-03

O189.13

A