归纳推理与类比推理的比较

郑州幼儿师范高等专科学校　翟金成

归纳推理与类比推理的比较

郑州幼儿师范高等专科学校翟金成

中图分类号：G42

文献标识码：A

文章编号：1671-864X（2015）03-0103-02

合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用。有利于创新意识的培养。在学习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手。合情推理包括归纳推理和类比推理。

一、归纳推理和类比推理的联系

归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明。

二、归纳推理和类比推理的区别

(一)归纳推理

1.归纳推理定义∶由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

说明：归纳推理的思维过程大致如下：

2.归纳推理的特点∶

（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。

(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。

3.归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同本质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。

说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的。

（二）类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义∶由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式。类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性。人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的。因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具。

三、典例剖析

例1.观察下列等式∶

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32=-10

照此规律,第n个等式可为____.

本例是利用归纳推理解决问题的，作为归纳推理的“集散地”，以数列为背景是常见的命题形式，通过数列呈现的规律来确定数列的某一项，具有一定的难度，且具有时代性。考察观察、归纳、推理能力。

由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用，应用时首先分析清楚题目的条件，合理归纳．

例2.求一个质数，当它分别加上10和14时仍为质数.

【分析】我们可以采用归纳推理,先由具体的数计算开始,再归纳猜想一般性的结论.

【解析】用归纳法进行试验∶

2+10=12，2+14=16，质数2不合要求；

3+10=13, 3+14=17，质数3不合要求；

5十10=15，5+14=19，质数5不合要求；

7+10=17, 7+14=21,质数7不合要求.

……

归纳上述结论，可以猜想,3是符合要求的质数．

联想发散∶归纳推理是通过对一些个别、特殊情况的观察与分析，导出一般结论的推理方法，利用归纳猜想，可以探索数学规律，探究解题途径。但是结论的正确性还有待于逻辑上的证明。本题中由于质数的变化无规律，不能用解析式把它表示出来，因此若能证明除了3之外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数加上10和14不能都是质数．事实上，自然数可分为三类3n , 3n+1，3n+2(n足正整数）；∵（3n+1）十14=3（n十5）是合数；（3n十2)+10=3(n+4)是合数；

∴3n+1和3n+ 2这两类自然数中的质数都不符合要求，而3n这类自然数中，只有当n=1时,3n才能是质数，其余都是合数，因此符合条件的质数只有3.

例3.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点。求

【分析】考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．

【证明】如图，设平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得。

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：。

通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。