具有饱和接触率的SIQRS模型的稳定性研究

张宏宇， 叶志勇

(重庆理工大学 数学与统计学院， 重庆 400054)



具有饱和接触率的SIQRS模型的稳定性研究

张宏宇， 叶志勇

(重庆理工大学 数学与统计学院， 重庆 400054)

首先建立一个具有饱和接触率的SIQRS模型，通过计算得到阈值R0的表达式；然后对阈值R0进行讨论；接着利用稳定性定理和Dulac定理得到无病平衡点和地方病平衡点的存在性和全局稳定性；最后通过计算机仿真验证了该结果的正确性。

SIQRS流行病模型； 阈值；饱和接触率

流行病的传播规律一直以来都受到人们的重视。近年来，一些新出现的流行病已严重威胁人类的生命健康，例如2014年发生在非洲地区的埃博拉疫情。有鉴于此，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题，并且已经取得大量的成果。在研究疾病的传播过程中，人们比较常用的是SI、SIS以及SIR模型等，这些模型一般考虑的是流行病传播的一般规律，而未考虑到疾病传播中个体差异。目前，对传染病的传染率为双线性传染率[1]或是标准传染率的传染病模型已经有了较深入的研究,但对具有饱和接触率[2-5]的模型研究还较少，而且根据传染病传播的实际情况，饱和接触率在实际传播过程中也是一种十分重要的传播特点。本文主要谈论了在具有饱和接触率的情况下SIQRS传染病模型地方病平衡点的全局稳定性。

1 模型的建立

由此建立模型：

(1)

2 模型分析

对于模型(1),为了计算方便进行变换，令ω+δ+d1+p1=m和τ+d+p2=n，这样可以得到模型：

(2)

(3)

且可行域D是模型的正向不变集[7]。

模型的平衡点应满足下列方程：

(4)

定理1 当R0<1时，无病平衡点E0是全局渐近稳定的。

证明 模型在E0处的雅可比矩阵[11-12]为

J0的特征方程为

由此可以得到特征值：λ1=-1,λ2=-c0,λ3=-(c0+α0),λ4=R0-1。所以，当R0<1时，λ1<0,λ2<0,λ3<0,λ4<0,E0是局部渐近稳定的；当R0>1时，可以得到当λ4>0,E0在可行域中是不稳定的。

下面证明 ：当R0<1，E0是全局渐近稳定的。

当t→+∞时，模型的极限方程为

(5)

引理1 Hurwitz判据

考虑多项式方程：λn+θ1λn-1+θ2λn-2+…+θn-1λ+θn=0所有的根具有负实部的充要条件是：

其中k=1,2,…,n。当j>n时，补充定义aj=0。

定理2 当R0>1时，E*是全局渐近稳定的。

证明 模型在E*处的雅可比矩阵为

与J0等价。

根据Hurwitz判据得：

由此判据得到特征方程的4个特征根均具有负实部，则当R0<1时E*是局部渐近稳定的。下面证明E*是全局渐近稳定的。

故系统在可行域内无闭轨线。又因为E*是局部渐近稳定的，所以地方病平衡点E*是全局渐近稳定的。

3 数值模拟

首先对系统中的一些参数赋值,从而验证无病平衡点和地方病的全局稳定性。选取参数A0=0.1,c0=0.01,m0=0.2,δ0=0.2,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.4,这样可以计算出R0=30>1。显然,此时系统存在一个地方病平衡点,且此平衡点是全局渐近稳定的。取初始值分别为S(0)=0.8,I(0)=0.5,Q(0)=0.7,R(0)=0.6;S(0)=0.7,I(0)=0.6,Q(0)=0.75,R(0)=0.6，应用Matlab软件进行数值模拟,可以得到如图1所示的结果。

从图1中很容易看出，感染者在疾病开始流行的时候数量有显著的增加，但是随着时间的推移，数量上趋于一个稳定的数值，也就是说疾病最终形成地方病，并且是全局渐近稳定的。

接着来看另外一种情况。在系统中取参数，A0=1,c0=0.4,m0=0.8,δ0=0.1,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.3并计算出R0=0.75<1。此时系统存在一个无病平衡点E0是全局渐近稳定的，初始值分别取S(0)=0.8,I(0)=0.4,Q(0)=0.6,R(0)=0.5;S(0)=0.7,I(0)=0.5,Q(0)=0.65,R(0)=0.6，应用Matlab软件对系统进行数值模拟，得到结果如图2所示。

图1 R0>1时在不同的初始值下地方病平衡点的全局渐近稳定性

图2 R0<1时，在不同的初始值下无病平衡点的全局稳定性

从图2中可以看出，感染者随着时间的推移，最终将趋于灭亡。

4 结束语

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(责任编辑 刘 舸)

Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate

ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

First, this paper constructed a SIQRS epidemic model with saturated contact rate. We got the thresholdR0bycalculating,inwhichthereexistsadisease-freeequilibriumpointandanendemicequilibriumpointbystabilitytheoremandDulacTheorem,atlast,thecomputernumericalvaluesimulationimpliesthattheconclusionisright.

SIQRSepidemic model; threshold; saturated contact rate

2014-10-15 基金项目：重庆市自然科学基金资助项目(2005BB8085)；重庆市教育委员会基金资助项目(KJ080622)

张宏宇(1990—)，男，河南信阳人，硕士研究生，主要从事微分方程与动力系统研究。

张宏宇， 叶志勇.具有饱和接触率的SIQRS模型的稳定性研究[J].重庆理工大学学报：自然科学版，2015(3):141-145.

format：ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong.Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):141-145.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.026

O175

A

1674-8425(2015)03-0141-05