对一道数学高考题的多种解法的剖析与思考

杨元松（甘肃省平凉市庄浪一中744600）

对一道数学高考题的多种解法的剖析与思考

杨元松（甘肃省平凉市庄浪一中744600）

对高考题的探索不仅能够更加清晰地认识命题人的思想，寻找命题的背景材料，追根溯源，还可以开发试题的教学功效，提高教师的专业技能。每一年的高考题其实都蕴涵着丰富的内容。本文拟对2007年重庆卷文科11题的处理思想进行说明，期望能达到抛砖引玉的效果，对同仁有所帮助。

该题是2014陕西卷高考第21题：设函数f (x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数。

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f (n)的大小，并加以证明。

下面用数学归纳法证明：

由①②可知，结论对n∈N＋成立。

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立。设φ(x)＝ln(1＋x)－ax(x≥0)，则φ′1＋x当a≤1时，φ′(x)≥0 (仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ (x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)。当a＞1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)＜φ(0)＝0.，即a＞1时，存在x＞0，使φ (x)＜0，故知ln(1＋x)≥不恒成立。

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]。

高考试题中我们看到导数在中学数学中的重要作用和地位。不仅如此从近几年新课程高考试题中也反映出导数及其应用已成为高考的新热点，特别是利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值、利用求导解决一些实际应用问题等考查点。导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。本文对2007年数学高考试题中有关运用导数解决问题的试题进行分析，看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图像；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值。

综上所述，高三阶段的学习需要我们组织学生对高考试题做更为综合性的分析与研究。把高考试题与我们的平时教学相结合。从学生实际出发，通过对高考试题的分析与研究来提高学生对知识的综合运用能力以及学生对高考试题的适应能力。当然，我们的教学应以提高学生的综合能力为主，对于高考试题的分析主要是为了提高学生对知识的综合掌握，应得到每一名数学教师的重视。

（责编 赵建荣）